สูตร CNF ที่สั้นที่สุดที่เทียบเท่ากัน

ให้เป็นพอใจสูตร CNF กับตัวแปรและข้อ ให้เป็นพื้นที่ที่การแก้ปัญหาของF_1 $F_1$ $n$ $m$ $S_{F_1}$ $F_1$

พิจารณาปัญหาในการพิจารณากำหนดสูตร CNF อื่นพร้อมชุดตัวแปรเดียวกับโดยมี (พื้นที่โซลูชันเดียวกับ ) แต่มีคำสั่งน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อลดจำนวนข้อดังนั้นจำนวนตัวอักษรแต่ละข้ออาจไม่เกี่ยวข้อง) $F_1$ $F_2$ $F_1$ $S_{F_2} = S_{F_1}$ $F_1$

คำถาม

มีใครตรวจสอบปัญหานี้แล้วหรือยัง? มีผลลัพธ์ใดบ้างในวรรณคดีที่เกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่?

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาสูตร CNFต่อไปนี้(แต่ละแถวเป็นส่วนคำสั่ง): $F_1$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

และสูตรต่อไปนี้ : $F_2$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

ทั้งคู่มีพื้นที่โซลูชันเท่ากัน แต่ในขณะที่มีข้อมีเพียงข้อ $F_1$ $6$ $F_2$ $4$

สุดท้ายให้พิจารณาสูตรต่อไปนี้: $F_3$

$x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

พื้นที่การแก้ปัญหาจะเหมือนเดิมอีกครั้ง แต่มีเพียงข้อ $3$

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

@tsuyoshi ฉันคิดว่าเขาต้องการได้สูตร cnf ที่ประกอบด้วยคำสั่งขั้นต่ำที่มีพื้นที่การแก้ปัญหาเดียวกัน

— Tayfun จ่าย

@TsuyoshiIto: ใช่ฉันต้องการลดจำนวนอนุประโยค ฉันไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนตัวอักษรที่แต่ละประโยคอาจมี

— Giorgio Camerani

สำหรับคำจำกัดความที่สมเหตุสมผลของ "เล็ก" ปัญหาคือ NP-hard สูตร CNF นั้นน่าพึงพอใจหากว่าไม่เท่ากับสูตร "เท็จ" ซึ่งมีศูนย์คำสั่ง

— Jeffε

หมวดที่ 6 ของciteseerx.ist.psu.edu/viewdoc/…ระบุว่าปัญหาในการพิจารณาว่ามีสูตร CNF ที่เทียบเท่าซึ่งมีจำนวนตัวอักษรมากที่สุดคือสมบูรณ์ ผมไม่แน่ใจว่าผมเข้าใจว่าทำไมรุ่นของการลดจำนวนข้อที่น่าสนใจเช่นนี้เป็นปัจจัยภายในของขนาดสูตรที่คือจำนวนของตัวแปร

Π_{2}^{p}

$\Pi_2^p$

n

$n$

n

$n$

— András Salamon

นอกจากนี้ผลลัพธ์ล่าสุดอีกรายการหนึ่งมีความเกี่ยวข้อง: dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

— András Salamon

คำตอบ:

ปัญหาของการพิจารณาว่ามีสูตร CNF ที่เทียบเท่ากันที่มีจำนวนตัวอักษรที่กำหนดมากที่สุดคือ complete เวอร์ชันที่ลดจำนวนส่วนคำสั่งจะอยู่ในส่วนของของขนาดสูตรโดยที่คือจำนวนของตัวแปร ดูหัวข้อ 6 จาก: $\Pi_2^p$ $n$ $n$

Christopher Umans ปัญหา DNF ขั้นต่ำที่เทียบเท่าและนัยยะสั้นที่สุด , JCSS 63 (4), 597–611, 2001. Doi: 10.1006 / jcss.2001.1775 ( preprint )

ผลลัพธ์ล่าสุดแสดงให้เห็นว่าการคำนวณขอบเขตล่างที่เฉพาะเจาะจงสำหรับขนาดของสูตร CNF ที่เทียบเท่ากันสั้นที่สุด (วัดจากจำนวนส่วนคำสั่งตามที่คุณระบุ) คือ NP-complete กระดาษนี้ยังระบุว่าปัญหาของคุณในการลดจำนวนของอนุประโยคคือ - สมบูรณ์เช่นกันโดยอ้างกระดาษ Umans ข้างต้นถึงแม้ว่าทำไมสิ่งต่อไปนี้ไม่ชัดเจนทันทีสำหรับฉัน $\Pi^p_2$

OndřejČepek, Petr Kučeraและ Petr Savický, ฟังก์ชั่นบูลีนที่มีใบรับรองง่าย ๆ สำหรับความซับซ้อนของ CNF , DAM 160 (4–5), 365–382, 2012 ถึง: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

— András Salamon
แหล่งที่มา

ปัญหาวงจร minizationเป็นว่ายาก (ดูความคิดเห็นด้านล่าง) สิ่งที่ฉันคิดว่าคุณอาจสนใจก็คือเทคนิคที่นักแก้ปัญหา SAT ใช้ (อย่างน้อยก็ระดับหนึ่ง) ที่เรียกว่าการประมวลผลล่วงหน้า SAT ตัวอย่างเช่นโปรแกรมแก้ปัญหา MiniSAT ที่รู้จักกันดีใช้CNF minimizer SatELiteเพื่อประมวลผลอินสแตนซ์ล่วงหน้า Google Scholar ให้ผลลัพธ์จำนวนมากสำหรับ "การประมวลผลก่อนล่วงหน้า" เช่นกัน

— Juho
แหล่งที่มา

Π_{2}^{p}

$\Pi^p_2$

Σ_{2}^{P}

$\Sigma^P_2$

วิธีการแก้ปัญหา std / รู้จักที่สำคัญเพื่อลด CNF ใน EE เป็นอัลกอริทึม Quine-McCluskeyซึ่งมีการใช้งานจำนวนมากบางโดเมนสาธารณะ อย่างไรก็ตามความเข้าใจของฉันคือ (ไม่ได้กล่าวถึงในบทความวิกิพีเดียในปัจจุบัน) ส่วนใหญ่กลับไปใช้ฮิวริสติกและอัลกอริทึมโลภเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับสูตรที่มีขนาดใหญ่เช่นพวกเขาไม่จำเป็น หาคำตอบที่เหมาะสมที่สุด สำหรับอินสแตนซ์อินพุตขนาดใหญ่

Quine-MCluskey เป็นลักษณะทั่วไปของการทำงานกับแผนที่ Karnough ซึ่งไดอะแกรมสามารถประสบความสำเร็จสำหรับกรณีขนาดเล็ก

และโปรดทราบว่าอาจมีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดหลายประการในแง่ของสูตรที่เทียบเท่ากับขนาดประโยค (ขั้นต่ำ) เดียวกันนี้จะชี้ให้เห็นในการอ้างอิงที่ดีใน subj การค้นหาค่าต่ำสุดที่เห็นได้ชัดนั้นลดลงในการแสดงรายการ implicates ที่สำคัญทั้งหมดซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับการระเบิดแบบเลขชี้กำลังจำนวนมากในหน่วยความจำ / "ช่องว่าง" เปรียบเทียบกับขนาดของสูตรดั้งเดิม

— vzn
แหล่งที่มา