วิธีการคำนวณมวลและความเร็วสูงสุดของลูกบอลที่เคลื่อนที่บนรางวงกลมภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงและสปริง [ปิด]

ทำอย่างไรถึงจะจบส่วน (a) และ (b) ของปัญหาพลศาสตร์

ไม่มีคำตอบหรือคำตอบในหนังสือ ...

อาจารย์ของฉันบอกว่าปัญหานี้ยุ่งยากมากอย่าลองด้วยตัวเอง

เริ่มต้นด้วยการเทียบพลังงานทั้งหมดที่จุดเริ่มต้นและความเร็วสูงสุด พลังงาน ณ จุดเริ่มต้นมาจากพลังงานที่มีศักยภาพของมวลและสปริง พลังงานที่จุดอื่น ๆ ยังมีองค์ประกอบพลังงานจลน์ของมวล

$$ m g (R \ tan (\ alpha) + R) + \ frac {1} {2} k \ left (\ sqrt {R ^ 2 + (R \ tan (\ alpha)    ) + R) ^ 2} - \ ell \ right) ^ 2 = \\ m g (R-R \ sin (\ beta)) + \ frac {1} {2} k \ left (\ sqrt {(R-R    \ sin (\ beta)) ^ 2+ (2 R-R \ cos (\ beta)) ^ 2} - \ ell \ right) ^ 2 + \ frac {1} {2} m v ^ 2 $$

($ \ ell $ คือความยาวสปริงแบบไม่ยืด)

ตอนนี้เราสามารถแก้ปัญหาสำหรับ $ v ^ 2 $ (หรือ $ v $)

$$ \ frac {1} {m} (- 4. \ sin ^ 2 (\ beta) -4. \ cos ^ 2 (\ beta) +16. \ cos (\ beta) +40. \ sqrt {-0.08 \ sin    (\ beta) -0.16 \ cos (\ beta) +0.24} + (3.92 m + 8.) \ sin (\ beta) -12 + \\ 4. \ tan ^ 2 (\ alpha) -40 \ sqrt {0.04 \ tan ^ 2 (\ alpha) +0.08 \ tan (\ alpha) +0.08} +8    \ tan (\ alpha) +3.92 m \ tan (\ alpha)) $$

เมื่อดูที่นิพจน์นี้เราจะเห็นว่าส่วนนั้นขึ้นอยู่กับ $ \ beta $ และอีกส่วนหนึ่งคือ $ \ alpha $ และไม่มีตัวแปรไขว้ ตัวแปรอื่นคือมวล $ m $ จากข้อมูลที่ความเร็วสูงสุดอยู่ที่ $ \ beta = 34 {} ^ {\ circ} $ เราสามารถเทียบอนุพันธ์ของ $ v ^ 2 $ ถึง 0 และแก้หา $ m $ สิ่งนี้ให้ $ m = 0.143 kg $

ฉันคิดว่านี่เป็นเท่าที่เราจะได้รับพร้อมกับข้อมูลที่ให้ไว้ ความเร็วที่แท้จริงคือฟังก์ชัน $ \ alpha $ และตามที่คาดไว้ค่าที่สูงขึ้นจะให้ความเร็วที่มากกว่า

$$ 2.64447 \ sqrt {4. \ tan ^ 2 (\ alpha) -40 \ sqrt {0.04 \ tan ^ 2 (\ alpha) +0.08 \ tan    (\ alpha) +0.08} +8.56054 \ tan (\ alpha) +12.0611} $$

[Update] ถ้า $ \ alpha = 45 {} ^ {\ circ} $ ความเร็วจะเท่ากับ $ 6.86192 \ m / s $

(การคำนวณทั้งหมดทำใน Mathematica และฉันกำลังแนบภาพหน้าจอ)