ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายและอื่น ๆ อีกมากมาย!

ฉันไม่เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างอุปสงค์ของ Hicksian, ความต้องการ walrasian (marshallian), ฟังก์ชั่นการใช้จ่ายและฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ทางอ้อม (รวมถึงฟังก์ชั่นค่า V (b)) ฉันพบว่าเรื่องนี้ยากมากและไม่สามารถเข้าใจได้ว่าพวกเขาเกี่ยวข้องกันอย่างไรเนื่องจากรูปแบบที่ใช้ในหนังสือที่ฉันมีอยู่!

ฉันเข้าใจวิธีการรับยูทิลิตีทางอ้อมอย่างไรก็ตามฉันต้องรู้สึกสะดวกสบายที่จะแสดงว่าฉันสามารถใช้มันเพื่อรับฟังก์ชั่นการใช้จ่ายและส่วนที่เหลือและความแตกต่างของพวกเขาใน dualities!

microeconomics consumer-theory utility

— Arie
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ติดตามแผนภาพ MWG ที่ดีเยี่ยมในคำตอบ Amstell ของการสังเกตพื้นฐานที่จำเป็นต้องมีการถือครองที่คงและมีความแปรผกผันกันของแต่ละอื่น ๆ บอกเราจำนวนเงินที่เราจำเป็นต้องใช้เวลาที่จะได้รับจำนวนหนึ่งของยูทิลิตี้ในขณะที่บอกเราจำนวนเงินสูงสุดของยูทิลิตี้เราจะได้รับจากการใช้จ่ายบางWเมื่อใดก็ตามที่เราต้องการแปลงจากยูทิลิตี้เพื่อความมั่งคั่งเราใช้ ; และเมื่อใดก็ตามที่เราต้องการแปลงจากความมั่งคั่งเป็นสาธารณูปโภคเราใช้ . $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

ตัวตนหลักทั้งหมดสามารถได้รับจากการสังเกตนี้ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราต้องการที่จะได้รับตัวตนสำหรับp_i เรารู้อยู่แล้วว่าตัวตนที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชั่นการใช้จ่าย,U) ที่จะเปิดนี้เป็นตัวตนสำหรับเราแทนที่ได้รับ , และความแตกต่างด้วยความเคารพp_iกฎลูกโซ่แสดงถึง $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$ ซึ่งถ้าเราหารด้วยทั้งสองข้างจะกลายเป็นเอกลักษณ์ของ Roy

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

หรือสมมติว่าเราต้องการได้รับสมการ Slutsky ซึ่งให้ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์ของความต้องการของมาร์แชลและฮิกเซียน (การย่อยสลายความต้องการของมาร์แชลเปลี่ยนเป็นการเปลี่ยนทดแทนและรายได้) Analogously ถึงข้างต้นเราสามารถใช้แทนเข้า Marshallian ความต้องการจะได้รับU) จากนั้นให้ความแตกต่างเกี่ยวกับทั้งสองด้านและใช้กฎลูกโซ่ $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ $p_i$

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$ โดยทั่วไป ฉันคิดว่าฮิวริสติก "สลับระหว่างและตามต้องการโดยใช้และ " ช่วยให้คุณได้ทุกอย่างที่นี่ (ฮิวริสติกแบบเดียวกันก็มีประโยชน์เช่นกันหากคุณเคยจัดการกับระบบความต้องการของ Frisch ซึ่งยูทิลิตี้ส่วนเพิ่มมีบทบาทเช่นเดียวกับที่และทำในระบบความต้องการของมาร์แชลและ Hicksian)

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

แน่นอนว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญอีกข้อหนึ่งที่ใช้ด้านบนซึ่งก็คือซึ่งสำหรับจะกลายเป็นW) นี้จะดูดีที่สุดแทนที่จะเป็นผลโดยตรงของการเคารพทฤษฎีบทซองจดหมาย $\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$

(ยังสามารถได้มาจากทฤษฎีบทของซองจดหมายที่สูงกว่าเล็กน้อยซึ่งข้อ จำกัด และวัตถุประสงค์ได้รับอนุญาตให้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ตั้งแต่แตกต่างกันในปัญหาการขยายยูทิลิตี้สูงสุดเปลี่ยนงบประมาณ จำกัดมากกว่าวัตถุประสงค์ทฤษฎีบทของซองจดหมายบอกว่าผลของมันจะขึ้นอยู่กับตัวคูณลากรองจ์กับข้อ จำกัด นั้นซึ่งเป็นยูทิลิตี้ร่อแร่ของความมั่งคั่งนี่เป็นสัญชาตญาณที่ดีว่าทำไมการแสดงออกของนั้นซับซ้อนกว่านิพจน์สำหรับยกตัวขึ้นเป็นพิเศษ) $\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— ในนามแข็ง
แหล่งที่มา

ไม่แน่ใจว่าจะช่วยได้มากแค่ไหน แต่แผนภาพใน Mas-Colell หน้า 75 เป็นสิ่งที่ฉันนึกถึงเสมอเมื่อได้รับฟังก์ชั่นเหล่านี้ ฉันไม่แน่ใจว่าคุณใช้หนังสืออะไร แต่ Microeconomics โดย Mas-Colell และคณะ เป็นทรัพยากรที่ไปสู่บัณฑิต แต่ฉันชอบการวิเคราะห์เศรษฐศาสตร์จุลภาคโดย Varian อ่านง่ายขึ้นและยังมีเนื้อหาสำคัญที่จำเป็นสำหรับงานระดับบัณฑิตศึกษา จากประสบการณ์ของฉันการได้มาซึ่งความต้องการของวอลรัสมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และเพียงแค่ทำตามขั้นตอนคือสิ่งที่ทำให้ฉันรู้สึกสบายใจที่จะเข้าใจ หากคุณกำลังมองหาตัวอย่างฉันสามารถใช้สูตรบางอย่างเพื่อแสดงให้คุณเห็นว่ามันทำงานอย่างไร แต่คุณดูเหมือนจะเข้าใจสิ่งนี้ ฉันยังมีหน้าและหน้าของปัญหาการปฏิบัติหากคุณต้องการทรัพยากรอื่นเช่นกัน หวังว่าจะช่วย :)

เศรษฐศาสตร์จุลภาค: Mas-Colell

อัปเดต: ต่อไปนี้เป็นปัญหาการปฏิบัติบางประการจากชุดปัญหาของฉัน ระวังกับอันสุดท้าย สนุก

ถ้าเป็นไปได้ให้คำนวณ Hicksian, Walrasian, Expenditure และ Indirect สำหรับแต่ละรายการต่อไปนี้:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

แก้ไข; อัปเดตเพื่ออธิบาย # 4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

ในตอนแรกคุณจะเห็นได้ว่ามีการใช้ความมั่งคั่งทั้งหมดสำหรับแต่ละอุปสงค์ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากข้อ จำกัด ด้านรายได้ $(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$ W

หนึ่งในคุณสมบัติของความต้องการของ Walrasian ก็คือกฎของ Walras ถืออยู่

กฎของ Walras: $px = w$

วิธีง่ายๆในการแสดงให้เห็นว่ากฎหมายของวอลราสไม่ได้ถือเป็นวิธีง่ายๆในการเรียกร้องข้อ จำกัด ด้านรายได้

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$ ; ดังนั้นกฎของวอลราสจึงไม่ถือและนี่ไม่ใช่ความต้องการของวอลรัส

— Amstell
แหล่งที่มา