การหาสมการการสะสมของหนี้: ถูกต้องเนื่องจากมันอยู่บนแคลคูลัสและช่วงเวลาเป็นปีหรือไม่ (ไม่มีที่ไหนใกล้น้อยที่สุด?)

ด้านบนเป็นภาพสิ่งที่ฉันพูดถึง 'กฎแห่งหัวแม่มือ' อันดับต้น ๆ นั้นได้มาจากการใช้แคลคูลัสดังนั้นจึงมีผลเฉพาะกับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน t อย่างไรก็ตามสมการนี้ถูกพิจารณาในช่วงเวลาหนึ่งปีซึ่งเป็นหน่วยของเวลาที่มีขนาดใหญ่ สมการนี้จะเป็นธรรมได้อย่างไร

ฉันได้รับ 'กฎของหัวแม่มือ' ด้านล่าง (ในกรณีที่คุณไม่แน่ใจว่ามันมาจากไหน) ฉันได้รับกรณีผลิตภัณฑ์ แต่สามารถใช้เพื่อแสดงกรณีผลหารซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันใส่ที่ด้านล่างมาก ได้โปรดแก้ตัวลายมือของฉันด้วย

$$ \ frac {\ Delta d_ {t + 1}} {d_t} = \ frac {\ frac {D_ {t + 1}} {Y_ {t + 1}} - \ frac {D_ {t}} {Y_ {t}}} {\ frac {D_ {t}} {Y_ {t}}} = \ frac {D_ {t + 1} Y_ {t} -D_ {t} Y_ {t + 1}} {D_ { t} Y_ {T + 1}} $$

$$ = \ frac {D_ {t + 1} Y_ {t}} {{D_ {t} Y_ {t + 1}}} - 1 = \ frac {Y_ {t}} {Y_ {t + 1}} \ cdot \ left [{\ frac {D_ {t + 1}} {D_ {t}} - \ frac {Y_ {t + 1}} {{Y_ {t}}}} ถูกต้อง] $$

$$ = \ frac {Y_ {t}} {Y_ {t + 1}} \ cdot \ left [{\ frac {\ Delta D_ {t + 1}} {D_ {t}} - \ frac {\ Delta Y_ {T + 1}} {{{Y_ t}}}} \ ขวา] $$

ดังนั้น "กฎของหัวแม่มือ" เบี่ยงเบนจากการแสดงออกที่แน่นอนข้างต้นโดย (คูณ) $ Y_ {t} / Y_ {t + 1} $

ตอนนี้เรากำลังพูดถึงการเจริญเติบโต อัตรา ของหนี้ / GDP อัตราส่วน . สมมติว่าอัตราส่วนคือ $ 120 \ text {%} $ และมันไปเพื่ออะไร ในหนึ่งปี สมมติว่าเป็น $ D_ {t + 1} / Y_ {t + 1} = 130 \ text {%} $ อัตราการเติบโตที่แน่นอนคือ $ 130/120 -1 = 8.33 \ text {%} $ สมมติว่า GDP เติบโตที่อัตรา 5% ต่อปีดังนั้น $ Y_ {t} / Y_ {t + 1} = 0.95238 $

ในตัวอย่างตัวเลขนี้ "กฎของหัวแม่มือจะให้เป็นอัตราการเติบโตของหนี้ / GDP $ 8.33 \ text {%} \ times 0.95238 = 7.933 \ text {%} $ หรือต่ำกว่าครึ่งเปอร์เซ็นต์การประเมินค่าต่ำกว่านี้ถือว่าน้อย ความไม่ถูกต้องในโลกแห่งความจริง เมื่อเราพูดถึงขนาดของคลื่นเหล่านี้ . และโดยทั่วไปตัวอย่างตัวเลขที่กล่าวข้างต้นพูดเกินจริงในกรณีส่วนใหญ่อัตราการเติบโตของ GDP และอัตราส่วนหนี้สินต่อ GDP จะน้อยกว่าด้านบนดังนั้นความไม่ถูกต้องจะน้อยกว่า ดังนั้น "กฎของหัวแม่มือ" กลายเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในแบบจำลองทางทฤษฎี