การบันทึกเชิงเส้นของสมการออยเลอร์ด้วยคำที่คาดหวัง

10

มีแหล่งข้อมูลออนไลน์ไม่กี่แห่งที่พร้อมให้ความช่วยเหลือเกี่ยวกับการบันทึกข้อมูลเชิงเส้น (เช่นที่นี่ หรือที่นี่ ) อย่างไรก็ตามการบันทึกข้อมูลเชิงเส้นตรงซึ่งเกี่ยวข้องกับความคาดหวังนั้นค่อนข้างยุ่งยากเล็กน้อยเนื่องจากบันทึกไม่สามารถ "ส่งผ่าน" ผู้ดำเนินการที่คาดหวังได้ มีคนช่วยพีชคณิตในตัวอย่างนี้ได้ไหม

ฉันมีสมการออยเลอร์ (สมการ 1) ที่ปอนด์ต่อตารางนิ้ว) ฉันพยายามหานิพจน์สำหรับอัตราปลอดความเสี่ยงและการแสดงออกของส่วนของผู้ถือหุ้น ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

ดูเหมือนว่าจากการเชื่อมโยงที่สองดังกล่าวข้างต้นที่ผมควรจะเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนตัวแปรที่น่าสนใจเช่นดังนั้นC_t} จากนั้นทำตามขั้นตอนที่กำหนดดูเหมือนว่าฉันควรจะมาถึง (สมการ 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{เสื้อ} [{δ {(\frac{{\tilde{ค}}_{เสื้อ + 1} + 1}{{\tilde{ค}}_{เสื้อ} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{ม.}) [\tilde{(1 + R_{ม., เสื้อ + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{ผม}) [\tilde{(1 + R_{ผม, เสื้อ + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

แต่ฉันจะไปจากที่นี่ที่ไหน

แก้ไข:

ฉันได้คัดลอกสมการ 1 โดยตรงจากบันทึกย่อที่ฉันมี มันอาจจะเป็นกรณีที่คำว่าด้านขวา , ควรจะอยู่ในวงเล็บ1}) ในความพยายามครั้งแรกของฉันที่ log-linearization ฉันได้ปฏิบัติเช่นนี้ $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
ในสมการที่ 2 ฉันได้ทำตามขั้นตอนในการเรียนการสอนที่สามารถพบได้ในลิงค์ที่สองที่จุดเริ่มต้น ดังนั้นและไม่มีตัวห้อยเวลาเป็นค่าเหล่านี้ในสถานะคงที่ $R_i$ $R_m$
$R_m$ คือการกลับไปในผลงานตลาดและเป็นผลตอบแทนจากสินทรัพย์ฉัน $R_i$ $i$

แก้ไข 2:

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์ ดังนั้นจากสิ่งที่ฉันรวบรวมมาฉันควรได้รับสิ่งนี้:

\begin{aligned} 1 & = E_{เสื้อ} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{ค}}_{เสื้อ + 1} - {\tilde{ค}}_{เสื้อ}) (1 + R_{ม.})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{ม., เสื้อ} \frac{R_{ม.}}{1 + R_{ม.}}) \\ \cdot (1 + R_{ผม}) ((1 + {\tilde{R}}_{ผม, เสื้อ} \frac{R_{ผม}}{1 + R_{ผม}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

จากนั้นนี่ก็หมายความว่าอัตราความเสี่ยงฟรีพบดังนี้

\begin{aligned} 1 & = E_{เสื้อ} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{ค}}_{เสื้อ + 1} - {\tilde{ค}}_{เสื้อ}) (1 + R_{ม.})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{ม., เสื้อ} \frac{R_{ม.}}{1 + R_{ม.}}) (1 + R_{ฉ})] \\ 1 & = E_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1} (1 + R_{ฉ})] \\ \frac{1}{E_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}]} & = 1 + R_{ฉ} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

ถูกต้องหรือไม่ และตอนนี้เพื่อทำคำถามให้จบฉันจะหาส่วนของทุนได้อย่างไร

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
แหล่งที่มา

ฉันกำลังวิ่ง แต่คุณมีสิทธิ์เข้าถึงหนังสือของ Gali หรือไม่? ฉันคิดว่าเขาทำมันอย่างกว้างขวาง iirc

— FooBar

ไม่มันเป็นหนังสือนโยบายการเงินของเขาไหม? "นโยบายการเงินเงินเฟ้อและวัฏจักรธุรกิจ"

— ethan1410

ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายที่คุณได้รับ (1 ในอัตราที่ปราศจากความเสี่ยงเท่ากับความคาดหวังของ sdf) เป็นจริงเสมอดังนั้นนั่นเป็นสัญญาณที่ดี หากต้องการค้นหาส่วนของผู้ถือหุ้นให้ค้นหาราคาสำหรับมูลค่าของการเรียกร้องไปยังตลาดจากนั้นลบราคาผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

ลองเพิกเฉยสักครู่ถึงการมีอยู่ของค่าที่คาดหวัง ถ้านี่เป็นการตั้งค่าที่กำหนดขึ้นการทำให้เป็นเส้นตรงผ่านการบันทึกจะตรงไปตรงมาและไม่มีเทคนิคของการเชื่อมโยงที่ OP ให้ไว้ จดบันทึกธรรมชาติทั้งสองข้างของสมการแรกที่เราได้รับ:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ LN δ - \frac{θ}{ψ} LN (\frac{ค_{เสื้อ + 1}}{ค_{เสื้อ}}) - (1 - θ) LN (1 + R_{ม., เสื้อ + 1}) + LN (1 + R_{ผม, เสื้อ + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

ชุด

\begin{matrix} (2) & {\hat{ค}}_{เสื้อ + 1} = \frac{ค_{เสื้อ + 1} - ค_{เสื้อ}}{ค_{เสื้อ}} \Rightarrow \frac{ค_{เสื้อ + 1}}{ค_{เสื้อ}} = 1 + {\hat{ค}}_{เสื้อ + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

นอกจากนี้ยังทราบว่ามันเป็นประมาณมาตรฐานในการเขียนอย่างน้อยสำหรับ|โดยปกตินี่คือกรณีที่มีอัตราการเติบโตและอัตราทางการเงินดังนั้นเราจึงได้รับ $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ LN δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{ค}}_{เสื้อ + 1} - (1 - θ) R_{ม., เสื้อ + 1} + R_{ผม, เสื้อ + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์แบบไดนามิกที่ชัดเจนที่เชื่อมโยงสามตัวแปรปัจจุบัน ถ้าในแบบจำลองสถานะคงที่คือลักษณะการบริโภคคงที่และผลตอบแทนคงที่จากนั้นเราจะมีดังนั้นความสัมพันธ์คงที่จะเป็น $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{ผม} = - θ LN δ + (1 - θ) R_{ม.} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

แต่เราทำสิ่งเหล่านี้โดยไม่สนใจคุณค่าที่คาดหวัง นิพจน์ของเราคือไม่ใช่แค่ ขวา) ใส่ลำดับแรกการขยายตัวของเทย์เลอร์() เราต้องการศูนย์กลางของการขยายตัว เป็นตัวแทนของตัวแปรสี่ตัวโดย (มันไม่เจ็บเลยว่ามีตัวแปรที่มี -index อยู่ใน ) เราเลือกที่จะขยายการทำงานรอบ1}) ดังนั้น $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

แล้วก็

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

เห็นได้ชัดว่านี่คือการประมาณนั่นคือมันมีข้อผิดพลาดแม้ว่าจะเป็นเพียงเพราะความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่น แต่มันเป็นมาตรฐานการปฏิบัติ จากนั้นเราจะเห็นว่างานก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่เราทำในเวอร์ชันที่กำหนดขึ้นสามารถนำไปใช้ในเวอร์ชันสุ่มที่แทรกค่าที่คาดหวังตามเงื่อนไขแทนตัวแปร ดังนั้น เขียน $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

แต่ค่าของรัฐที่มั่นคงอยู่ที่ไหน ค่าคงที่ของรัฐในบริบทสุ่มนั้นค่อนข้างยุ่งยากหากเราเถียงว่าตัวแปรของเรา (ซึ่งตอนนี้ถือว่าเป็นตัวแปรสุ่ม) กลายเป็นค่าคงที่หรือไม่ หรือมีวิธีอื่นในการกำหนดสถานะคงที่ในบริบทสุ่ม?

