แคลคูลัสและความไม่แยแสของโค้งในตัวอย่างเศรษฐศาสตร์เมือง

ฉันกำลังอ่านบทความ ' โครงสร้างของ Urban Equilibria ' โดย Jan Brueckner

โดยจะใช้รูปแบบเมือง monocentric ที่ผู้บริโภคทุกคนได้รับรายได้ที่เป็นศูนย์กลางของเมือง พวกเขาซื้อที่อยู่อาศัยในราคาที่ที่ระยะจากศูนย์, ค่าใช้จ่ายในการขนส่งเท็กซัส$y$$q$$p$$x$$tx$

ผู้บริโภคมีฟังก์ชั่นยูทิลิตี้:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

โดยที่$\phi=x,y,t,u$

ข้อ จำกัด ด้านงบประมาณคือ:

$c = y - tx - pq$

เงื่อนไขวงสัมผัสหมายถึง:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

ที่ห้อย 1 แสดงถึงความแตกต่างบางส่วน wrt อาร์กิวเมนต์แรก ฯลฯ

กระดาษแล้วกล่าวถึงวิธีและแตกต่างกันกับและU$p$$q$$x, y, t$$u$

ถ้าเรายังคงอยู่บนเส้นโค้งเฉยเมยเดียวกัน ฉันพบว่ามันค่อนข้างตรงไปตรงมาที่จะหาและ{t}}$\phi=x,y,t$$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

ถ้าเป็นความชันของเส้นโค้งอุปสงค์ - ชดเชยอุปสงค์แล้ว}}$\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

ตอนนี้เพื่ออนุญาตให้แตกต่างกันไป ข้อ จำกัด ด้านงบประมาณเปลี่ยนแปลงไปตามเส้นโค้งความเฉยเมยใหม่กำหนดและใหม่$u$$p$$q$

ฉันสามารถหา{u}} ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้แตกต่างอย่างสิ้นเชิง wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

ตั้งแต่โดยเงื่อนไข tangency :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

ดังนั้น{}$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

กระดาษคำพูด:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

ฉันไม่รู้ว่าจะได้รับสิ่งนี้อย่างไร ฉันเดาว่าคำแรกในวงเล็บเหลี่ยมคือเอฟเฟกต์การทดแทนและคำที่สองคือเอฟเฟกต์รายได้

โปรดช่วยฉันเข้าใจนิพจน์สุดท้ายนี้และวิธีหามา$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$