อัตราการเติบโตของฟังก์ชั่นการผลิตแบบนีโอคลาสสิกมาบรรจบกันเมื่อปัจจัยการผลิตทั้งหมดเติบโตด้วยค่าคงที่ แต่อัตราการเติบโตที่แตกต่างกันหรือไม่?

สมมติว่าคุณมีฟังก์ชั่นการผลิตนีโอคลาสสิกที่มี N-input

$F(x_t^1,...,x_t^N)$

ปัจจัยการผลิตทั้งหมดเจริญเติบโตได้ในเวลาต่อเนื่องกับคงที่ แต่อัตราการเจริญเติบโตไม่เหมือนเจสมมติ Nอัตราการเติบโตของนั้น $g^j$ $g^1 \leq g^2 \leq ... \leq g^N$ $F$

$\hat{F}=\sum_{j=1}^N \varepsilon_{F,x^j} g^j$

กับเป็นความยืดหยุ่นของด้วยความเคารพเจเนื่องจากเป็นเส้นตรงเป็นเนื้อเดียวกันฉันรู้ว่าถือ $\varepsilon_{F,x^j}$ $F$ $x^j$ $F$ $\sum_{j=1}^N \varepsilon_{F,x^j}=1$ และ $\frac{\partial F}{\partial x^j}>0$ บ่งบอก0ด้วยเหตุนี้ $\frac{\partial^2 F}{\partial {x^j}^2}<0$ $\varepsilon_{F,x^j}>0$

$g^1 \leq \hat{F} \leq g^N$ $\forall t$

คำถามของฉันคือเป็นจะมาบรรจบกันเป็น ? ฉันคิดว่ามันยากที่จะจินตนาการว่าความยืดหยุ่นมีความผันผวน (เป็นระยะ ๆ ) รอบ ๆ ค่าบางค่าเนื่องจากอัตราส่วนปัจจัยเข้าทั้งหมดไปที่ศูนย์หรือไม่มีที่สิ้นสุด (หรือคงที่ตลอดเวลาในกรณีที่อัตราการเติบโตเท่ากัน) $\hat{F}$ $t \to \infty$

ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าความยืดหยุ่นทั้งหมดมาบรรจบกัน ฉันสงสัยว่าผลที่ได้อาจจะขึ้นอยู่กับ propety ที่สำหรับซึ่งมักจะถือในสองกรณีสินค้า แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนี้ $\frac{\partial^2 F}{\partial x_j \partial x_k}>0$ $k \neq j$

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือของคุณ! ถ้าภาษาอังกฤษของฉันดูน่าอึดอัดใจนั่นเป็นเพราะฉันเป็นคนเยอรมัน แต่ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจปัญหาต่อไป :)

mathematical-economics economic-growth production-function

— Thorsten L.
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าความยืดหยุ่นมาบรรจบกันสำหรับอัตราการเติบโตโดยพลการ

นี่คือการรักษาปัญหา ตัวห้อยในแสดงถึงอนุพันธ์บางส่วน ฉันจะละเว้นตัวห้อยเวลา ตามคำนิยามความยืดหยุ่นของป้อนข้อมูล -th คืออัตราส่วนของผลผลิตส่วนเพิ่ม (คน ) มากกว่าสินค้าเฉลี่ย )ดังนั้นสำหรับความยืดหยุ่นในการทำให้เสถียรระหว่างกันนั้นจะต้องเป็นกรณีที่อัตราการเติบโตของผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มเท่ากับ (หรือเท่ากับขีด จำกัด ด้วย) อัตราการเติบโตของผลิตภัณฑ์เฉลี่ย $F$ $i$ $F_i$ $(F/x_i)$

สำหรับอินพุตเรามี $x_{1}$

\frac{d}{d t} F_{1} = F_{11} {\dot{x}}_{1} + F_{12} {\dot{x}}_{2} + . . . + F_{1 n} {\dot{x}}_{n}

