มันเป็นไปได้ที่จะได้รับเส้นโค้งไม่แยแสที่ได้รับจากฟังก์ชั่นความต้องการของชาวมาร์แชล?

ในโลกที่ดีสองฟังก์ชันอุปสงค์ของมาร์แชลจะทำหน้าที่ไลค์ของD(p,m)ที่ p คือราคาของหนึ่งดีและ m รายได้ให้ฟังก์ชันยูทิลิตี้หรือฟังก์ชันเส้นโค้งไม่แยแส ถ้าเป็นเช่นนั้นเราจะแก้ปัญหานี้อย่างไร

microeconomics utility consumer-theory

— ฮาวเวิร์ดแบล็ก
แหล่งที่มา

ใช่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ นี้เป็นคลาสสิกปัญหา integrability : สำหรับการอภิปรายรายละเอียดเห็นบางบันทึกที่ดีเยี่ยมโดยคิมชายแดน

ต้องใช้เงื่อนไขทางเทคนิคอื่น ๆ อีกหลายอย่าง แต่เงื่อนไขทางเศรษฐศาสตร์ที่สำคัญที่สุดคือเมทริกซ์ Slutskyจะต้องเป็นแบบกึ่งสมมาตรและกึ่งลบ จะเป็นคอนกรีตถ้าเรากำหนด TH องค์ประกอบของเมทริกซ์ Slutsky ที่ที่จะ $ij$ $(p,m)$ จากนั้นเราจะต้องมีสำหรับทุกและยังสำหรับการใด ๆ เวกเตอร์เราจะต้องมีสำหรับทุกจำเป็น

σ_{ผม J} (พี, ม.) = \frac{\partial D_{ผม} (พี, ม.)}{\partial {พี}_{J}} + D_{J} (พี, ม.) \frac{\partial D_{ผม} (พี, ม.)}{\partial ม.}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\underset{ผม}{Σ} \underset{J}{Σ} σ_{ผม J} (พี, ม.) {โวลต์}_{ผม} {โวลต์}_{J} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ เงื่อนไขเหล่านี้เกิดขึ้นทันทีจากทฤษฎีผู้บริโภคพื้นฐานซึ่งแสดงให้เห็นว่าหากความต้องการของมาร์แชลมาจากการเพิ่มขีดความสามารถสูงสุดของฟังก์ชั่นยูทิลิตี้แล้วเมทริกซ์ Slutsky ก็คือสมมาตรและลบ semidefinite แต่ความเพียงพอของเงื่อนไขเหล่านี้ (ร่วมกับข้อสันนิษฐานทางเทคนิคอื่น ๆ ) เพื่อให้เราได้กลับมาใช้ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้เป็นเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้นและเพื่อให้ได้รายละเอียดผมขอแนะนำโน๊ตของ Border หรือแหล่งไมโครขั้นสูงอื่น ๆ

$i=1,2$

\frac{\partial อี (พี, ยู)}{\partial {พี}_{ผม}} = {ชั่วโมง}_{ผม} (พี, ยู) = D_{ผม} (พี, อี (พี, ยู))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

ชั่วโมง ({พี}_{1}, {\bar{พี}}_{2}, \bar{ยู}) = D ({พี}_{1}, {\bar{พี}}_{2}, อี ({พี}_{1}, {\bar{พี}}_{2}, \bar{ยู}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— ในนามแข็ง
แหล่งที่มา