มูลค่าที่คาดหวังของกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด

สมมติว่า $ x_t $ เป็นกระบวนการรูทยูนิต เขียนความแตกต่างแรกของ $ x_t $ เป็น

$ \ Delta x_t $ = $ \ rho $ $ \ Delta x_ {t-1} $ + $ \ epsilon_t $

โดยที่ $ \ epsilon_t $ เป็นกระบวนการเสียงสีขาว

เราจะคำนวณ $ E_t [x_ {t + j}] $ ได้อย่างไรเมื่อ $ j \ rightarrow \ infty $

สมมติ:

$ a_t $ = $ x_t $ + $ z_t $

$ \ Delta x_t $ = $ \ rho $ $ \ Delta x_ {t-1} $ + $ \ epsilon_t $

$ z_t $ = $ \ rho $ $ z_ {t-1} $ + $ \ eta_t $

เราจะคำนวณ $ E_t [a_ {t + j}] $ ได้อย่างไรเมื่อ $ j \ rightarrow \ infty $

คุณกำลังถามเกี่ยวกับมูลค่าที่คาดหวังของคำที่นำของลำดับ อาจไม่มีคำตอบทั่วไปที่ให้สมมติฐานที่คุณทำตั้งแต่เช่น

$$ x_ {t + 1} = x_ {t} + v_ {t + 1}, \; \; \; E (v_ {t + 1}) = 0, \; \; \; x_0 \; \; \ ข้อความ {รับ} $$

เป็นกระบวนการรูทยูนิตและค่าที่คาดหวังเท่ากับ $ E (x_ {t + 1}) = x_0, \; \; \; \ forall t $, ในขณะที่

$$ x_ {t + 1} = a + x_ {t} + v_ {t + 1}, \; \; \; E (v_ {t + 1}) = 0, \; \; \; x_0 \; \; \ ข้อความ {รับ} $$

ยังเป็นกระบวนการของหน่วยราก แต่ $ E (x_ {t + 1}) = x_0 + a \ cdot (t + 1) $

ซึ่งแตกต่างกันมากเมื่อเทียบกับกรณีก่อนหน้า

คำถามเกี่ยวกับความคาดหวังตามเงื่อนไข (ความคาดหวังที่ได้รับข้อมูล ณ เวลา $ t $) คุณมี $ z_ {t + j} = \ rho ^ j z_t + \ sum_ {k = 0} ^ {j-1} \ rho ^ k \ eta_ {t + jk} $ และทำให้ $ E_t (z_ {t + j}) = \ rho ^ j z_t \ to 0 $ เป็น $ j \ to \ infty $ if $ | \ rho | & lt; 1 $ สมการสำหรับ $ x_t $ มีความซับซ้อนมากขึ้น แต่สามารถเขียนเป็น $ (x_t - \ rho x_ {t-1}) = (x_ {t-1} - \ rho x_ {t-2}) + \ epsilon_t $ นั่นคือ $ x_t - \ rho x_ {t-1} $ เป็นการเดินแบบสุ่ม เมื่อ $ w_t $ เป็นการเดินแบบสุ่ม $ E_t (w_ {t + j}) = w_t $ การแทนที่ $ w_t = x_t - \ rho x_ {t-1} $ คุณมี $ E_t (x_ {t + j} - \ rho x_ {t + j-1}) = x_t - \ rho x_ {t-1} $

ทีนี้ถ้า $ E_t (x_ {t + j}) $ รวมเป็น $ j \ to \ infty $ แล้ว $ \ lim_ {j \ to \ infty} E_t (x_ {t + j}) = \ lim_ {j \ ถึง \ infty} E_t (x_ {t + j-1}) $ และเช่นนั้น $$ \ lim_ {j \ to \ infty} E_t (x_ {t + j} - \ rho x_ {t + j-1}) = (1- \ rho) \ lim_ {j \ to \ infty} E_t (x_ {t + j}) = x_t - \ rho x_ {t-1} $$ เป็นผลให้ $ \ lim_ {j \ to \ infty} E_t (a_ {t + j}) = \ lim E_t (x_ {t + j}) + \ Lim E_t (z_ {t + j}) = \ frac {1} {1- \ rho} (x_t- \ rho x_ {t-1}) + 0 $

ด้านบนเรา สันนิษฐาน ที่ $ E_t (x_ {t + j}) $ รวมเป็น $ j \ to \ infty $ ตอนนี้เราต้องแสดง (หรือตรวจสอบ) มัน วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเขียน $$ \ pmatrix {x_t \\ x_ {t-1}} = \ pmatrix {1+ \ rho & amp; - \ rho \\ 1 & amp; 0} \ pmatrix {x_ {t-1} \\ x_ {t-2}} + \ pmatrix {\ epsilon_t \\ 0}, $$ นั่นคือ $ W_t = A W_ {t-1} + \ xi_t $ โดยที่ $ W_t = (x_t, x_ {t-1}) '$, $ \ xi_t = (\ epsilon_t, 0)' $ และ $ A $ คือ $ 2 \ คูณ 2 $ เมทริกซ์ทางด้านขวา จากนั้นคุณมี $ W_ {t + j} = A ^ j W_t + \ sum_ {k = 0} ^ {j-1} A ^ k \ xi_ {t + jk} $ ซึ่ง $ E_t (W_ {t + j}) = A ^ j W_t $ ดังนั้น $ E_t (x_ {t + j}) $ ลู่เข้าหาถ้า $ A ^ j $ ลู่เข้าหากัน ค่าลักษณะเฉพาะสองค่าของ $ A $ คือ 1 และ $ \ rho $ ซึ่งเป็นของจริงและไม่มากไปกว่าความสามัคคีในขนาด และ eigenvector สองตัวที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นจริง (หนึ่งส่วนกับ $ (1,1) '$ และอีกตัวคือ $ (\ rho, 1)' $) พอเพียงเหล่านี้ (เพราะ $ A = V \ Lambda V ^ {- 1} $, โดยที่ $ \ Lambda $ คือเมทริกซ์แนวทแยงที่ 1 และ $ \ rho $, และ $ V $ เป็นเมทริกซ์ของ eigenvector เรามี $ A ^ j = V \ Lambda ^ j V ^ {- 1} $ ซึ่งรวมเป็น $ j \ to \ infty $ เพราะ $ \ Lambda ^ j $ ลู่เข้า)