การตั้งค่าแบบโมโนโทนิคและต่อเนื่องจำเป็นต้องมีเหตุผลหรือไม่?

ปล่อยให้เป็นความสัมพันธ์แบบต่อเนื่องและต่อเนื่องที่เคร่งครัดและให้X = \ mathbb {R} ^ {n}เป็นชุดการบริโภค$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

ความมีเหตุผลของ$\succsim$โดยนัยเกี่ยวกับเงื่อนไขเหล่านี้หรือไม่

ฉันคิดว่าความต่อเนื่องนั้นมีนัยมาจากความต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามความสมบูรณ์นั้นเป็นปัญหาเนื่องจากมีองค์ประกอบ$x,y \in X$ที่ไม่สามารถสั่งได้ด้วยความเคารพ$\leq$หรือ$\geq$ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้คำพูดเดียวเพื่อแสดงว่า$\succsim$เสร็จสมบูรณ์

ฉันคิดว่าจะสร้างลำดับ$x_{n}$ด้วย$x_{1}=x$เช่นนั้น$x_{n} \to y$และ$x_{n}\succsim x_{n+1}$หรือ$x_{n+1} \succsim x_{n}${n} จากนั้นด้วยความสลับซับซ้อนและความต่อเนื่องเราสามารถแสดงให้เห็นว่า$x$และ$y$สามารถสั่งได้ด้วยความเคารพ$\succsim$แต่ฉันไม่คิดว่ามันเป็นไปได้ที่จะสร้างลำดับดังกล่าว

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม แต่โปรดให้คำแนะนำและไม่แก้ปัญหาอย่างเต็มรูปแบบ

พิจารณาความสัมพันธ์ในการตั้งค่าเช่นว่าและy_2$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) คุณอาจต้องการที่จะโต้แย้งว่าความสัมพันธ์ในการตั้งค่านี้เป็นแบบโมโนโทนิคและต่อเนื่อง

2) ความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ข้างต้นสมบูรณ์หรือไม่

จากนั้นในฐานะที่เป็นเครื่องเคียงคุณอาจพิจารณาคำกล่าวอ้างของคุณว่าความต่อเนื่องเป็นสาเหตุของการเปลี่ยนแปลง

หมายเหตุ: ฉันเพิ่งเขียนบทความนี้โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อให้การทดสอบความคิด มากขึ้นในการท้าทายความเข้าใจของคุณ ฉันไม่แน่ใจว่าตัวอย่างนี้ให้คำตอบสำหรับคำถามของคุณหรือไม่

คำถามก็คือว่าความมีเหตุผลนั้นมีนัยโดยความต่อเนื่องและการพูดซ้ำซาก เพื่อแสดงให้เห็นว่านี่ไม่ใช่กรณีตัวอย่างแบบโต้ตอบก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นเราจึงมองหาความสัมพันธ์ที่ชอบด้วยความอยุติธรรม, ไม่สมบูรณ์, โมโนโทน, ต่อเนื่อง

สมมติว่า } ดังนั้นเราในรูปแบบการตั้งค่ากว่าจุดที่เส้นจาก( 0 , 1 )เพื่อ( 1 , 0 ) พิจารณาความสัมพันธ์ของการตั้งค่าที่กำหนดโดย( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$ซึ่งไม่สมบูรณ์เป็นอย่างอื่น$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

ความมีเหตุผล

ความเป็นเหตุเป็นผลประกอบด้วยความสมบูรณ์และความแปรปรวนของความสัมพันธ์ที่ชอบกำหนดไว้ดังนี้:

ความสมบูรณ์

การตั้งค่าความสัมพันธ์เสร็จสมบูรณ์ถ้าสำหรับทั้งหมดเรามีx ≿ y , y ≿ xหรือทั้งสองอย่าง$x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

จึงมีความสัมพันธ์การตั้งค่ายังไม่สมบูรณ์$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

กริยา

การตั้งค่าความสัมพันธ์ที่เป็น transitive ถ้าและY ≿ Zบ่งบอกx ≿ Z$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

และ ( 0.5 , 0.5 ) ≿ ( 0 , 1 )ถือ แต่ ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 )จึงมีความสัมพันธ์การตั้งค่าที่ไม่ได้เป็นสกรรมกริยา$(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

ความต่อเนื่อง

การตั้งค่าความสัมพันธ์อย่างต่อเนื่องถ้าลำดับทั้งหมดบรรจบ( x , Y )กับ∀ ฉัน: x ฉัน ≿ Y ฉันเรามีx ≿ Y${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