มีมากกว่าหนึ่งวิธี หนึ่งในนั้นคือ "สถานะการมองการณ์ไกลที่มั่นคงสมบูรณ์แบบ" ซึ่งเราคาดการณ์ได้อย่างสมบูรณ์แบบว่าไม่จำเป็นต้องมีมูลค่าคงที่ (นี่คือแนวคิดของ นี่คือตัวอย่างที่ใช้ในหนังสือของ Jordi Gali ที่กล่าวถึงในความคิดเห็น "สภาวะคงตัวที่สมบูรณ์แบบการคาดการณ์ล่วงหน้า" ถูกกำหนดโดย

\begin{matrix} (8) & E_{เสื้อ} (x_{เสื้อ + 1}) = x_{เสื้อ + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

ภายใต้แนวคิดนี้ eq กลายเป็น eq ซึ่งตอนนี้เป็นสมการ "สมบูรณ์แบบการมองการณ์ไกลมั่นคงมั่นคง" ของเศรษฐกิจ $(7)$ $(3)$

หากเราต้องการสภาพที่แข็งแรงกว่าการพูดว่าตัวแปรคงที่ในสถานะคงที่ก็มีเหตุผลที่จะโต้แย้งว่าอีกครั้งการคาดการณ์ของพวกเขาจะสมบูรณ์แบบในที่สุด ในกรณีดังกล่าวสภาพเศรษฐกิจที่มั่นคงของ stochastic นั้นเหมือนกับของเศรษฐกิจที่กำหนดขึ้นเช่น eq (4) $(4)$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

@jmbejara นี้เป็นอย่างดีที่ถูกต้อง มันเป็นค่าที่คาดหวังของคำสั่งตัดแรกเทย์เลอร์โดยประมาณของฟังก์ชัน คุณไม่เห็นด้วยกับสิ่งนั้นหรือ ไม่ว่าคุณจะพิจารณาว่าเป็นการประมาณที่ไม่ดีหรือไม่ก็เป็นอีกเรื่องหนึ่งและเกี่ยวข้องกับเกณฑ์ที่คุณใช้ตัดสินคุณภาพและความเพียงพอของการประมาณ

— Alecos Papadopoulos

ตกลง. คุณมีประเด็น แต่อย่างที่คุณพูดฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ดีที่สุดในสถานการณ์คืออะไร แต่ดูเหมือนว่าจะมีวิธีการที่แตกต่างกัน มีบางอย่างที่ต้องพูดถึงเรื่องอคติ แต่คุณนำมาซึ่งจุดที่ดี ฉันจะยกเลิกการลงคะแนนทันทีที่จะให้ฉัน

— jmbejara

3

ประมาณที่ถูกต้องคือ[x]) สิ่งนี้ไม่เอนเอียงในขณะที่ไม่ใช่ หากต้องการดูสิ่งนี้โครงการบนโดยที่ "bar" แสดงถึงโอเปอเรเตอร์การคาดการณ์ จากนั้นประมาณ การประมาณนี้แน่นอนเมื่อกระจายตามปกติ (โดยบทแทรกของ Stein) $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (ฉ (x), x)}{Var (x)} \approx E [ฉ^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

แก้ไข:

สำหรับการชี้แจงให้ดูว่าการฉายภาพของบนทำให้เราโดยที่และ }} หากเราใช้บทแทรกของ Stein เพื่อประมาณตามที่อธิบายไว้ข้างต้นเราจะเหลือ ซึ่งไม่มีอคติ ในทางกลับกัน $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

ฉ (x) \approx E [ฉ (x)] + E [ฉ^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ε,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ε] = 0

$E[\epsilon] = 0.$

E [ฉ (E [x]) + ฉ^{'} (E [X]) (x - E [x])] = ฉ (E [x]) \neq E [ฉ (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
แหล่งที่มา

มันจะเป็นประโยชน์หากคุณอาจรวมถึงในคำตอบของคุณมาที่มีรายละเอียดของการประมาณ [x])

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

— Alecos Papadopoulos

ขอบคุณสำหรับการปรับปรุงคำตอบของคุณ เพื่อให้อยู่ใกล้กับคำถาม OP มีฟังก์ชั่นและเขาต้องการจัดการกับค่าที่คาดหวัง ดังนั้นเขาควรจะแก้ไขสำนวนที่คุณเขียนเพื่อและรับ

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [ฉ (x)] \approx ฉ (x) - \frac{Cov (ฉ (x), x)}{var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

— Alecos Papadopoulos

3

ปัญหาของคุณดูเหมือนว่าสมการการกำหนดราคาสินทรัพย์ด้วยการตั้งค่าแบบเรียกซ้ำ (Epstein-Zin) เมื่อมีความสนใจในราคาสินทรัพย์เราจะต้องระมัดระวังกับการปรับเชิงเส้น "เศรษฐกิจมหภาค" ตามปกติ การประมาณดังกล่าวมีความแน่นอนเทียบเท่าซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ของการแก้ปัญหาเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของแรงกระแทก นอกจากนี้ตัวแปรทั้งหมดในการแก้ปัญหาเชิงเส้นจะผันผวนรอบ ๆ สถานะคงตัวที่กำหนดไว้ เป็นผลให้ความเสี่ยง premia เป็นศูนย์ซึ่งชนิดของการท้าทายจุด

ทางออกหนึ่งคือการใช้วิธีการก่อกวนที่สูงกว่า (ลำดับที่ 2 เพื่อรับค่าความเสี่ยงคงที่อันดับที่ 3 สำหรับลำดับที่แปรผันตามเวลา) นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะทำกับซอฟต์แวร์ที่มีอยู่ (เช่น Dynare) ถ้าคุณต้องการที่จะแก้ปัญหาแบบตัวเลขอย่างไรก็ตาม หากวิเคราะห์แทน (โดยประมาณ) วิธีการแก้ปัญหาเป็นที่ต้องการทางปกติคือการพลวัต linearize ปริมาณ (การเจริญเติบโตของการบริโภคเช่น) แล้วได้รับราคาสินทรัพย์โดยตรงจากสมการออยเลอร์, ความคาดหวังของการคำนวณโดยใช้สมมติฐาน lognormality เช่นเดียวกับในBansal & Yaron (2004)

ตัวอย่างเช่นหากตัวแปรตัวพิมพ์เล็กเป็นบันทึกสมการออยเลอร์ปกติสามารถเขียนใหม่ได้

1 = E_{เสื้อ} [ประสบการณ์ ({ม.}_{เสื้อ + 1} + R_{เสื้อ + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

ถ้าเป็นแบบมีเงื่อนไขร่วมกัน $m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}] + E_{เสื้อ} [R_{เสื้อ + 1}] + \frac{1}{2} {V a R_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}] + V a R_{เสื้อ} [R_{เสื้อ + 1}] + 2 ค โอ {โวลต์}_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}, R_{เสื้อ + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

อัตราปลอดความเสี่ยงต้องเป็นไปตามหรือ $\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

R_{เสื้อ}^{ฉ} = - E_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}] - \frac{1}{2} V a R_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

และดังนั้นเราต้องมี

E_{เสื้อ} [R_{เสื้อ + 1}] - R_{เสื้อ}^{ฉ} + \frac{1}{2} V a R_{เสื้อ} [R_{เสื้อ + 1}] = ค โอ {โวลต์}_{เสื้อ} [{ม.}_{เสื้อ + 1}, R_{เสื้อ + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

หากต้องการคำนวณราคาสินทรัพย์จริง

express log-SDF เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสถานะและแรงกระแทกบางอย่าง (เช่นการเติบโตของปริมาณการใช้บันทึกในกรณี CRRA)
ผลตอบแทนเชิงเส้นในรูปของอัตราส่วนเงินปันผลต่อราคา (ประมาณ Campbell-Shiller) แทนค่าเป็น (1)
แสดงอัตราส่วน D / P ด่วนเป็นตัวแปรเชิงเส้นในตัวแปรสถานะจากนั้นใช้วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่บึกบึนเพื่อหาวิธีการแก้ปัญหาที่สอดคล้องกับ (1)

ในทางปฏิบัติมันค่อนข้างซับซ้อนกว่าเล็กน้อย (โดยเฉพาะการตั้งค่า EZ เมื่อต้องใช้วิธีแรกในการหาผลตอบแทนของตลาดที่เข้าสู่ SDF จากนั้นเป็นครั้งที่สองสำหรับผลตอบแทนอื่น) แต่สามารถพบรายละเอียดเพิ่มเติมได้เช่นใน Bansal & Yaron กระดาษ.

— ivansml
แหล่งที่มา

1

เผง ดูเหมือนความสับสนในหัวข้อนี้มาจากความจริงที่ว่าในการประมาณลำดับแรกของสมการออยเลอร์สำหรับการกำหนดราคาสินทรัพย์ไม่มีความเสี่ยงระดับพรีเมี่ยม (ความแปรปรวนระหว่าง SDF และผลตอบแทนแน่นอนเป็นลำดับที่สองโดยเนื้อแท้) ขอขอบคุณที่ล้างข้อมูลนี้

— นามที่เข้มงวด