ฟังก์ชั่นการผลิตในงาน CES ด้วย

10

ในการใช้งาน CES ฟังก์ชั่นการผลิตในรูปแบบ $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ เรามักจะคิดว่า $\rho\leq1$ 1ทำไมเราทำสมมติฐานนั้น ฉันเข้าใจว่าถ้า $\rho>1$ ฟังก์ชั่นการผลิตจะไม่เว้าอีกต่อไป (และด้วยเหตุนี้ชุดการผลิตจะไม่นูน) แต่นั่นหมายความว่าอะไรเกี่ยวกับฟังก์ชั่นกำไรและต้นทุน

— เชอร์อัฟกัน
แหล่งที่มา

3

ด้านบนจะส่งผลให้เกิดการแก้ปัญหามุมที่เลือกเพียงหนึ่งอินพุตที่มีปริมาณบวก เนื่องจากจุดของฟังก์ชั่นการผลิตที่ดีหลายอย่างมักจะเป็นแบบจำลองสถานการณ์ที่มีการใช้สองอินพุตจริงจึงเป็นคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์

ρ

$\rho$

— BKay

จะมีวิธีแก้ไขปัญหากำไรสูงสุดหรือไม่

— Sher Afghan

@SherAfghan ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มี

ดูเหมือนว่าไม่ว่าจะอยู่ในครอบครัวในงาน CES เป็นความยืดหยุ่นของการทดแทนไม่คงที่

ρ = 1

$\rho = 1$

— garej

3

ปัญหาของคือมันหมายถึงผลผลิตส่วนเพิ่มของปัจจัยจะไม่ลดลง ( ) หรือค่าคงที่ ( ) แต่เพิ่มขึ้นซึ่งเป็นสมมติฐานที่แปลก ฟังก์ชั่นดังกล่าวให้ผลที่ดีกว่าซึ่งเป็นเว้าและอาจนำไปสู่การใช้งานเพียงปัจจัยเดียว (ตามที่ BKay พูด) $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

เช่นเดียวกับในงาน CES ทั่วไปใด ๆ ผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของ factor คือ $x_i$

M P_{ผม} = {(\frac{Y}{x_{ผม}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

อนุพันธ์ของ MP นี้เทียบกับคือหลังจากทำการจัดเรียงใหม่ $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{Y}{x_{ผม}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- ผม}}{x_{ผม} Y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

สำหรับนิพจน์นี้เป็นค่าบวกซึ่งหมายความว่าผลผลิตของปัจจัยจะเพิ่มขึ้นเมื่อใช้ปัจจัยนั้นมากกว่า $\rho>1$

เกี่ยวกับ isoquants คุณสามารถค้นหาเหล่านี้โดยการเขียนใหม่ฟังก์ชั่นการผลิตเป็น )ใน CES ทั่วไปนี่คือ $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

นี่คือเส้นตรงในกรณีของ , นูนในกรณีของ Cobb-Douglas (ที่ฟังก์ชันข้างบนคือ $\rho=1$ เป็นอติพจน์) และเว้าในกรณีของ1ตัวอย่างเช่นเลือกและคุณมี: $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = Y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

ซึ่งเป็นสูตรของวงกลมให้มีศูนย์กลางที่ , ที่มีรัศมีYปกติสำหรับทฤษฎีการผลิตเพียงเป็นที่น่าสนใจซึ่งจะช่วยให้คุณ isoquants เว้าในระดับที่แตกต่างกันของปีรูปด้านล่างแสดงตัวอย่างสำหรับอัตราส่วนราคาปัจจัยที่กำหนดมีวิธีแก้ปัญหามุม (จุด A): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(รหัสสำหรับการทำซ้ำตัวเลขที่นี่ )

— luchonacho
แหล่งที่มา

3

นี่คือความพยายามของฉันที่คำถามนี้มันไม่สมบูรณ์และ / หรือไม่ถูกต้องดังนั้นโปรดช่วยแนะนำและฉันจะแก้ไข

ลดต้นทุนให้น้อยที่สุด

เนื่องจากไม่ใช่ quasi-concave, เส้นโค้ง isoquant ที่สอดคล้องกันจะไม่เป็น covex กับจุดกำเนิด (เช่นชุดเส้นโครงส่วนบนจะไม่นูน) ในกรณีนี้ บริษัท ควรใช้การแก้ปัญหามุมและความต้องการปัจจัยตามเงื่อนไขจะได้รับเป็น; $f(x_1,x_2)$

x_{1} (พี, Y) = Q^{2} a n d x_{2} (พี, Y) = 0 ผม ฉ W_{1} < W_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (พี, Y) = 0 a n d x_{2} (พี, Y) = Q^{2} ผม ฉ W_{1} > W_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

ความต้องการปัจจัยตามเงื่อนไขเหล่านี้ให้ฟังก์ชันต้นทุน

กำไรให้สูงสุด

x_{1} (พี, Y) = 0, x_{2} (พี, Y) = Q^{2} โอ R x_{1} (พี, Y) = Q^{2}, x_{2} (พี, Y) = 0 ผม ฉ W_{1} = W_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

ค (W, Y) = ม. ผม n [W_{1} Q^{2}, W_{2} Q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

ฉันสับสนจริงๆที่นี่ แม้ว่าฟังก์ชั่นการผลิตจะนูน แต่ก็ยังแสดงผลตอบแทนที่ไม่เพิ่มขนาด $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— เชอร์อัฟกัน
แหล่งที่มา

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

การแก้ปัญหาเพื่อเพิ่มผลกำไรสูงสุดนั้นมีอยู่หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างตลาด ปัญหาการทำกำไรสูงสุดของผู้ผูกขาดมักจะถูกกำหนดไว้อย่างดีในขณะที่สำหรับ บริษัท ที่รับเรื่องราคาจะไม่เป็นเช่นนั้น

— HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (Q) = พี \cdot Q - 1 \cdot (Q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

หากต้องการเห็นเอฟเฟกต์แบบเดียวกันในตัวอย่างที่ง่ายกว่า ( ไม่ได้มาจาก CES) ให้พิจารณาสิ่งนี้:

π (Q) = พี \cdot Q - 2 \cdot Q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

$\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

$q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
แหล่งที่มา