อะไรคือส่วนขยายน้อยที่สุดของ FO ที่ใช้ในการเรียนภาษาปกติ?

บริบท: ความสัมพันธ์ระหว่างตรรกะและออโตมาตา

ทฤษฎีบทของBüchiระบุว่าตรรกะลำดับที่สองของ Monadic เหนือสตริง (MSO) รวบรวมคลาสของภาษาปกติ หลักฐานแสดงให้เห็นว่า MSO อัตถิภาว ( หรือEMSO ) เหนือสตริงนั้นเพียงพอที่จะบันทึกภาษาปกติได้ นี้อาจจะมีบิตน่าแปลกใจเนื่องจากกว่าโครงสร้างทั่วไป MSO เป็นอย่างเคร่งครัดแสดงออกมากขึ้นกว่า MSO $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

คำถาม (ดั้งเดิม) ของฉัน: ตรรกะเล็กน้อยสำหรับภาษาปกติ

มีเหตุผลใดที่เหนือโครงสร้างทั่วไปมีความหมายน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดแต่นั่นก็ยังคงจับภาพชั้นของภาษาปกติเมื่อพิจารณาถึงสายอักขระ? $\exists\text{MSO}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการทราบว่าส่วนใดของภาษาปกติที่ถูกดักจับโดย FO มากกว่าสตริงเมื่อขยายด้วยตัวดำเนินการจุดคงที่น้อยที่สุด (FO + LFP) ดูเหมือนว่าผู้สมัครที่เป็นธรรมชาติสำหรับสิ่งที่ฉันกำลังมองหา (ถ้าไม่ใช่ ) $\exists\text{MSO}$

คำตอบแรก

ตามคำตอบของ @ makoto-kanazawaทั้ง FO (LFP) และ FO (TC) สามารถจับภาพได้มากกว่าภาษาปกติโดยที่ TC เป็นผู้ดำเนินการปิดความสัมพันธ์แบบไบนารีของสกรรมกริยา มันคงเป็นที่จะเห็นว่า TC สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการอื่นหรือชุดของตัวดำเนินการในลักษณะที่ส่วนขยายที่จับคลาสภาษาปกติและไม่มีผู้อื่น

ตรรกะอันดับหนึ่งเพียงอย่างเดียวอย่างที่เราทราบนั้นไม่เพียงพอเนื่องจากมันจับภาษาที่ไม่มีดาวซึ่งเป็นคลาสย่อยที่เหมาะสมของภาษาปกติ เป็นตัวอย่างคลาสสิกภาษาเท่าเทียมกันไม่สามารถแสดงถึงการใช้ประโยค FO $\;\;=(aa)^*$

อัปเดตคำถาม

นี่คือถ้อยคำใหม่ในคำถามของฉันซึ่งยังไม่ได้รับคำตอบ

เป็นสิ่งที่น้อยที่สุดส่วนขยายของตรรกะลำดับแรกเช่นว่า FO + ส่วนขยายนี้เมื่อนำมามากกว่าสตริงจับตรงระดับภาษาปกติหรือไม่

ที่นี่ส่วนขยายจะน้อยที่สุดหากเป็นการแสดงออกที่น้อยที่สุด (เมื่อนำไปใช้กับโครงสร้างทั่วไป) ระหว่างส่วนขยายทั้งหมดที่จับภาพชั้นเรียนของภาษาปกติ (เมื่อนำมาเหนือสตริง)

— Janoma
แหล่งที่มา

ถ้าฉันไม่เข้าใจผิด

-calculus นั้นเทียบเท่ากับ MSO มากกว่าสายอักขระ

μ

$\mu$

— Sylvain

@ Sylvain อ้างอิงใด ๆ ฉันไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับ

-calculus

μ

$\mu$

— Janoma

ดูเหมือนว่าจะได้รับการพิสูจน์ในdx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137สำหรับต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและในdx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60สำหรับการเทียบเท่ากับส่วนของ bisimulation-invariant ของ MSO มากกว่าโครงสร้างโดยพลการ

