ฉันจะขอรับฟังก์ชั่นการผลิต Leontief และ Cobb-Douglas ได้จากฟังก์ชั่น CES ได้อย่างไร

ในหนังสือเศรษฐศาสตร์จุลภาคส่วนใหญ่กล่าวกันว่าฟังก์ชั่นการผลิตแบบยืดหยุ่นคงที่ของการทดแทน (CES),

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(ที่ความยืดหยุ่นของการทดแทนคือ ) มีข้อ จำกัด ทั้งฟังก์ชันการผลิต Leontief และ Cobb-Douglas หนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

และ

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

แต่พวกเขาไม่เคยให้หลักฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับผลลัพธ์เหล่านี้

ใครช่วยกรุณาแสดงหลักฐานเหล่านี้ได้ไหม

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่นดังกล่าวข้างต้นในงาน CES รวมคงที่ผลตอบแทนต่อขนาด (ความสม่ำเสมอของการศึกษาระดับปริญญาหนึ่ง) เนื่องจากตัวแทนนอกเป็น-1 $-1/\rho$ ถ้ามันพูด $-k/\rho$ แล้วระดับของความเป็นเนื้อเดียวกันจะk $k$

เป็นผล จำกัด ได้รับผลกระทบอย่างไรว่า $k\neq 1$ ?

— Huseyin
แหล่งที่มา

นี่ดูเหมือนจะเป็นคำถามทำการบ้านที่ไม่มีความพยายามแก้ไขก่อนหน้าโปรดดู: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

แน่นอนมันเป็นเรื่องเกี่ยวกับหัวข้อ แต่คำถามที่มีคุณภาพต่ำ แม้ว่ามันจะไม่ใช่การบ้าน Huseyin เราคาดหวังจากคุณถึง) ระวังด้วยสัญกรณ์ของคุณ (คุณใช้

ρ

$\rho$ และ

p

$p$ ) และ b) มีส่วนร่วมในความคิดและวิธีที่คุณพยายามแก้ไขปัญหา เราอยู่ที่นี่เพื่อช่วยเหลือผู้ที่ช่วยเหลือตนเองและไม่ให้บริการอย่างมืออาชีพ

— Alecos Papadopoulos

คณิตศาสตร์ทำสิ่งที่แตกต่างไปมากพอ ๆ กับส่วนที่เหลือทั้งหมดของเครือข่าย stackexchange เฉพาะใน math.se คุณสามารถส่งปัญหาให้คนอื่นแก้ได้โดยไม่ต้องแสดงความพยายาม โปรดบันทึกคำถามประเภทนั้นสำหรับ math.se ไม่ใช่ที่นี่

— EnergyNumbers

เมื่อคุณพูดว่า "ฉันต้องพิสูจน์" โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าทำไมคุณต้องพิสูจน์มันคนจะคิดว่านี่เป็นการทำการบ้าน

— Steven Landsburg

@Huseyin ตอนนี้คำถามได้ถูกเปิดอีกครั้งและได้รับคำตอบแล้วคุณจะไม่โพสต์คำตอบของคุณสำหรับขีด จำกัด Cobb-Douglas หรือไม่

— Alecos Papadopoulos

คำตอบ:

บทพิสูจน์ที่ผมจะนำเสนอจะขึ้นอยู่กับเทคนิคที่เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นการผลิตงาน CES มีรูปแบบของค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทั่วไป
สิ่งนี้ถูกใช้ในบทความต้นฉบับที่มีการแนะนำฟังก์ชั่น CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961) การทดแทนทุนแรงงานและประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจ การทบทวนเศรษฐศาสตร์และสถิติ, 225-250.
ผู้เขียนได้ส่งผู้อ่านไปยังหนังสือHardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952) ความไม่เท่าเทียมกันบทที่2 $2$

เราพิจารณากรณีทั่วไป

Q_{k} = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) จำกัด เมื่อ $\rho \rightarrow \infty$
เนื่องจากเราสนใจที่จะ จำกัด เมื่อเราสามารถเพิกเฉยต่อช่วงเวลาที่และปฏิบัติต่อเป็นบวกอย่างเคร่งครัด $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

