แบบจำลองโซโลว์: สถานะมั่นคง v เส้นทางการเติบโตที่สมดุล

โอเคดังนั้นฉันมีปัญหาจริงที่แยกความแตกต่างระหว่างแนวคิด Steady State และเส้นทางการเติบโตที่สมดุลในรุ่นนี้:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

ฉันถูกขอให้รับค่าคงที่ของรัฐสำหรับเงินทุนต่อผู้ปฏิบัติงานที่มีประสิทธิภาพ:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

เช่นเดียวกับอัตราส่วนคงที่ของเงินทุนต่อผลผลิต (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

ฉันพบการปรับทั้งสองอย่างนี้ แต่ฉันถูกขอให้ค้นหา "มูลค่าคงที่ของผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของเงินทุน dY / dK" นี่คือสิ่งที่ฉันทำ:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

การแทนที่สำหรับ K ในสถานะคงที่ (คำนวณเมื่อทำงานจากสถานะคงที่สำหรับอัตราส่วน K / Y ด้านบน):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

ประการแรกฉันต้องรู้ว่าการคำนวณนี้สำหรับค่าสถานะคงที่ของ MPK นั้นถูกต้องหรือไม่?

ประการที่สองฉันถูกขอให้วาดเส้นทางเวลาของอัตราส่วนเงินทุนและผลผลิตส่วนเพิ่มของเงินทุนสำหรับเศรษฐกิจที่แปรเปลี่ยนเป็นเส้นทางการเติบโตที่สมดุล "จากด้านล่าง"

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจอย่างชัดเจนว่าเส้นทางการเติบโตที่สมดุลนั้นตรงข้ามกับสถานะที่มั่นคงและวิธีการใช้การคำนวณของฉันเพื่อค้นหาว่ากราฟเหล่านี้ควรมีลักษณะอย่างไร

ขออภัยสำหรับการโพสต์มหึมาความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชมอย่างมาก! ขอบคุณล่วงหน้า.

— James Baker
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่คือเมื่อความพยายามในความถูกต้องสร้างความสับสนและความเข้าใจผิด

ย้อนกลับไปในวันนี้โมเดลการเติบโตไม่ได้รวมความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีและนำไปสู่ความสมดุลในระยะยาวที่มีลักษณะคงที่ต่อหัวขนาด ด้วยวาจาคำว่า "มั่นคง - รัฐ" ดูเหมือนจะเหมาะสมที่จะอธิบายสถานการณ์เช่นนี้

จากนั้น Romer และโมเดลการเจริญเติบโตภายนอกก็มาพร้อมกันซึ่งผลักดันให้รุ่นเก่าเริ่มต้นรวมทั้งเป็นปัจจัยการเติบโตประจำภายนอก (นอกเหนือจากประชากร) และ "ก็" ต่อหัวแง่ไม่คงที่ในสมดุลในระยะยาว แต่การเติบโตในอัตราคงที่ ในขั้นต้นวรรณคดีอธิบายสถานการณ์เช่นนี้ว่า "สถานะมั่นคงในอัตราการเติบโต"

จากนั้นดูเหมือนว่าอาชีพคิดว่า "มันไม่ถูกต้องที่จะใช้คำว่า" คงที่ "ที่นี่เพราะขนาดของหัวต่อประชากรกำลังเพิ่มขึ้นสิ่งที่เกิดขึ้นคือขนาดทั้งหมดจะเติบโตในอัตราที่สมดุล (เช่นในอัตราเดียวกัน คงที่) และเมื่อพวกเขาเติบโตพวกเขาจึงเดินไปตามเส้นทาง ... "ยูเรก้า!: คำว่า" เส้นทางการเติบโตที่สมดุล "เกิดขึ้น

