คุณเข้าใจทฤษฎีบทแกนขนานผิดไป
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนเท่ากับ
$$ I = \ iint \ limits_R \ rho ^ 2 \ text {d} A $$
โดยที่ $ \ rho $ คือระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังแกน ในกรณีของส่วนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนนอนสามารถเปลี่ยนเป็น
$$ \ begin {align}
I_x & amp; = \ int \ limit _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int \ จำกัด _ {- h / 2} ^ {h / 2} y ^ 2 \ text {d} y \ text {d} x \\
I_x & amp; = \ int \ จำกัด _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ left. \ dfrac {1} {3} y ^ 3 \ right \ rvert _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ text {d} y \ text {d} x \\
I_x & amp; = \ int \ จำกัด _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ dfrac {1} {3} \ dfrac {h ^ 3} {4} \ text {d} x \\
I_x & amp; = \ left. \ dfrac {1} {3} \ dfrac {h ^ 3} {4} x \ right \ rvert _ {- b / 2} ^ {b / 2} \\
I_x & amp; = \ dfrac {bh ^ 3} {12}
\ end {} จัด $$
ทีนี้ถ้าเราต้องการให้แรงเฉื่อยรอบแกนอื่น ๆ ที่ระยะทาง $ r $ จากเซนทรอยด์ของเรา ในกรณีนี้สิ่งที่เราต้องทำคือ:
$$ I = \ iint \ limits_R (\ rho + r) ^ 2 \ text {d} A $$
$$ I = \ iint \ limits_R \ left (\ rho ^ 2 + 2 \ rho r + r ^ 2 \ right) \ text {d} A $$
$$ I = \ iint \ limits_R \ rho ^ 2 \ text {d} A + 2r \ iint \ limit_R \ rho \ text {d} A + r ^ 2 \ iint \ limit_R \ text {d} A $$
องค์ประกอบแรก $ \ iint \ limit_R \ rho ^ 2 \ text {d} A $ เท่ากับความโมเมนต์เดิมของความเฉื่อย องค์ประกอบที่สอง $ 2r \ iint \ limit_R \ rho \ text {d} A $ เท่ากับศูนย์เนื่องจากเรารวมรอบเซนทรอยด์ (มันจะกลายเป็นฟังก์ชันของ $ y ^ 2 $ ซึ่งเมื่อรวมเข้ากับ $ - h / 2 $ ถึง $ h / 2 $ ให้เป็นศูนย์) องค์ประกอบที่สามเท่ากับ $ Ar ^ 2 $ ดังนั้นในที่สุดเราจะได้รับ:
$$ I '= I + Ar ^ 2 $$
ดังนั้นหากคุณต้องการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยพิจารณาแต่ละครึ่ง (ครึ่งบนเซนทรอยด์ครึ่งล่าง) คุณต้องทำดังนี้
$$ \ begin {align}
I_ {half} & amp; = \ dfrac {b \ left (\ dfrac {h} {2} \ right) ^ 3} {12} \\
ฉัน '_ {ครึ่ง} & amp; = I_ {ครึ่ง} + b \ left (\ dfrac {h} {2} \ right) \ left (\ dfrac {h} {4} \ right) ^ 2 \\
& amp; = \ dfrac {bh ^ 3} {96} + \ dfrac {bh ^ 3} {32} = \ dfrac {bh ^ 3} {24} \\
I_ {เต็ม} & amp; = 2I '_ {half} = \ dfrac {bh ^ 3} {12}
\ end {} จัด $$
ซึ่งเป็นค่าดั้งเดิมสำหรับส่วนเต็ม QED
