ความยืดหยุ่นของปัจจัยจากฟังก์ชัน Cobb-Douglas ในหนังสือเศรษฐศาสตร์มหภาคของโรเมอร์

ราตรีสวัสดิ์ฉันกำลังอ่านหนังสือเศรษฐศาสตร์มหภาคของ Romer ในหน้า 42 ชื่อหัวข้อ "ความซับซ้อน" จุดเริ่มต้นของย่อหน้าที่สามพูดว่า:

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่คุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชั่นการผลิตอย่างไรก็ตาม ด้วยการผลิต Cobb-Douglas ความยืดหยุ่นของการทดแทนระหว่างอินพุตคือ 1 . ...

ฉันเข้าใจว่าปัจจัยความยืดหยุ่นของความยั่งยืนถูกกำหนดเช่น $ El_x (y) = \ frac {d \, \ ln (y)} {d \, \ ln (x)} $ ในกรณีนี้จะเป็น $ El_K (L) = \ frac {d \, \ ln (L)} {d \, \ ln (K)} = \ frac {d L} {d K} \ frac {K} {L} $ จากฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด Cobb-Douglas $ Y = K ^ \ alpha L ^ {1- \ alpha} $ เรามีสำหรับ $ Y = const $, $ K = (YL ^ {\ alpha-1}) ^ {1 / \ alpha} $ จากนั้น $$ \ frac {d K} {d L} = \ frac {\ alpha - 1} {\ alpha} \ left (\ frac {Y} {L} \ right) ^ {1 / \ alpha} $$ ตอนนี้แทนที่ในสูตร: $$ El_L (K) = \ frac {\ alpha - 1} {\ alpha} \ left (\ frac {Y} {L} \ right) ^ {1 / \ alpha} \ times \ frac {L} {K} $$ ปฏิบัติการที่เรามี $$ El_L (K) = \ frac {\ alpha-1} {\ alpha} $$ เช่น $ El_L (K) = \ frac {1} {El_K (L)} $ จากนั้น $ El_K (L) = \ frac {\ alpha} {\ alpha-1} $ ประเด็นคือค่านี้ไม่เท่ากัน

ฉันกำลังตีความคำยืนยันที่ผิด? ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ.

นี่ไม่ใช่ความยืดหยุ่นของสูตรการแทนที่ สิ่งที่ถูกต้องคือระหว่างปัจจัยคือ $ K, L $

$$ \ sigma = \ frac {\ mathrm {d} \ log \ left (\ frac {K} {L} \ right)} {\ mathrm {d} \ log \ left (\ frac {F_L} {F_K} \ ขวา)} $$

การแสดงออกนี้สามารถทำงานได้สะดวกดังนี้:

$$ \ frac {\ mathrm {d} \ log \ left (\ frac {K} {L} \ right)} {\ mathrm {d} \ log \ left (\ frac {F_L} {F_K} \ right)} = \ frac {(L / K) [d (K / L)]} {(F_K / F_L) [d (F_ {L} / F_ ​​{K})]} $$

$$ = \ frac {LF_L} {KF_K} \ cdot \ frac {d (K / L)} {d (F_ {L} / F_ ​​{K})} $$

ในกรณี Cobb-Douglas เรามี

$$ \ frac {F_L} {F_L} = \ frac {1-a} {a} \ frac {K} {L} $$

ดังนั้น

$$ d \ left (\ frac {F_ {L}} {F_ {K}} \ right) = \ frac {1-a} {a} d \ left (\ frac {K} {L} \ right) $ $

แทนที่ทั้งสองนิพจน์ที่เรามี

$$ \ sigma = \ frac {L} {K} \ frac {1-a} {a} \ frac {K} {L} \ cdot \ frac {d (K / L)} {[(1- ก) /a]d(K/L)}=1.$$