มีคุณสมบัติเหมือนกันของระดับหนึ่งในฟังก์ชั่นยูทิลิตี้

คำถาม

ทางออกของฉันมีดังนี้ โปรดตรวจสอบโซลูชันของฉัน ถ้าฉันทำผิดโปรดบอก ฉันไม่แน่ใจจริงๆเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของฉัน ขอบคุณ

คุณ (x) มีความเหมือนกันของระดับหนึ่งเช่น u (tx) = tu (x)

ประการแรกฉันแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ทางอ้อมเป็นเหมือนกันของระดับหนึ่งในเมตร

โดยการเพิ่มยูทิลิตี้

V (p, m) = max u (x) ภายใต้ px $\le$ m

tv (p, m) = max tu (x) ขึ้นอยู่กับ px $\le$ m

ตั้งแต่ u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) ขึ้นอยู่กับ px $\le$ m

จากนั้น v (p, tm) = tv (p, m)

นั่นคือฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ทางอ้อมเป็นเนื้อเดียวกันของระดับหนึ่ง

ฉันแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายนั้นมีความเหมือนกันของระดับหนึ่งในตัวคุณโดยใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้า

ฉันรู้แล้ว

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

เนื่องจากคุณ (x) มีความเหมือนกันของระดับหนึ่งและ v (p, m) เป็นเนื้อเดียวกันของระดับหนึ่งใน m, v (p, e (p, e)) จะต้องมีความเป็นเนื้อเดียวกันของระดับหนึ่งใน e (p, u) .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) เก็บ iff e (p , เฉิงตู (x)) = เต้ (P, U (x))

นั่นคือฟังก์ชั่นที่มีราคาแพง e (p, u) นั้นเป็นเอกพันธ์ของดีกรีหนึ่งในตัวคุณ

ตอนนี้ฉันจะแสดงให้เห็นว่าอุปสงค์ชาวมาร์แชลล์ x (p, m) นั้นมีความเหมือนกันของระดับหนึ่งเป็น m

โดยตัวตนของ Roy

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

โดยผลลัพธ์แรกเนื่องจาก v (p, m) เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีหนึ่งใน m แล้ว x (p, m) นั้นเป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีหนึ่งเป็น m

ตอนนี้ให้แสดงว่าอุปสงค์ฮิกเซียนนั้นเหมือนกันในระดับหนึ่งในตัวคุณ

ฉันรู้แล้ว

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (P, TM) = เท็กซัส (พีเอ็ม) = เท็กซัส (พีอี (P, U)) = x (P, เต้ (P, U))

เนื่องจาก e (p, u) เป็นเนื้อเดียวกันของระดับหนึ่งโดยส่วนที่สอง

x (P, เต้ (P, U)) = x (พีอี (P, U (TX)) = h (P, U (TX)) = h (P, เฉิงตู (x)) = TH (P, คุณ (x) ต้องถือเนื่องจากความเสมอภาค (1) มีอยู่

นั่นคืออุปสงค์ฮิกเซียนนั้นมีความเหมือนกันของระดับหนึ่งในตัวคุณ

— none009
แหล่งที่มา

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

$v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

$v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
แหล่งที่มา

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$