ทำไมในวงจรพาสซีฟที่มีอินพุตไซน์แรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าทั้งหมดจึงมีพฤติกรรมไซน์เช่นเดียวกับอินพุต?

ฉันคุ้นเคยว่าในวงจรใด ๆ ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบแบบพาสซีฟเชิงเส้นและอินพุตแบบไซน์แรงดันและกระแสทั้งหมดผ่านและข้ามองค์ประกอบใด ๆ จะแสดงพฤติกรรมและความถี่ไซน์เดียวกันกับอินพุต นั่นเป็นวิธีที่ตัวกรองแบบพาสซีฟทำงานได้จริง แต่ฉันไม่สามารถคิดออกหรือค้นหาหลักฐานที่เป็นรูปธรรม / ตรงไปตรงมาได้ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้นหากไม่ได้สังเกตอย่างชัดแจ้ง

ฉันเทสมองออกมาและในที่สุดฉันก็ได้พบวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ดีในการพิสูจน์และตัดสินใจตอบคำถามของฉันเอง ในวงจรเช่นนี้การหาแรงดัน / กระแสข้าม / ผ่านส่วนประกอบใด ๆ (ฉันจะเรียกว่า ) จะนำคุณสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเส้นตรงเสมอพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (เนื่องจากคุณสมบัติเชิงเส้นของส่วนประกอบแฝง) และไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (เนื่องจากอินพุตไซน์) สมการเชิงอนุพันธ์เช่นนี้จะอยู่ในรูปแบบนี้เสมอ: a d n$f$ที่ . . kคือค่าคงที่ (การรวมกันของตัวเหนี่ยวนำความต้านทาน ฯลฯ ),nคือลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ (ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงจำนวนขององค์ประกอบการจัดเก็บพลังงานในวงจร) และCsin(ωt+θ)เป็นฟังก์ชันไซน์ทั่วไป ที่อธิบายถึงการป้อนข้อมูล คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้จะอยู่ในรูปแบบนี้เสมอ:f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ที่การแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง = บาป( ω T + θ ) + B cos ( ω T + θ )ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นไซน์ความถี่เดียวกัน! ตอนนี้ในการวิเคราะห์วงจร AC เรามักจะดูวงจรอยู่ในสถานะคงที่เสมอเมื่อสารละลายที่เป็นเนื้อเดียวกันเข้าใกล้ศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เพราะความต้านทานในวงจร) $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

นี้เป็นเพียงความจริงสำหรับ LTI (เชิงเส้นเวลาคงที่) วงจร หากคุณมีองค์ประกอบที่ไม่เหมาะ (และพวกเขาทั้งหมดเป็นหนึ่งองศาหรืออื่น ๆ ) คุณจะเห็นฮาร์มอนิกของความถี่อินพุทในเอาท์พุท ตัวเหนี่ยวนำมีแนวโน้มที่จะเลวร้ายที่สุดของล็อต แต่ทุกส่วนแฝงมีพฤติกรรมดังกล่าว ตัวอย่างเช่นตัวเก็บประจุสามารถแสดงค่าสัมประสิทธิ์แรงดันไฟฟ้าที่แข็งแกร่งและไม่คงที่เวลาเพราะการดูดซึมอิเล็กทริก

สำหรับตรงไปตรง (สมมติที่ 2 ประมาณปีมหาวิทยาลัยความรู้ทางคณิตศาสตร์) พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คุณสามารถอ่านเหล่านี้เบิร์กลีย์แน่นอน (EECS20N: สัญญาณและระบบ) บันทึก คุณสามารถดาวน์โหลดข้อความทั้งหมดที่นี่

มันเกิดขึ้นเพราะ sinewave เป็นเพียงหนึ่งบรรทัดในสเปกตรัมความถี่และไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับมันโดยใช้ฟิลเตอร์เชิงเส้นหรือแอมพลิฟายเออร์สิ่งที่เกิดขึ้นคือเฟสหรือแอมพลิจูด

หากเป็นคลื่นสี่เหลี่ยม (ฮาร์โมนิกอนันต์) การใช้ฟิลเตอร์จะลดทอนหรือลดทอนความถี่ที่มากกว่าความถี่อื่น ๆ และคลื่นสี่เหลี่ยมจะสูญเสียรูปทรงสี่เหลี่ยมที่รู้จัก

เสียงประสานคลื่นสี่เหลี่ยม: -

แหล่ง gif

เหตุผลพื้นฐานคือสมการส่วนประกอบของอุดมคติ R, L และ C คือเส้นตรงสมการไม่แปรเปลี่ยนเวลาที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์และอินทิกรัลเพียงอย่างเดียว (ทั้งการดำเนินการเชิงเส้น) และไซน์และโคไซน์เปลี่ยนเป็นไซน์

อนุพันธ์และอินทิกรัลของฟังก์ชันไซน์เป็นฟังก์ชันไซน์อื่นของความถี่เดียวกัน (มันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะแอมพลิจูดและเฟส) KCL และ KVL สามารถนำไปสู่ผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันไซน์ดังกล่าวเท่านั้นและการดำเนินการนั้นสามารถสร้างฟังก์ชันไซน์อื่นได้อีก ดังนั้นในที่สุดเมื่อคุณเชื่อมต่อ R, L และ C ในเครือข่ายอินพุตไซน์จะนำไปสู่เอาต์พุตไซน์เสมอ

ดูคำตอบอื่น ๆ ของฉันที่นี่

ทั้งหมดนี้เป็นผลโดยตรงของความคล้ายคลึงกันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เกี่ยวข้องกับ sines และ cosines โดยสมการของออยเลอร์) คุณอาจต้องการอ่านบทแรกใน Giorgi, The Physics of Wavesเพื่อรับคำอธิบายที่สมบูรณ์

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$เป็นเซนต์คิตส์และเนวิสข้อมูลที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการลดทอนและการเปลี่ยนเฟส) เรียกว่าลักษณะหรือเหมาะสมหรือ eigen- โซลูชั่นของระบบ พวกเขาสามารถใช้เพื่อสร้างพื้นฐานมุมฉากด้วยคุณสมบัติที่ฟังก์ชั่นอื่น ๆ (ดีประพฤติ) สามารถสลายตัวเป็นผลรวมทั่วไปของอิฐประถมศึกษาดังกล่าว - และนี่จะนำคุณไปสู่ดินแดนอนุกรมฟูริเยร์ แต่นั่นเป็นอีกเรื่อง)

คำอธิบายสั้น ๆ ให้ไว้ในคำตอบแรกของคำถามนี้ในคณิตศาสตร์ SE: เหตุใดเราจึงใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการแปลงฟูริเยร์ไม่ใช่ฟังก์ชันธาตุอื่น ๆ ?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

สิ่งนี้เป็นจริงเฉพาะเมื่อ จำกัด องค์ประกอบเชิงรับกับ R, L, C และคริสตัลที่ขับเคลื่อนได้อย่างถูกต้องและถึงแม้จะมีข้อยกเว้นสองข้อให้ดูด้านล่าง ความตั้งใจและไม่ตั้งใจไดโอด, วาริสเตอร์, เทอร์มิสเตอร์กับมวลความร้อนและองค์ประกอบที่ไม่ใช่เชิงเส้นอื่น ๆ สามารถแนะนำการบิดเบือนไปยังอินพุตไซน์ไซน์บริสุทธิ์ได้อย่างรวดเร็ว ผลึกที่มากเกินไปหรือตัวกรองเซรามิกอาจมีพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้น หากรวมองค์ประกอบสองขั้วที่มีความต้านทานเชิงลบ (ท่อระบายแก๊สไดโอดอุโมงค์) ในหมวดหมู่แบบพาสซีฟยิ่งมีความเป็นไปได้มากขึ้น

ข้อยกเว้น:

ส่วนในโลกแห่งความเป็นจริงมักจะมีข้อบกพร่องที่ทำให้พวกมันมีพฤติกรรมเหมือนองค์ประกอบที่ไม่เชิงเส้น ตัวต้านทานสามารถมี "เทอร์มิสเตอร์กับมวลความร้อน" และแม้กระทั่งพฤติกรรม "varistor" ตัวเก็บประจุสามารถมีการพึ่งพาแรงดันไฟฟ้าในค่าของพวกเขาเนื่องจากผลกระทบ piezoelectric, สนามไฟฟ้าที่ให้แรงกลผลทางเคมี (ในอิเล็กโทรไล) นอกจากนี้เอฟเฟกต์แบบอิเล็กเตรตบางส่วนดูเหมือนจะถูกบันทึกไว้สำหรับตัวเก็บประจุ ข้อต่อโลหะกับโลหะสามารถพัฒนาพฤติกรรมคล้ายไดโอด ตัวเหนี่ยวนำสามารถกลายเป็นแบบไม่เชิงเส้นผ่านแกนอิ่มตัวการโต้ตอบของสนามแม่เหล็กกับวัตถุโลหะใกล้เคียง ฯลฯ

ส่วนประกอบความต้านทานทั้งหมดที่มีกระแสไฟฟ้าจะมีพฤติกรรมการสร้างเสียงรบกวนซึ่งมีข้อ จำกัด ที่ต่ำกว่าซึ่งถูกกำหนดโดยฟิสิกส์ฮาร์ด