โดยไม่สูญเสียของทั่วไปสมมติโร}) เรามีด้วย จากนั้นเรายืนยันว่าความไม่เท่าเทียมกันมีดังต่อไปนี้: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ Q_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

โดยการยกกำลังทั้งหมดไปยังเพื่อรับพลัง $\rho/k$

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$ ซึ่งแน่นอนถือได้อย่างชัดเจนให้สมมติฐาน จากนั้นกลับไปที่องค์ประกอบแรกของและ

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

ซึ่งแซนด์วิชคำกลางในถึงดังนั้น $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

ดังนั้นสำหรับเราได้รับฟังก์ชันการผลิตพื้นฐานของ Leontief $k=1$

2) จำกัด เมื่อ $\rho \rightarrow 0$
เขียนฟังก์ชันโดยใช้เลขชี้กำลังเป็น

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

พิจารณาการขยายตัวของ Maclaurin อันดับแรก (การขยายตัวของเทย์เลอร์ที่กึ่งกลางที่ศูนย์) ของคำศัพท์ภายในลอการิทึมโดยคำนึงถึง : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

ใส่กลับเข้าไปในและกำจัดเลขชี้กำลังภายนอก $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

ในกรณีที่เป็นทึบให้นิยามและเขียนใหม่ $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

ตอนนี้ดูเหมือนว่านิพจน์ที่มีขีด จำกัด อินฟินิตี้จะให้ค่า exponential กับเรา:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

ระดับความเป็นเนื้อเดียวกันของฟังก์ชันนั้นได้รับการเก็บรักษาไว้และถ้าเราได้รับฟังก์ชัน Cobb-Douglas $k$ $k=1$

มันเป็นอย่างนี้ผลสุดท้ายที่ทำลูกศรและผู้ร่วมที่จะเรียกว่า "กระจาย" พารามิเตอร์ของฟังก์ชั่นในงาน CES $a$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

วิธีการปกติของการได้รับCobb-DouglasและLeotiefเป็นหลักเกณฑ์โลปีตาล

ควรใช้วิธีการอื่นด้วย การตั้งค่าจะส่งคืนและ โดยผลรวมอนุพันธ์ผ่านดิฟเฟอเรนเชียลเราจะได้ ด้วย manupulations สมการหลักของเราจะได้รับ $\gamma=1$ $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

Q^{- ρ} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - a ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - a) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$

d Q = a {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - a) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

ฟังก์ชันเชิงเส้น : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

ฟังก์ชัน Cobb-Douglas : การใช้อินทิกรัลจากทั้งสองฝั่งจะทำให้เกิดขึ้น

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = a (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$

\int \frac{1}{Q} d Q = a \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{a} L^{(1 - a)} e^{C} = A K^{a} L^{(1 - a)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

ฟังก์ชั่น Leontief : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
แหล่งที่มา

(+1) ฉันชอบโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าได้รับฟังก์ชั่น Cobb-Douglas

— Alecos Papadopoulos

ขอบคุณ @AlecosPapadopoulos แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไมบางคนไม่ชอบโพสต์นี้ ฉันคิดว่าคำถามประเภทนี้อาจทำให้เกิดพายุสมองอย่างน้อยสำหรับฉัน

— Huseyin

พูดอย่างเคร่งครัด Huseyin พวกเขาพูดถูก: คุณควรจะรวมคำตอบของคุณไว้ในคำถามอย่างน้อย: "นี่คือวิธีของฉันในการทำสิ่งต่าง ๆ มีวิธีอื่นอีกไหม?"

— Alecos Papadopoulos

การแตกต่างและการรวม "เทียบเท่า" กับการ จำกัด หรือไม่ โดยทั่วไปแล้วเราสามารถนำส่วนต่างและรวมเข้าด้วยกันเพื่อหาข้อ จำกัด ได้หรือไม่? หรือนี่เป็นแอปพลิเคชันพิเศษ

— PGupta