ความสัมพันธ์ที่ต้องการไม่ละเมิดความต่อเนื่อง พิจารณาลำดับที่ลู่ไปx , y ที่ ลำดับเหล่านี้เท่านั้นที่สามารถเป็นเช่นนั้นx ฉัน = xและy ที่ฉัน = Yและx ≠ ปีตั้งแต่อื่น ๆ ทั้งหมดx ฉัน , y ที่ฉันจะทำไม่ได้มาบรรจบกันเพื่อx , Yหรือไม่ปฏิบัติตามx ฉัน ≿ Yฉัน แต่ชัดเจนถ้าx i ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$แล้ว x ≿ Y$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

monotonicity

การตั้งค่าความสัมพันธ์ที่เป็นเสียงเดียวถ้าหมายถึงx ≿ Y$x \geq y$$x \succsim y$

สัมพันธ์พิจารณาองค์ประกอบทั้งหมดของXที่เปรียบมิได้ทำให้ความสัมพันธ์การตั้งค่าเป็นเสียงเดียว$\geq$$X$

ดังนั้นเราจึงมีความสัมพันธ์ที่ไม่สอดคล้องกันอย่างไม่แน่นอนโมโนโทนและต่อเนื่อง

กริยาของการตั้งค่าการอุทธรณ์บางความคิด "ใช้งานง่าย" ของ "ความสอดคล้องของจิตใจมนุษย์" และมันสามารถจะแย้งว่าข้อยกเว้นใด ๆ คือ "ข้อยกเว้นกฎ " และเพื่อให้เราทำมีกฎนามธรรมเพียงพอ

ในการเปรียบเทียบความสมบูรณ์นั้นเป็น "ก้าวกระโดดแห่งศรัทธา" มากกว่า มันแขวนอยู่ในอากาศอันเนื่องมาจากไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับสิ่งใด ( ดังนั้นคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือไม่ ) บางทีมันอาจได้รับการสนับสนุนจากบางคำหยาบคายว่า "ถ้าคุณกดคนพอแล้วในที่สุดเขาก็จะสั่งคู่ใด ๆ ที่คุณจะวางไว้ข้างหน้าเขาแม้ว่าจะกำจัดคุณ" แต่แน่นอนในขณะที่มอง ดีในทางปฏิบัติจะไม่ทำงานในทางทฤษฎี

ดังนั้นเราแค่นิยามความสมบูรณ์ที่มีอยู่ ... ทำไม? เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่ค่อนข้างจัดการไม่ได้ตามถนน มันจะมีประโยชน์อย่างไรในการทำงานกับการตั้งค่าที่ไม่สมบูรณ์? มันมีประโยชน์แค่ไหนที่จะบอกว่า "ฉันมีรุ่นนี้มันอาจส่งผลให้มันอาจจะไม่ขึ้นอยู่กับว่าการตั้งค่าจะเสร็จสมบูรณ์หรือไม่" ... การใช้งานของมันคืออะไร? จากนั้นเราจะถูกบังคับให้มากับทางเลือกกฎการตัดสินใจ "สมมติว่าการตั้งค่าไม่ได้เสร็จสมบูรณ์แล้วถ้าคนที่พบคู่ที่เขาไม่สามารถสั่งซื้อ ... เป็น" -he ไม่สิ่งที่ ? พลิกเหรียญ? แต่สิ่งนี้จะทำให้ "ความไม่สมบูรณ์" เทียบเท่ากับความเฉยเมย ...

มีอะไรอีกบ้าง? แนวความคิดนี้อาจกระตุ้นได้มาก แต่ก็เป็นสิ่งที่ท้าทายและแน่นอนว่าการทำลายเส้นทางหากมีเส้นทางดังกล่าวอยู่จริงหรือสามารถสร้างขึ้นได้ (ในความคิดของฉันการสำรวจทางทฤษฎีต่างๆของวาไรตี้ "คลุมเครือ" พยายามหา "ทางสายกลาง" สำหรับปัญหานี้อย่างแน่นอน - ทุกที่พวกเขาพิจารณาสถานการณ์ที่บุคคลไม่ได้มีการตั้งค่าที่สมบูรณ์และไม่แข็ง "สมบูรณ์" เมื่อ "ยาก" "คู่ขึ้นมา)