โปรดทราบว่าสัญญาณที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ในชีวิตจริงที่ดูเหมือนจะไม่ใช่ไซน์ทั้งหมดสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ว่าเป็นผลรวมของคลื่นไซน์ของความถี่และเฟสที่แตกต่างกัน

การมองหาความเชื่อมโยงกับธรรมชาติจะทำให้คุณไปเป็นวงกลม: คลื่นไซน์เป็นส่วนผสมหลักในการทำวงกลมและวงรีและสิ่งต่าง ๆ รอบตามการคำนวณทางคณิตศาสตร์ (ถ้าคุณต้องการวาดวงกลมบนคอมพิวเตอร์คุณมักจะใช้ไซน์ / ฟังก์ชั่นโคไซน์หรือใช้ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสโดยตรงในบางวิธี ... ) ธรรมชาติทำให้สิ่งรอบตัวมากมาย (ผม, ก้านพืช, เชอร์รี่, คราบเชอร์รี่, พายุทอร์นาโด, ฯลฯ ) และเก็บคลื่นไซน์จำนวนมากไว้สำหรับจุดประสงค์นั้น

'วงจร' มักจะถูกพิจารณาว่าเป็นเครือข่ายของส่วนประกอบด้วยพอร์ต 'อินพุต' และพอร์ต 'เอาท์พุท' ด้วยทฤษฎีเครือข่ายเช่น Ohms Law คุณสามารถได้รับสมการ 'ฟังก์ชันการถ่ายโอน' ที่อธิบายเอาต์พุตในแง่ของอินพุต ด้วยองค์ประกอบ 'เชิงเส้น' คุณจะพบกับฟังก์ชันการถ่ายโอนแบบ 'เชิงเส้น' เสมอ

ขออธิบายส่วนประกอบเชิงเส้นบางคนที่มีฟังก์ชั่นเช่นoutput = F(input), เป็นต้นจากนั้นการรวมกันขององค์ประกอบดังกล่าวจะนำไปสู่การทำงานร่วมกันเช่นoutput2 = G(input2) output2 = G(F(input1))เพราะฟังก์ชั่นทั้งสองเป็นแบบเชิงเส้นดังนั้นรูปแบบy = a * x + bดังนั้นชุดค่าผสมเหล่านั้นจึงเป็นแบบเส้นตรง

เมื่อใช้สัญญาณอินพุทไซน์กับเครือข่ายเชิงเส้นเอาต์พุตสามารถขยายได้ด้วยปัจจัย a และเลื่อนด้วยแรงดัน b ด้วยคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนหรือสมการเชิงอนุพันธ์คุณสามารถได้รับ 'การเลื่อนเฟส' แต่ไม่ใช่ความถี่ที่แตกต่างกันเพราะอนุพันธ์ของไซน์มีความถี่เท่ากัน

คุณต้องการสิ่งนี้อย่างเป็นทางการมากขึ้นหรือไม่?

ไม่ว่าหลักฐานของคุณจะเป็นเท็จหรือคุณไม่ได้ระบุเงื่อนไขขอบเขตอย่างชัดเจน

พิจารณาอุปกรณ์แบบพาสซีฟอย่างง่ายเช่นไดโอด มันจะแสดงลักษณะการถ่ายโอนที่ไม่ใช่เชิงเส้นทำให้เกิดเอาต์พุตที่ไม่ใช่ไซนัสสำหรับการกำหนด

นอกจากนี้ให้พิจารณาวงจรเรโซแนนซ์ (LC) ในอุดมคติด้วยฟังก์ชั่นการถ่ายโอนทำให้มีเอาต์พุตเป็นศูนย์ - จึงไม่ใช่แบบไซน์

ฟังก์ชั่น eigenfunctions ของระบบ Linear Time Invariant (และเครือข่ายแบบพาสซีฟโดยทั่วไปเป็นแบบนั้น) นั้นมีความซับซ้อนเชิงเลขชี้กำลัง

eigenfunction เป็นฟังก์ชั่นที่จะเปลี่ยนแปลงโดยปัจจัยคงที่ (ในกรณีนี้ซับซ้อน) เมื่อใส่ผ่านระบบ ระบบเชิงเส้นคือระบบที่เอาต์พุตที่สอดคล้องกับผลรวมของอินพุตหลายตัวสอดคล้องกับผลรวมของเอาต์พุตของอินพุตแต่ละตัวดังนั้นคุณสามารถวิเคราะห์ได้เสมอโดยแสดงอินพุตเป็นผลรวมที่สะดวก ถ้าผลรวมนี้สามารถเป็นผลรวมที่แสดงในรูปแบบฟังก์ชันดั้งเดิม eigenfunction สิ่งต่าง ๆ กลายเป็นเรื่องง่ายขึ้นมาก

สวัสดีการวิเคราะห์ฟูริเยร์