เส้นโค้งไม่แยแสบาง

หากผู้บริโภคติดตามความจริงตามเหตุผลของความต่อเนื่อง (เช่นไม่มีการกระโดดในการตั้งค่าของเขา) เส้นโค้งความเฉยเมยของฟังก์ชั่นยูทิลิตี้จะกล่าวว่าเป็นบาง

ทำไมไม่ต่อเนื่อง ( ดังกล่าวว่า| Z | ≥ Y ∀ ε > 0 ) บ่งบอกถึงความไม่แยแสโค้งบาง?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

ฉันไม่คิดว่าความต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวนั้นเพียงพอที่จะรับประกันว่าเส้นโค้งบางที่ไม่แยแส

$x$$y$$x$$y$

แต่การตั้งค่าเหล่านี้ยังสนองความต้องการของคุณต่อเนื่อง

ดังนั้นดูเหมือนว่าความต่อเนื่องจะหมายถึงเพียงเส้นโค้งที่ไม่แยแสบาง ๆ ถ้ามันถูกจับคู่กับข้อสันนิษฐานอื่น ๆ

เริ่มต้นด้วยฉันคิดว่าคำถามนี้ผิดไป ถ้าหากคำจำกัดความของเส้นโค้งความเฉยเมยบาง ๆ เป็นเช่นนั้นความต่อเนื่องของการตั้งค่าของผู้บริโภคหมายถึงเส้นโค้งไม่แยแสบาง ๆ แน่นอนความต่อเนื่องหมายถึงเส้นโค้งไม่แยแสบาง ๆ ... นี่เป็นการตอบคำถามของคุณ

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$$[q]$

หลักดังกล่าวข้างต้นคือการแสดงออกสั้น ๆ ของวิธีการทางเรขาคณิตที่จะคาดว่าจะ Utility (Chatterjee และกฤษณะ, 2006) การใช้คำจำกัดความข้างต้นของเส้นโค้งความเฉยเมยบางพวกเขาแสดงใน Lemma 2.3 ว่า (i) ความต่อเนื่องและ (ii) ความเป็นอิสระหมายถึงเส้นโค้งความเฉยเมยบาง ๆ (โปรดทราบว่าพวกเขาไม่แสดงความต่อเนื่องเพียงอย่างเดียว . คำจำกัดความของพวกเขาอาศัยสองแนวคิดทอพอโลยีต่อไปนี้

1. $\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. $p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

$[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$$q'$$q'$

$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$