... สำหรับความหงุดหงิดของนักเรียน (อย่างน้อย) ซึ่งตอนนี้จำได้ว่าตัวอย่างเช่น "เส้นทางอานม้า" เป็นเส้นทางในเฟสไดอะแกรม แต่ "เส้นทางการเติบโตที่สมดุล" เป็นเพียงจุดเดียว! (เพราะเพื่อที่จะวาดไดอะแกรมของเฟสและรับความสมดุลระยะยาวแบบเก่าเราแสดงขนาดต่อผู้ปฏิบัติงานที่มีประสิทธิภาพและขนาดเหล่านี้มีสถานะคงที่แบบดั้งเดิม แต่เราเรียกมันว่า "เส้นทางการเติบโตที่สมดุล" เพราะขนาดของหัวต่อหัวซึ่งเป็นสิ่งที่เราสนใจในแนวทางแบบปัจเจกบุคคล) เติบโตต่อไป)

ดังนั้น "เส้นทางการเติบโตที่สมดุล" = "สถานะคงที่ของขนาดต่อหน่วยประสิทธิภาพของแรงงาน" และฉันคิดว่าคุณสามารถหาส่วนที่เหลือสำหรับแผนภาพเฟสของคุณ

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

จากการสนทนากับผู้ใช้ @denesp ตามความเห็นของคำตอบก่อนหน้านี้ฉันต้องชี้แจงสิ่งต่อไปนี้: อุปกรณ์กราฟิกปกติที่เราใช้เกี่ยวข้องกับรูปแบบการเติบโต Solow พื้นฐาน (ดูตัวอย่างที่นี่รูปที่ 2) ไม่ใช่แผนภาพเฟส เนื่องจากเหตุผลที่เราเรียกว่า "phase diagrams" พวกมันที่มี loci-change loci ให้ระบุจุดข้ามของพวกมันเป็นจุดคงที่ของระบบพลวัตและตรวจสอบคุณสมบัติเสถียรภาพของมัน และนี่ไม่ใช่สิ่งที่เราทำสำหรับรุ่น Solow ดังนั้นการใช้คำศัพท์อย่างระมัดระวังจากส่วนของฉัน

อย่างไรก็ตามเราสามารถวาดเป็น "กึ่งเฟสไดอะแกรม" สำหรับรูปแบบการเจริญเติบโตของโซโลว์ในพื้นที่ การทำความเข้าใจสัญลักษณ์ในฐานะ "ต่อหน่วยประสิทธิภาพแรงงาน" เรามีระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (ในขณะที่ ) $(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$ การเขียนสมการศูนย์การเปลี่ยนแปลงในฐานะที่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนแอเพื่อแสดงให้เห็นถึงแนวโน้มพลวัตเรามี

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

ดังนั้นระบบนี้ให้โลกัสการเปลี่ยนแปลงศูนย์เดียวเส้นตรง ไม่มีจุดผ่านเพื่อระบุจุดคงที่เราสามารถทำอะไรได้บ้าง วาดฟังก์ชั่นการผลิตในแผนภาพเนื่องจากในความเป็นจริงพื้นที่เป็นแบบสามมิติไม่ใช่พื้นที่ แต่เป็นเส้น จากนั้นเราจะได้รับ $(y,k)$

ลูกศรแนวตั้ง / แนวนอนแสดงให้เห็นถึงแนวโน้มของพลวัตที่มาจากความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนแอด้านบน (ทั้งและมีแนวโน้มที่จะเติบโตเมื่ออยู่เหนือโลคัสเปลี่ยนศูนย์) จากนั้นเนื่องจากและถูก จำกัด ให้ย้ายบนเส้นประ (ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นการผลิต) ดังนั้นมันจึงย้ายไปยังจุดคงที่ไม่ว่าเราจะเริ่มต้นที่ใด ที่นี่กราฟฟังก์ชั่นการผลิตแสดงถึงเส้นทางสู่ความสมดุลในระยะยาวเนื่องจากการบรรจบกันเป็นแบบโมโนโทนิก $y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา