อันตรายทางศีลธรรมกับตัวแทนที่เป็นกลางที่มีความเสี่ยง

เรามีรูปแบบตัวแทนหลักที่มีการกระทำที่ซ่อนอยู่ซึ่งเงินต้นไม่พึงพอใจความเสี่ยงและตัวแทนมีความเสี่ยงที่เป็นกลาง สมมติว่ามีเอาต์พุตสองระดับ $x$ และ $x'$ (กับ $x'>x$ ) และสองการกระทำ $a,a'$ . กำหนด $p(a),p(a')$ ความน่าจะเป็นของ $x'$ ภายใต้การกระทำ $a,a'$ ตามลำดับ นอกจากนี้ความไม่ลงรอยกันของตัวแทนจากการกระทำ $a'$ คือ $-1$ . ค่าแรงที่เกี่ยวข้องกับ $x,x'$ เป็น $w,w'$ ตามลำดับ

ปัญหาของฉันคือฉันไม่แน่ใจว่าจะแสดงให้เห็นว่าสัญญาที่ดีที่สุดต้องมี $x'-w' =x-w$ คือตัวแทนที่มีความเสี่ยงเป็นกลางใช้ความผันแปรทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับโครงการ

ฉันทำให้เป็นปัญหา (สมมติว่าครูใหญ่ต้องการชักจูง $a'$ มิฉะนั้นคำถามของฉันไม่สำคัญ)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

เซนต์

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาโดยการเพิ่มเงินต้นที่คาดหวังให้มากที่สุดภายใต้เหตุผล "มาตรฐาน" ส่วนบุคคล (พร้อมกับตัวคูณ ) และความเข้ากันได้กับสิ่งจูงใจ (ที่มีตัวคูณ ) การกระทำที่ราคาแพงก) ฉันจบด้วยสมการสองข้อที่ไม่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่กล่าวมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: $\lambda$ $\mu$ $a'$

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

เห็นได้ชัดว่าถือ iffซึ่งไม่ใช่กรณีของปัญหานี้ (ที่นี่เรามี ) ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือการสันนิษฐานว่าข้อ จำกัด ด้านความเข้ากันได้ของสิ่งจูงใจคือหย่อน (ดังนั้น ) แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจว่าทำไมจึงควรถือเมื่ออาจารย์ใหญ่ต้องการชักนำให้เกิดการกระทำที่ราคาแพงที่สุด (ช่วยที่นี่) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

ฉันได้อ่านออนไลน์แล้วว่าวิธีการอื่นจะถือว่าครูใหญ่ "ขาย" โครงการให้กับตัวแทนและตัวแทนหลังจากได้เลือกระดับความพยายามใดที่จะเพิ่มประโยชน์สูงสุดที่คาดไว้ให้กับยูทิลิตี้คืนเงินจำนวนคงที่ให้กับเงินต้น (เรียกมันว่า ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

ดังนั้นเราจะมีสิ่งที่ชอบ:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ หากตัวแทนเลือกที่จะใช้ความพยายามสูงและ มิฉะนั้น $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

แต่จะไปจากที่นั่นได้อย่างไร? วิธีการประกันว่าตัวแทนจะเลือกการกระทำ ? กำหนดจำนวนคงที่ได้อย่างไร ทำไมจึงดีที่สุด $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
แหล่งที่มา

คำใบ้: จากการตั้งค่าของคุณไม่จำเป็นต้องเป็นการกระทำที่มีประสิทธิภาพและดังนั้นตัวการจึงไม่ต้องการที่จะชักจูง คุณต้องการให้คนคิดว่ามันคืออะไร?

a^{'}

$a^\prime$

— เชน

@Shane นี้จะระบุในคำถาม: "ถือว่าความต้องการที่สำคัญที่จะทำให้เกิด "

