ทำไมระดับแรงงานทุนและผลผลิตไม่สามารถยึดติดกับการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบได้

พิจารณา บริษัท ที่ผลิตด้วยเทคโนโลยีต่อไปนี้:

\ begin {} สม Y = AL ^ {\ alpha} K ^ {\ beta} \ end {} สม

สมมติว่าปัจจัยที่ได้รับการจ่ายส่วนเพิ่มของพวกเขาเพื่อการส่งออกก็สามารถแสดงให้เห็นว่าตัวเลือกปัจจัยที่ดีที่สุดสำหรับ บริษัท นี้คือ:

\ start {equation} \ label {eq: k-l ratio} \ frac {L ^ *} {K ^ *} = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ frac {r} {w} \ end {} สม

(นี่มาจากการค้นหาการชำระเงินของแต่ละปัจจัยและรวมเข้าด้วยกัน)

ดังนั้นที่ไกลที่สุดที่เราสามารถไปในแง่ของการกำหนดความสมดุลในเศรษฐกิจ / บริษัท นี้เกี่ยวข้องกับแรงงานทุนที่ดีที่สุด อัตราส่วน . ผลไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับ ชั้น ของอินพุตและเอาต์พุต $ L ^ * $, $ K ^ * $ หรือ $ Y ^ * $

นี่ไม่ใช่กรณีหากมีเพียงหนึ่งอินพุต ตัวอย่างเช่นถ้า $ Y = AL ^ \ alpha $ ดังนั้น

$$ L ^ * = \ left (\ alpha A \ frac {p} {w} \ right) ^ {1- \ alpha} $$

เหตุผลไม่เกี่ยวข้องกับระดับของผลตอบแทนจากมาตราส่วนเนื่องจากไม่มีข้อ จำกัด มันไม่ได้เกี่ยวข้องกับความยืดหยุ่นของการทดแทนเช่นเดียวกับในกรณีของ CES มันยังเป็นอัตราส่วนแรงงาน - ทุนที่แก้ไขได้ นี่คือทางออกคือ

$$ \ frac {L ^ *} {K ^ *} = \ left (\ frac {\ alpha} {1- \ alpha} \ frac {r} {w} \ right) ^ \ sigma $$

ดังนั้นคำถามคือ ทำไมเราไม่สามารถตรึง ชั้น ของอินพุตและเอาต์พุตที่ดีที่สุด? นี่เป็นเพราะเราได้ทำการรักษาราคาปัจจัยภายนอกดังนั้นเราจึงขาดตลาดด้านอุปทานของแต่ละปัจจัย?

ดังนั้นที่ไกลที่สุดที่เราสามารถไปในแง่ของการกำหนดความสมดุลในเศรษฐกิจ / บริษัท นี้เกี่ยวข้องกับแรงงานทุนที่ดีที่สุด อัตราส่วน . ผลไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับ ชั้น ของอินพุตและเอาต์พุต $ L ^ * $, $ K ^ * $ หรือ $ Y ^ * $

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นเรื่องจริง คุณรวมสองสมการเป็นหนึ่งเดียวและทำให้ข้อมูลสูญหาย ปัญหาการปรับให้เหมาะสมคือ

\ begin {} สม \ max_ {K, L} p \ cdot AL ^ {\ alpha} K ^ {\ beta} - w \ cdot L - r \ cdot K \ end {} สม การซื้อขายตราสารอนุพันธ์ $ L $ และ $ K $ ให้ผลสองเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกและสองสิ่งที่ไม่รู้จักคือ $ L $ และ $ K $ $$ \ alpha \ cdot p \ cdot AL ^ {\ alpha-1} K ^ {\ beta} = w $$ $$ \ beta \ cdot p \ cdot AL ^ {\ alpha} K ^ {\ beta-1} = r $$ ดังที่คุณสังเกตเห็นว่าสิ่งนี้แสดงถึงสมการการลดต้นทุน $$ \ frac {L ^ *} {K ^ *} = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ frac {r} {w}, $$ แต่ทำไมต้องเป็นอย่างนั้น? คุณจะได้รับ $$ L = \ left (\ frac {r} {\ beta \ cdot p \ cdot A K ^ {\ beta-1}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}} $$ และเสียบมันเข้ากับสมการแรก $$ \ alpha \ cdot p \ cdot A \ left (\ frac {r} {\ beta \ cdot p \ cdot AK ^ {\ beta-1}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha-1} {\ alpha} } K ^ {\ beta} = w $$ และจากนั้น $$ K ^ {\ frac {\ alpha \ beta - (\ alpha-1) (\ beta-1)} {\ alpha}} = K ^ {\ frac {\ alpha + \ beta - 1} {\ alpha}} = \ frac {w} {\ alpha \ cdot p \ cdot A \ left (\ frac {r} {\ beta \ cdot p \ cdot A} \ right) ^ {\ frac {\ alpha-1} {\ alpha} }} $$ เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ได้สวยมาก แต่ก็สามารถแก้ไขได้มาก

หมายเหตุ: ฉันไม่ได้ไปสู่เงื่อนไขการสั่งซื้อที่สอง แต่นี่เป็นเพียงสูงสุดถ้า $ \ alpha + \ beta & lt; $ 1

ตกลงหลังจากการวิเคราะห์คำตอบของ @ denesp หลายครั้งแล้วเราก็จะตามมา พูดคุยสนทนา ฉันคิดว่าฉันได้รับคำตอบที่ฉันต้องการ

เนื่องจาก @denesp ชี้ให้เห็นอย่างถูกต้องปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพจะให้สอง FOCs เหล่านี้คือ:

\ begin {} สม \ frac {w} {p} = \ alpha AL ^ {\ alpha-1} K ^ {\ beta} \ end {} สม \ begin {} สม \ frac {r} {p} = \ beta AL ^ {\ alpha} K ^ {\ beta-1} \ end {} สม

เราสามารถจัดเรียงใหม่ของพวกเขาแต่ละคนในรูปแบบ $ L = f (K) $ สิ่งเหล่านี้ตามลำดับ:

$$ L = \ left (\ frac {\ alpha Ap} {w} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}} K ^ {\ frac {\ beta} {1- \ alpha}} $$

$$ L = \ left (\ frac {r} {\ beta Ap} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}} K ^ {\ frac {1- \ beta} {\ alpha}} $$

ตอนนี้สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ (ด้วย $ p & gt; 0 $) ที่ไม่สำคัญเราสามารถพล็อตฟังก์ชันนี้ในช่องว่าง $ \ {K, L \} $ นอกจากนี้เรายังสามารถ ดีที่สุด อัตราส่วนทุน - แรงงานซึ่งมาจากการทำให้ MRTS ให้เท่ากันกับ MRS อย่างที่ฉันแสดงในคำถามนี้ ดีที่สุด ได้รับความสัมพันธ์จาก:

$$ L ^ * = K ^ * \ left (\ frac {r} {w} \ frac {\ alpha} {\ beta} \ right) $$

ดังนั้นตอนนี้เราสามารถวางแผนฟังก์ชั่นทั้งสามดังกล่าว:

ก่อนอื่นให้สังเกตว่ามีดุลยภาพเล็กน้อยที่ $ K ^ * = L ^ * = 0 $ ประการที่สองมีความสมดุลกับอินพุตและการผลิตที่เหมาะสมที่สุดอีกอย่างหนึ่งคือ ตามธรรมชาติแล้วประเด็นนี้ข้ามแรงงานทุนที่เหมาะสม อัตราส่วน . ที่สำคัญคือ ชั้น ของทุนและแรงงาน สามารถเป็นที่รู้จัก . ตัวอย่างเช่นสูตรจะแสดงในคำตอบของ @ denesp

บริษัท เลือกความสมดุลแบบใด ตามที่เห็นด้วยอย่างถูกต้องเหมาะสมดุลยภาพที่ไม่ใช่เรื่องไร้สาระเป็นที่ต้องการก็ต่อเมื่อมีการลดลงของผลตอบแทนในระดับ ($ \ alpha + \ beta & lt; 1 $) ซึ่งเป็นผลบวกการผลิต สิ่งนี้สามารถยืนยันได้โดยใช้ SOCs หรือคำนวณผลกำไรที่เหมาะสม (ดูด้านล่าง) ในกรณีของการเพิ่มผลตอบแทนเป็นมาตราส่วน ($ \ alpha + \ beta & gt; 1 $) บริษัท จะไม่ผลิตผลใด ๆ เนื่องจากระดับการสูญเสียผลผลิตที่เป็นบวก

กระนั้นสิ่งที่น่าสนใจที่สุด - และสิ่งที่กระตุ้นให้คำถามของฉันคือผลตอบแทนคงที่ มันง่ายที่จะเห็นในกราฟด้านบนที่อยู่ภายใต้ CRS ฟังก์ชั่นการใช้แรงงานทั้งสองกลายเป็นเส้นตรง . พวกเขามีความชันเดียวกันกับอัตราส่วนเงินทุน / แรงงานที่เหมาะสมหรือไม่? ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังคิดจากวิธีการบางส่วนหรือดุลยภาพทั่วไป:

• ดุลยภาพบางส่วน: สำหรับค่าภายนอกของ $ p $ ทั้งสองเส้นมีแนวโน้มที่จะมีความชันที่แตกต่างจากอัตราส่วนเงินทุน / แรงงาน สามบรรทัดเริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นดังที่แสดงด้านล่าง:

เพื่อหาสมดุลอย่างไรก็ตามกราฟไม่ได้มีประโยชน์อย่างสิ้นเชิงเพราะตัวเลือกที่ดีที่สุดขึ้นอยู่กับว่า $ p $ เปรียบเทียบกับราคาดุลยภาพ $ p ^ * $ ซึ่งกล่าวถึงด้านล่าง หาก $ p & gt; p ^ * $ บริษัท จะต้องการผลิตอินฟินิตี้หรือสูงที่สุด ในทางกลับกันถ้า $ p & lt; p ^ * $ บริษัท จะไม่ผลิตเลยเพราะการผลิตเชิงบวกใด ๆ ที่นำไปสู่การสูญเสีย

• ดุลยภาพทั่วไปหรือระยะยาว: พิจารณากรณีของราคาที่สูงกว่าดุลยภาพ, $ p & gt; p ^ * $ เนื่องจากผลกำไรที่เป็นบวก บริษัท จำนวนมากต้องการเข้าสู่ตลาด ดังนั้น บริษัท แต่ละแห่งมีหน้าที่จูงใจให้คิดราคาที่ต่ำกว่า สิ่งนี้จะเกิดขึ้นจนกว่าราคาจะอยู่ที่ดุล $ p ^ * $ นี่คือราคาภายนอกซึ่งภายใต้ผลตอบแทนต่อขนาดคงที่ทำให้ทุก บริษัท ไม่สนใจที่จะผลิตหรือไม่

ในทางกลับกันหากราคาเริ่มต้นต่ำกว่าดุลยภาพจะไม่มีใครผลิต ดังนั้นมีแรงจูงใจสำหรับ บริษัท (ผู้บริโภค) ในการเรียกเก็บ (ยอมรับ) ราคาที่สูงขึ้น นี่คือจนกว่าราคาจะกลายเป็น $ p ^ * $ ที่นี่มีผลกำไรเป็นศูนย์ ในความเฉยเมย (เช่นเคย) เราเลือกดุลยภาพที่ไม่สำคัญของการผลิตเชิงบวก

สามารถแสดงให้เห็นว่าราคาที่ได้รับจาก:

$$ p ^ * = A \ left (\ frac {r} {1- \ alpha} \ right) ^ {1- \ alpha} \ left (\ frac {w} {\ alpha} \ right) ^ \ alpha $ $

(ตัวอย่างเช่นสำหรับ $ A = w = r = 1 $ และ $ \ alpha = 0.5 $, $ p ^ * = 2 $)

แต่นี่คือองค์ประกอบสำคัญของคำตอบ ที่ราคาสมดุลนี้ฟังก์ชันเชิงเส้นทั้งสามฟังก์ชันที่แสดงในการผสานกราฟข้างต้น ความชันของพวกเขาเหมือนกัน พวกเขาแยกไม่ออก ซึ่งหมายความว่า สำหรับแต่ละ บริษัท และในดุลยภาพทั่วไป , ระดับใดก็ได้ ทุนและแรงงานเหมาะสมที่สุดตราบใดที่อัตราส่วนตาม อัตราส่วนที่เหมาะสม กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งภายใต้ CRS ชั้น ไม่สามารถตรึงอินพุตได้เนื่องจากในระดับการผลิตใด ๆ ที่มีกำไรเป็นศูนย์ ผลที่ตามมาคือปริมาณการผลิตที่ไม่เกี่ยวข้อง

โปรดสังเกตว่าโดยการแนะนำความต้องการสำหรับสินค้านี้เราสามารถค้นหา สรุป ความต้องการสำหรับ $ Y $ ซึ่งสามารถช่วยให้เรากำหนดระดับการป้อนข้อมูล * รวม ** กระนั้น, บริษัท ไม่สามารถตรึงระดับอินพุตและเอาต์พุตได้ ในความเป็นจริงขนาดของ บริษัท ยังคงไม่แน่นอน สิ่งนี้ยังไม่ได้รับการแก้ไขด้วยการแนะนำ บริษัท ที่มีจำนวนตามอำเภอใจเว้นแต่ว่า บริษัท มีความเหมือนกัน

หมายเหตุเกี่ยวกับราคา

ในการสนทนากับ @denesp ปัญหาของระดับราคาขึ้นมา สำหรับความเสี่ยงต่อการบิดเบือนจุดของ @ denesp ฉันจะแสดงเฉพาะข้อสรุปของฉันในเรื่องนี้ กล่าวได้ว่า ในสภาวะสมดุลทั่วไป เครื่องหมายของผลกำไรขึ้นอยู่กับลักษณะของผลตอบแทน

พิจารณา FOCs ที่เกิดจากปัญหาดั้งเดิม เหล่านี้ทำซ้ำด้านล่าง:

\ begin {} สม \ frac {w} {p} = \ alpha AL ^ {\ alpha-1} K ^ {\ beta} \ end {} สม \ begin {} สม \ frac {r} {p} = \ beta AL ^ {\ alpha} K ^ {\ beta-1} \ end {} สม

โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปสิ่งเหล่านี้สามารถเขียนใหม่เป็น:

$$ w = p \ alpha \ frac {Y} {L} $$

$$ r = p \ beta \ frac {Y} {K} $$

ฟังก์ชันต้นทุนถูกกำหนดโดย

$$ C (K, L) = rK + wL $$

การแทนที่สมการปัจจัยสองตัวในฟังก์ชันต้นทุนนำไปสู่

$$ C (K, L) = p \ alpha Y + p \ beta Y = pY (\ alpha + \ beta) $$

เนื่องจากรายได้ของ บริษัท คือ $ pY $ ผลกำไรคือ:

$$ \ pi (K, L) = pY - pY (\ alpha + \ beta) = pY \ left (1 - (\ alpha + \ beta) \ right) $$

นี่คือสัญญาณ (และขนาด) ของผลกำไรขึ้นอยู่กับระดับของผลตอบแทนจากการขยาย นี่คือไม่คำนึงถึง ระดับราคา (ตราบใดที่มันเป็นบวกแน่นอนตามที่คาดไว้สำหรับ ดี )

เพื่อให้จุดที่ชัดเจนยิ่งขึ้นสมการข้างต้นสำหรับผลกำไรเป็นจริง ในสภาวะสมดุลทั่วไป . นี่เป็นเพราะการแทนที่ $ w $ และ $ r $ สำหรับมูลค่าตลาดภายนอกฉันสมมติว่าตลาดปัจจัยอยู่ในสมดุลเสมอ

ระดับการผลิตที่เหมาะสมที่สุดคือจุดที่อุปสงค์และอุปทานโค้งตัดกัน

ต้นทุนแรงงานและทุนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นอุปทาน ต้นทุนการผลิตในระดับต่างๆของผลผลิต

แต่เส้นอุปสงค์มีจำนวนผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผู้คนเต็มใจซื้อในระดับราคาที่แตกต่างกัน ปัญหาคือเส้นอุปสงค์ไม่สามารถสังเกตได้ มันมีอยู่ แต่ไม่เป็นที่รู้จัก บริษัท ไม่สามารถผันผวนราคาทั่วสถานที่เพื่อประมาณความต้องการ มันจะขับลูกค้าออกไป