— Sylvain

ฉันกำลังดูกระดาษแผ่นที่สองถึงแม้ว่าฉันกลัวว่าหลายแนวคิดจะเป็นเรื่องใหม่สำหรับฉัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่รู้เกี่ยวกับระบบการเปลี่ยนแปลงแบบทวิภาคคงที่ ดูเหมือนว่า DFA นั้นเป็นกรณีเฉพาะของระบบการเปลี่ยนภาพ แต่ฉันไม่รู้ว่าเป็น bisimulation-invariant หรือไม่ หากเป็นเช่นนั้นก็จะตอบคำถามของฉันได้ส่วนหนึ่ง (อาจมีตรรกะที่แสดงออกน้อยกว่าสำหรับภาษาทั่วไป) หากพวกเขาไม่ใช่ฉันคิดว่าไม่มีอะไรสามารถพูดได้เพราะยังคงมีความเท่าเทียมกันเมื่อพิจารณาเฉพาะสายอักขระ

— Janoma

คำสองคำที่มีค่า จำกัดซึ่งถูกมองว่าเป็นระบบการเปลี่ยนแปลงนั้นเป็นคำที่มีความแปลกแยกถ้าพวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิค (ในสัญลักษณ์ของบทความที่สองคำ

ใน

กับ

สามารถถูกมองว่าเป็นระบบการเปลี่ยนภาพ

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— Sylvain

คำตอบ:

FO (LFP) จับ PTIME บนโครงสร้างที่จัดลำดับและสตริงเป็นโครงสร้างที่เรียงลำดับ ดังนั้นภาษาที่นิยามโดย FO (LFP) จึงรวมภาษาปกติทั้งหมดและอีกมากมาย http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

ตำราของ Ebbinghaus และ Flum มีแบบฝึกหัดที่ขอให้แสดง FO (TC ^ 1) (ตรรกะลำดับแรกที่ขยายด้วยการปิดสกรรมกริยาของความสัมพันธ์แบบไบนารี) เทียบเท่ากับ MSO บนสตริง ในการฝึกเดียวกันใช้เป็นตัวอย่างในการแสดง FO (TC ^ 2) ซึ่งแสดงออกได้ดีกว่า MSO บนสตริง สูตร FO (TC) ทั้งหมดมีความชัดเจนเทียบเท่ากับสูตร FO (LFP) $\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— มาโกโตะคานาซาว่า
แหล่งที่มา

ยอดเยี่ยม ฉันไม่รู้ว่าคุณหมายถึงอะไรโดย TC ^ 1 และ TC ^ 2 นั่นคือการพิมพ์ผิดหรือเปล่า? เท่าที่ฉันรู้ในหนังสือที่คุณพูดถึงสัญกรณ์ที่ใช้คือ FO (TC) สำหรับการขยายของ FO ด้วยการปิด transitiveและ FO (DTC) สำหรับการขยายของ FO ด้วยการปิด transitiveที่กำหนดไว้ซึ่งแตกต่างกัน ฉันยังไม่พบการออกกำลังกายที่คุณพูดถึง มันยังคงที่จะเห็นว่ามีผู้ประกอบการแสดงออกน้อยกว่า TC ที่ยังคงสามารถจับภาพภาษาปกติ ฉันจะปรับปรุงคำถามของฉันตาม

— Janoma

คำตอบนี้ช้าไปนิดหน่อย แต่ก็เป็นที่รู้กันว่าใคร ๆ ก็สามารถได้รับทั้งหมดและมีเพียงภาษาปกติโดยติดกับกลุ่มปริมาณทั่วไปสำหรับแต่ละกลุ่ม จำกัด (หรือเทียบเท่าสำหรับแต่ละกลุ่ม จำกัด ง่าย ๆ ) เช่นดู "ปกติภาษาที่กำหนดโดย Lindstrom บ่งปริมาณ" โดย Zoltan Esiky และคิมจีเสนที่http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf

ยิ่งไปกว่านั้นสิ่งนี้เป็นสิ่งที่ดีที่สุดในแง่ที่ว่าภาษาปกติจะสามารถกำหนดได้ก็ต่อเมื่อมีตัวบอกปริมาณสำหรับทุกกลุ่มที่มี monoid syntactic

— Ben Standeven
แหล่งที่มา

$^r$ $^r$ $2r$ $r$

ฉันพบข้อมูลอ้างอิงเพิ่มเติมที่คุณอาจสนใจ

$^1$

— มาโกโตะคานาซาว่า
แหล่งที่มา