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp นั่นเป็นความจริง แต่ก็ยังคงเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบหรือไม่มีประสิทธิภาพจริงเพราะได้รับตัวแทนความเสี่ยงเป็นกลางขายโครงการไปยังตัวแทนจะดีที่สุดไม่ว่าอะไร แต่จะทำให้เกิดถ้ามันมีประสิทธิภาพ หากไม่ได้ผล แต่ครูใหญ่ต้องการชักจูงโดยไม่คำนึงถึงความคิดทั้งหมดของสัญญาที่ดีที่สุดจะไม่ชัดเจน - เราจะหาสัญญาที่ดีที่สุดจากชุดสัญญาที่ทำให้เกิดทางเลือกที่ไม่ดี

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— เชน

เงินต้นสามารถชำระเงินเพื่อชักนำ 'จำนวนเงินตามยูทิลิตี้ใด ๆ ก็ตามที่ผู้ได้รับจากการกระทำนี้

— DJ Sims

"ค่าจ้าง" อาจเป็นค่าลบหรือศูนย์ได้หรือไม่

— Alecos Papadopoulos

คำตอบ:

คำตอบนี้แสดงสามสิ่ง:

เราไม่ต้องการแนวทางลากรองจ์เพื่อแก้ปัญหาการขยายใหญ่สุดของคุณ
เราไม่จำเป็นต้องมีข้อสันนิษฐานว่า $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$ ทั้ง.
เงื่อนไข $x'-w'=x-w$ ไม่เป็นที่พอใจสำหรับสัญญาที่เหมาะสมที่สุด

แก้ไขการจ่ายเงินแน่นอน $w$ . ปัญหาสามารถเขียนได้

\underset{W^{'}}{สูงสุด} ยู (x^{'} - W^{'}) พี (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$ กำหนดข้อ จำกัด

\begin{aligned} W^{'} พี (a^{'}) \geq 1 - W [1 - พี (a^{'})] \\ W^{'} [พี (a^{'}) - พี (a)] \geq 1 + W [พี (a^{'}) - พี (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$ เป็นที่ชัดเจนว่าเงินต้นมีความสนใจในการกำหนดค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้สำหรับ

w^{'}

$w'$ กำหนดชุดของข้อ จำกัด นี้เนื่องจากฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะลดลง

w^{'}

$w'$ . ดังนั้นเขาจะตั้งค่า

W^{'} = สูงสุด {\frac{1 - W [1 - พี (a^{'})]}{พี (a^{'})}, \frac{1 + W [พี (a^{'}) - พี (a)]}{พี (a^{'}) - พี (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

ดังที่ @Alcos_Papadopoulos ทำเช่นนั้นแล้วจึงเหมาะสมที่จะคิดว่าตัวแทนนั้นได้รับการคุ้มครองโดยความรับผิดที่ จำกัด เช่นการชำระเงินของเขานั้นไม่เป็นค่าลบ มิฉะนั้นปัญหาไม่จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา: ตัวการอาจได้รับประโยชน์จากการลดลง $w$ และเพิ่มขึ้น $w'$ เพื่อให้ข้อ จำกัด ของแต่ละบุคคลมีความพึงพอใจ แต่การทำสัญญา $(w=-\infty,w'=+\infty)$ เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทางออกที่น่าพอใจ ดังนั้นฉัน จำกัด ความสนใจกับกรณีที่ $w \geq 0$ และ $w' \geq 0$ .

เงื่อนไข $w \geq 0$ หมายถึง

\frac{1 + W [พี (a^{'}) - พี (a)]}{พี (a^{'}) - พี (a)} \geq \frac{1 - W [1 - พี (a^{'})]}{พี (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$ และดังนั้นจึง

W^{'} = \frac{1 + W [พี (a^{'}) - พี (a)]}{พี (a^{'}) - พี (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

การเสียบสมการนี้เข้ากับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ปัญหาของอาจารย์ใหญ่จะกลายเป็น

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์นี้ลดลง

w

$w$ . ดังนั้นเขาจึงกำหนด

w = 0

$w=0$ และ

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$ . เป็นข้อสรุปความเท่าเทียมกัน

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$ ไม่มีเหตุผลที่จะพึงพอใจเว้นแต่จะมีใครสมมติว่า

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$ นั่นคือ

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - พี (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$ สมการหลังนี้หมายความว่าการเกินดุลทางสังคมที่เกิดจาก

a^{'}

$a'$ เท่ากับส่วนเกินที่เกิดจาก

a

$a$ : เป็นกรณีพิเศษที่ต้นทุนของความพยายามสำหรับตัวแทนได้รับการชดเชยอย่างแน่นอนจากการเพิ่มขึ้นของผลผลิตที่คาดหวังสำหรับเงินต้น ในกรณีอื่น ๆ ทั้งหมดเรามี

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$ .

ฉันคิดว่าเหตุผลที่ตัวแทนไม่รับความเสี่ยงทั้งหมดเป็นเพราะการกระทำของเขาไม่สามารถสังเกตได้และดังนั้นจึงไม่สามารถทำสัญญาได้ สถานที่ให้บริการนี้จะเป็นจริงในเศรษฐกิจที่มีความเสี่ยงร่วมกับการจัดสรรที่ไม่มีข้อ จำกัด แต่การจัดสรรอยู่ที่นี่บิดเบี้ยวโดยความต้องการที่จะกระตุ้นตัวแทนเพื่อออกแรงมาก

— Oliv
แหล่งที่มา

(+1) นั่นเป็นวิธีการที่ดีฉันแค่อยากเป็นทางการกับปัญหาง่ายๆ หนึ่งประเด็นสุดท้ายที่มีการตั้งค่า OP: ตั้งแต่

x^{'}

$x'$ โดยพลการไม่มีอะไรรับประกันได้ว่า

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$ .

— Alecos Papadopoulos

ฉันไม่คิดว่า "อาจารย์ใหญ่จะได้ประโยชน์จากการลดลงเสมอ

w

$w$ และเพิ่มขึ้น

w^{'}

$w'$ เพื่อเก็บข้อ จำกัด ที่มีเหตุผลของแต่ละบุคคลมีความพึงพอใจ "เป็นความจริงที่ผมหมายถึงมีกรณีที่คุณไม่สามารถทั้งประโยชน์และให้ จำกัด การมีส่วนร่วมความพึงพอใจ...

— Giskard

@ ปฏิเสธฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องจริง

w

$w$ เชิงลบและขนาดเล็กพอและ

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$ เพื่อตอบสนองข้อ จำกัด ทั้งสอง ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของอาจารย์ใหญ่คือ

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$ และฟังก์ชั่นนี้ลดลงอย่างเคร่งครัด

w

$w$ , เมื่อไหร่

w

$w$ มีขนาดเล็กพอ ดังนั้นครูใหญ่สามารถทำได้ดีกว่าโดยการลด

w

$w$ และการตั้งค่า

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$ : ไม่มี soution ที่แน่นอนที่สุด

— Oliv

@Alecos Papadopoulos ขอบคุณ ทำไมคุณต้องการรับประกันว่า

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$ ?

— Oliv

@Oliv ถ้า

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$ ดังนั้นรายได้สุทธิสำหรับเงินต้นจะเป็นลบหาก

x^{'}

$x'$ เกิดขึ้นในขณะที่มันเป็นบวกถ้า

x

$x$ เกิดขึ้น (กับ

w = 0

$w=0$ ) ในความเป็นจริงแม้ว่า

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$ เราอยู่ในสถานการณ์ที่ครูใหญ่ต้องการชักจูงการกระทำ

a^{'}

$a'$ แม้ว่ายูทิลิตี้ที่มีเงื่อนไขจะต่ำกว่าหาก

x^{'}

$x'$ เกิดขึ้น สิ่งนี้จะต้องมีการรักษาที่ครอบคลุมมากขึ้นเพื่อกำหนดสิ่งที่เหมาะสมที่สุดที่นี่ แน่นอนว่าเราสามารถยอมรับปัญหาดังกล่าวได้ด้วยสมมติฐานทั้งหมดที่นำมาเป็น ad hoc givens แต่ฉันชอบปัญหาที่ตอบโต้สัญชาตญาณเฉพาะในตอนท้ายพวกเขาสามารถอธิบายได้อย่างแจ่มแจ้งว่าทำไม

— Alecos Papadopoulos

สิ่งที่รบกวนจิตใจฉันที่นี่มีดังต่อไปนี้ข้อ จำกัด เรื่องความเข้ากันได้ของสิ่งจูงใจ