$\frac {d}{dt} F_1 = F_{11}\dot x_{1} +F_{12}\dot x_{2} +...+F_{1n}\dot x_{n}$

$F_1$

\tilde{F_{1}} = \frac{d F_{1} / d t}{F_{1}} = \frac{F_{11} x_{1}}{F_{1}} \frac{{\dot{x}}_{1}}{x_{1}} + . . . + \frac{F_{1 n} x_{n}}{F_{1}} \frac{{\dot{x}}_{n}}{x_{n}}

$\tilde {F_1} = \frac {dF_1/dt}{F_1} = \frac{F_{11} x_1}{F_1}\frac{\dot x_{1}}{x_1} + ... +\frac{F_{1n} x_n}{F_1}\frac{\dot x_{n}}{x_n}$

$F_1$ $\eta_{1k}$

\tilde{F_{1}} = \sum_{k = 1}^{n} η_{1 k} g_{k}

$\tilde {F_1} = \sum_{k=1}^n\eta_{1k}g_k$

และอะนาล็อกสำหรับอินพุตอื่น ๆ

หันไปหาผลผลิตเฉลี่ยของอินพุตแรกที่เรามี

\frac{d}{d t} (F / x_{1}) = \frac{F_{1} x_{1} - F}{x_{1}^{2}} {\dot{x}}_{1} + \frac{F_{2}}{x_{1}} {\dot{x}}_{2} + . . . + \frac{F_{n}}{x_{1}} {\dot{x}}_{n}

$\frac {d}{dt} (F/x_1 ) = \frac {F_1x_1 - F}{x_1^2}\dot x_1 + \frac {F_2}{x_1}\dot x_2+...+\frac {F_n}{x_1}\dot x_n$

การจัดการ,

\frac{d}{d t} (F / x_{1}) = [F_{1} - \frac{F}{x_{1}}] g_{1} + \frac{F}{x_{1}} \frac{F_{2} x_{2}}{F} \frac{{\dot{x}}_{2}}{x_{2}} + . . . + \frac{F}{x_{1}} \frac{F_{n} x_{n}}{F} \frac{{\dot{x}}_{n}}{x_{n}}

$\frac {d}{dt} (F/x_1 ) = \left[F_1-\frac {F}{x_1} \right]g_1 + \frac{F}{x_1}\frac{F_2x_2}{F} \frac {\dot x_2}{x_2}+...+\frac{F}{x_1}\frac{F_nx_n}{F} \frac {\dot x_n}{x_n}$

= \frac{F}{x_{1}} \cdot ((e_{1} - 1) g_{1} + e_{2} g_{2} + . . . + e_{n} g_{n})

$= \frac {F}{x_1}\cdot \Big( (e_1-1)g_1 + e_2g_2 + ...+ e_ng_n\Big)$

⟹ \frac{d (F / x_{1}) / d t}{(F / x)} = \tilde{F} - g_{1} = \sum_{k = 1}^{n} e_{k} g_{k} - g_{1}

$\implies \frac {d(F/x_1)/dt}{(F/x)} = \tilde F - g_1 = \sum_{k=1}^ne_kg_k - g_1$

$\tilde F$

\forall i = 1, . . ., n \sum_{k = 1}^{n} η_{i k} g_{k} = \sum_{k = 1}^{n} e_{k} g_{k} - g_{i}

$\forall i=1,...,n\;\;\; \sum_{k=1}^n\eta_{ik}g_k = \sum_{k=1}^ne_kg_k - g_i$

$\mathbf H$ $n\times n$ $\mathbf I_n$ $\mathbf e$ $n \times 1$ $e_i$ $\mathbf i$ $\mathbf g$ $n \times 1$

(H + I_{n} - (i \oplus e^{'})) g = 0

$\big(\mathbf H + \mathbf I_n - (\mathbf i \oplus \mathbf e')\big)\mathbf g =0$

$\mathbf g$ $F$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา