ทฤษฎีบทของ Ladner กับทฤษฎีของ Schaefer

ในขณะที่อ่านบทความ"ถึงเวลาที่จะประกาศชัยชนะในการนับความซับซ้อนแล้วหรือยัง?" ที่บล็อก"Godel's Lost Letter และ P = NP"พวกเขากล่าวถึงการแบ่งขั้วของ CSP หลังจากลิงค์ต่อไปนี้ googling และ wikipeding ฉันเจอทฤษฎีบทของ Ladner :

ทฤษฎีบทของ Ladner: ถ้าว่ามีปัญหาใน ที่ไม่ใช่สมบูรณ์ ${\bf P} \ne {\bf NP}$ ${\bf NP} \setminus {\bf P}$ ${\bf NP}$

และทฤษฎีบทของ Schaefer :

ทฤษฎีบท Dichotomy ของ Schaefer:สำหรับทุก ๆ ภาษาที่ จำกัดมากกว่า , ถ้าเป็น Schaefer ดังนั้นเป็นเวลาที่สามารถแก้ไขได้ มิฉะนั้นคือ - สมบูรณ์ $\ \Gamma$ $\{0, 1\}$ $\ \Gamma$ ${\bf CSP}(\Gamma)$ ${\bf CSP}(\Gamma)$ ${\bf NP}$

ฉันอ่านสิ่งนี้เพื่อหมายความว่าโดย Ladner's มีปัญหาที่ไม่ใช่ ${\bf P}$ หรือ ${\bf NP}$ สมบูรณ์ แต่โดย Schaefer's ปัญหามีทั้ง ${\bf P}$ และ ${\bf NP}$ สมบูรณ์ เท่านั้น

ฉันพลาดอะไรไป ทำไมผลลัพธ์ทั้งสองนี้ไม่ขัดแย้งกัน?

ผมเอารุ่นที่ย่อของงบทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นจากที่นี่ ในส่วน "ความคิดเห็นสุดท้าย" ของเขาเขาพูดว่า "ดังนั้นหากมีปัญหาอยู่ใน ${\bf NP} \setminus {\bf P}$ แต่มันไม่ใช่ ${\bf NP}$ สมบูรณ์ - ก็ไม่สามารถกำหนดเป็น CSP ได้" .

นี่หมายความว่าปัญหา ${\bf SAT}$ พลาดบางกรณีที่อยู่ใน ${\bf NP}$ หรือไม่ เป็นไปได้อย่างไร?

— user834
แหล่งที่มา

ในประเด็นนั้นมีปัญหาเล็กน้อยหรือไม่ที่ต้องระวังว่าจะมีการกำหนด "ภาษาที่มีข้อ จำกัด " และ "ปัญหา" หรือไม่ ทฤษฎีบท Schaefers (เท่าที่ฉันจำได้) พิจารณาเฉพาะภาษาที่กำหนดโดยการปิดการรวมและการแทนที่ตัวแปรของชุด S ของความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตามหนึ่งสามารถสร้างชุดของปัญหาข้อ จำกัด ซึ่งไม่ได้ครอบคลุมในเรื่องนี้และสามารถที่จะว่องไว แต่ไม่ใช่ Schaefer สันนิษฐานว่าชุดของปัญหา Ladner สร้างเพียงไม่ชัดเจนในแง่ของการปิดภายใต้การเชื่อมโยงและการทดแทนตัวแปรของชุดของความสัมพันธ์

— MGwynne

ฉันคิดว่าคุณควรเปลี่ยนประโยคสุดท้ายตั้งแต่เช่นไม่ได้ (ไม่น่ารำคาญ) ความซับซ้อนชุดกรณีมีความซับซ้อน จากนั้นก็จะหมายถึงว่าไม่มีชุด NPI ของกรณีเป็นแสดงออกเป็นGamma)

S A T

$\mathsf{SAT}$

C S P (Γ)

$\mathsf{CSP}(\Gamma)$

— Kaveh

คำตอบ:

ในฐานะที่เป็น Massimo Lauria ปัญหาของแบบฟอร์ม CSP ( ) จึงค่อนข้างพิเศษ ดังนั้นจึงไม่มีความขัดแย้ง $\Gamma$

ใด ๆ เช่นปัญหาความพึงพอใจข้อ จำกัด สามารถแสดงเป็นคู่ของโครงสร้างเชิงสัมพันธ์และและหนึ่งที่มีการตัดสินใจว่ามีอยู่ homomorphism โครงสร้างเชิงสัมพันธ์จากแหล่งไปยังเป้าหมายT $(S,T)$ $S$ $T$ $S$ $T$

CSP ( ) เป็นปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด ชนิดพิเศษ มันประกอบไปด้วยทุกคู่ของโครงสร้างความสัมพันธ์ที่มีการสร้างขึ้นโดยใช้เพียงความสัมพันธ์จากในโครงสร้างเชิงสัมพันธ์เป้าหมาย: ซีเอสพี ( ) =\} ทฤษฎีบทของ Schaefer กล่าวว่าเมื่อมีความสัมพันธ์เฉพาะกับแล้ว CSP ( ) นั้นเป็นปัญหาที่สมบูรณ์หรือใน P แต่ก็ไม่ได้พูดอะไรเลยเกี่ยวกับคอลเลกชันอื่น ๆ ของอินสแตนซ์ CSP $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$ $\Gamma$ $\{0,1\}$ $\Gamma$

เป็นตัวอย่างที่ดีอย่างหนึ่งสามารถเริ่มต้นด้วย CSP ( ) บางตัวที่มีปัญหา NP-Complete และ "blow hole" ในภาษา (Ladner ทำสิ่งนี้กับ SAT ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา) ผลที่ได้คือชุดย่อยที่มีเพียงบางกรณีและไม่ได้อยู่ในรูปแบบ CSP ( ) สำหรับอีกต่อไป การก่อสร้างซ้ำจะทำให้ลำดับชั้นของภาษาลดความกระด้างโดยไม่มีข้อ จำกัด สมมติว่า P ≠ NP $\Gamma$ $\Gamma'$ $\Gamma'$

— András Salamon
แหล่งที่มา

คุณต้องเข้าใจว่าปัญหา มีโครงสร้างที่ไม่มีปัญหาทั่วไป ฉันจะยกตัวอย่างง่ายๆให้คุณ Let\} ภาษานี้เป็นเช่นที่คุณสามารถแสดงความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันระหว่างสองตัวแปร เห็นได้ชัดว่าข้อ จำกัด ดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม $\mathsf{CSP}$ $\mathbf{SAT}$ $\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$

ฉันจะให้คุณสองข้อโต้แย้งเพื่อชี้แจงความสัมพันธ์ระหว่าง และข้อ ขอให้สังเกตว่าทุกสิ่งที่ต่อไปนี้ถือว่า{NP} $\mathsf{CSP}$ $\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

ข้อแรก : ข้อ จำกัด มีตัวแปรจำนวนคงที่ในขณะที่การเข้ารหัสของปัญหาระดับกลางอาจจำเป็นต้องใช้คำสั่งขนาดใหญ่ สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นปัญหาเมื่อข้อ จำกัด ขนาดใหญ่สามารถแสดงเป็นการรวมกันของสิ่งเล็ก ๆ โดยใช้ตัวแปรเสริม แต่น่าเสียดายที่นี้ไม่เสมอกรณีสำหรับทั่วไป\ $\Gamma$

สมมติว่ามีเพียงของห้าตัวแปร เห็นได้ชัดว่าคุณสามารถแสดงของตัวแปรน้อยลงโดยการป้อนข้อมูลซ้ำ คุณไม่สามารถแสดงใหญ่กว่าได้ เนื่องจากวิธีการที่ใช้ตัวแปรส่วนขยายนั้นต้องใช้การแยกตัวอักษรบวกและลบ แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ในตัวแปรที่ไม่เกี่ยวกับตัวอักษร แน่นอนเมื่อคุณคิดถึง 3-ในฐานะคุณต้องมีเพื่อให้มีความสัมพันธ์สี่อย่างของการแยกความสัมพันธ์กับอินพุตที่ถูกทำให้ยุ่งเหยิง (จากศูนย์ถึงสาม) $\Gamma$ $\mathsf{OR}$ $\mathsf{OR}$ $\mathsf{OR}$ $\Gamma$ $\mathbf{SAT}$ $\mathsf{CSP}$ $\Gamma$

ที่สอง : แต่ละความสัมพันธ์ในสามารถแสดงเป็นชุดคำสั่งที่มี (พูด) สามตัวอักษร ข้อ จำกัด แต่ละข้อจะต้องเป็นชุดคำสั่งทั้งหมด ในตัวอย่างที่มีข้อ จำกัด ด้านความเท่าเทียมกัน / ความไม่เท่าเทียมกันคุณไม่สามารถมีไบนารี (เช่นความสัมพันธ์ )) โดยไม่บังคับใช้ไบนารีที่ถูกทำให้ไร้ค่า (เช่นความสัมพันธ์ ) บนตัวแปรเดียวกัน $\Gamma$ $\mathsf{AND}$ ${(1,1)}$ $\mathsf{OR}$ ${(0,0)}$

ฉันหวังว่านี้แสดงให้เห็นถึงกับคุณว่ากรณีที่ได้รับจาก s มีโครงสร้างที่แปลกประหลาดมากซึ่งจะบังคับใช้โดยธรรมชาติของ\หากโครงสร้างแน่นเกินไปคุณจะไม่สามารถแสดงปัญหาที่ยาก $\mathbf{SAT}$ $\mathsf{CSP}$ $\Gamma$

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบท Schaefer ก็คือเมื่อใดก็ตามที่บังคับใช้โครงสร้างที่หลวมพอที่จะแสดงปัญหาการตัดสินใจจากนั้นเดียวกันก็ให้อิสระเพียงพอที่จะแสดงอินสแตนซ์ทั่วไป 3- $\Gamma$ $\mathbf{NP\backslash P}$ $\Gamma$ $\mathsf{SAT}$

— MassimoLauria
แหล่งที่มา

เพื่อเพิ่มคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ MassimoLauria ไม่มีความขัดแย้ง ดูบทความWikipediaนี้ซึ่งมีส่วนที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทของ Ladner กับทฤษฎีของ Schaefer

— Mohammad Al-Turkistany

เพียงเพื่อให้แน่ใจว่าฉันเข้าใจคุณกำลังบอกว่ารุ่นที่ จำกัด ของ 's ในทฤษฎีบทของ Schaefer อาจไม่สามารถเข้ารหัสอินสแตนซ์3-โดยพลการหรือกรณีของสามารถเติบโตอย่างมากสำหรับพหุนามสำหรับปัญหาคลาส 3บางคลาสได้หรือไม่

C S P

${\bf CSP}$

S A T

${\bf SAT}$

C S P (Γ)

${\bf CSP}(\Gamma)$

S A T

${\bf SAT}$

— 834

ในทฤษฎีบทของ Schaefer แสดงให้เห็น

หลายชนิดเพื่อกระตุ้นให้เกิดอัลกอริธึมเวลาพหุนาม ฉันคิดว่า (แต่ฉันไม่แน่ใจ) ว่าบางคนไม่สามารถแสดงคำศัพท์ทั่วไป 3-ได้ อย่างไรก็ตามให้พิจารณาเป็นเซตของ "Horn 3-clauses" เหล่านี้เป็น decidable polytime และการคำนวณที่กำหนดในเวลาใดสามารถเข้ารหัสเป็น -

สูตรขนาด

)

ดังนั้นฉันเดาว่าคุณสามารถเข้ารหัสการคำนวณแบบยาวแทนด้วย

แบบยาวได้

Γ

$\Gamma$

S A T

$\mathbf{SAT}$

Γ

$\Gamma$

t

$t$

H o r n

$\mathsf{Horn}$

S A T

$\mathbf{SAT}$

p o l y (t)

$poly(t)$

C S P

$\mathsf{CSP}$ (เช่นตัวแปรหลายตัวแทน) มันสมเหตุสมผลหรือไม่

— MassimoLauria

ฉันคิดว่าวิธีที่ถูกต้องคือ CSP ในกรอบของ Schaefer ไม่สามารถเข้ารหัสปัญหา NP ตามอำเภอใจได้ (3-SAT ในความเป็นจริงแล้วเป็นปัญหา CSP ที่เป็นที่ยอมรับ) โปรดทราบว่านี่เป็นคำสั่งแบบมีเงื่อนไข (ยกเว้น P = NP)

— จันทรา Chekuri

@ChandraChekuri โปรดขอโทษด้วยสำหรับความหนาแน่น แต่คุณบอกว่า CSP ในกรอบของ Schaefer ไม่สามารถเข้ารหัสอินสแตนซ์ของ 3-SAT โดยพลการได้หรือไม่? โดยทั่วไป CSP สามารถเข้ารหัส 3-SAT ได้ แต่รุ่นที่ จำกัด ของ CSP ในเฟรมเวิร์กของ Schaefer ไม่สามารถทำได้?

— user834