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... ตั้งแต่โดยการสันนิษฐาน $p(a')-p(a) >0$ . เราได้รับการบอกกล่าวว่าเราควรพบว่าในระดับที่เหมาะสม

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

รวม $(1)$ และ $(2)$ หากเป็นสิ่งที่ดีที่สุดภายใต้ข้อ จำกัด ที่กำหนดเราต้องมีเช่นกัน

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

แต่นี่เป็นข้อ จำกัดเพิ่มเติมที่จำเป็นสำหรับขนาดนิรนัยที่ต้องเก็บไว้หากวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดที่ได้รับการกำหนดไว้นั้นต้องยอมรับได้ ถึงแม้ว่าจะมีข้อ จำกัด ที่แน่นอนในกรณีใด ๆ ก็ตามมันสามารถลดความเป็นไปได้ของปัญหาได้อย่างชัดเจน (ซึ่งอ้างว่าจะแสดงบางสิ่งทั่วไปเช่นความเสี่ยงต่อความเป็นกลางของเอเจนต์มีผลต่อการแก้ปัญหาอย่างไร)

อย่างไรก็ตามเรามาทำสิ่งนี้กันมากกว่านี้ ฉันจะสมมติว่า $w, w'$ อาจเป็นศูนย์ แต่ไม่เป็นลบ นี่เป็นปัญหาการขยายใหญ่สุดในรูปแบบปกติที่มีข้อ จำกัด ความไม่เท่าเทียมกันตัวแปรการตัดสินใจที่ไม่เป็นลบและตัวคูณที่ไม่ใช่ลบ ลากรองจ์เต็มของปัญหาจึงเป็น (ฉันจะกระชับสัญกรณ์ในวิธีที่ชัดเจน)

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกที่สำคัญคือ

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

และสำหรับ $w'$ . ผลเหล่านี้มา

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

โปรดทราบก่อนว่าค่าจ้างทั้งสองไม่สามารถเป็นศูนย์ได้เนื่องจากข้อ จำกัด จะถูกละเมิด รับสิ่งนี้พิจารณาความเป็นไปได้ที่ $IR$ มีผลผูกพัน (ดังนั้น $\lambda >0$ ) ถ้ามันมีผลผูกพันถ้าไม่ใช่ทั้งค่าแรงก็จะเป็นศูนย์ $IC$ ข้อ จำกัด จะต้องถูกละเมิด ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

และเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกตอนนี้กลายเป็น

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

ตอนนี้ทราบว่าถ้า $\xi =0$ (เช่น $w >0$ ) จากนั้น $(4a)$ ควรถือเป็นความเสมอภาคและด้วยคำสุดท้ายบนขวาเท่ากับศูนย์ แต่สิ่งนี้จะต้องใช้ยูทิลิตี้ลบที่ไม่สามารถยอมรับได้ เรารู้ด้วยว่าค่าแรงทั้งคู่อาจไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเราต้องมี

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

and the conditions now become

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq. $(5b)$ implies that $\mu_*>0$ , under a usual utility function specification, which does not give zero marginal utility except at infinity. This in turn means that the $IC$ constraint should hold as an equality. Given that $w_*=0$ this gives

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

This should ring a bell, because the right-hand-side of $(6)$ is the same as the right-hand-sides of $(1)$ and $(3)$ .

Namely, if we are assuming a priori that $x'-x = \frac 1{p'-p}$ , then the solution we have arrived at validates the claim $x'-w'_* = x-w_*$

Under this additional assumption, we also obtain

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Combining, we obtain

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

สิ่งนี้ยอมรับได้ ดังนั้นภายใต้ $x'-x = \frac 1{p'-p}$ เราได้คำตอบ

{W_{* * * *}^{'} = x^{'} - x = 1 / ({พี}^{'} - พี), W_{* * * *} = 0, λ_{* * * *} = 0, μ_{* * * *} \geq \frac{ξ_{* * * *}}{2 ({พี}^{'} - พี)}, ξ_{* * * *} > 0, ξ_{* * * *}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา