ความเป็นมาสำหรับการประมาณความถี่ของสะพานในหน่วยยูโร

14

Eurocodes ให้สมการต่อไปนี้สำหรับการประเมิน "สะพานที่รองรับเพียงแค่การดัดเท่านั้น" *:

n_{0} = \frac{17.75}{\sqrt{δ_{0}}}

$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$

ที่ไหน

$n_0$ เป็นความถี่ธรรมชาติในเฮิรตซ์
$\delta_0$ คือการโก่งตัวที่ mid-span ภายใต้การกระทำถาวรในหน่วย mm

สมการนี้ดูเหมือนจะถูกดึงออกมาจากอากาศบาง ๆ และไม่มีคำอธิบายว่าที่ 17.75 มาจากไหน ในฐานะวิศวกรฉันไม่เต็มใจที่จะใช้สูตรที่ฉันไม่เข้าใจ แต่ยิ่งไปกว่านั้นมันจะเป็นประโยชน์ในการเรียนรู้พื้นฐานเบื้องหลังเพื่อที่ฉันจะได้เห็นว่ามันสามารถปรับเปลี่ยนให้ทำงานกับเงื่อนไขการสนับสนุนอื่น ๆ ได้หรือไม่

ทุกคนสามารถให้แหล่งที่มา / พื้นฐานในความสัมพันธ์นี้

* ข้อมูลอ้างอิงเต็มรูปแบบคือ: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [หมายเหตุ 8] (สมการ 6.3) หากเป็นเช่นนั้น

bridges dynamics eurocodes

— thomasmichaelwallace
แหล่งที่มา

1

นี่คือไฟล์ PDF ที่ถูกต้องใช่ไหม

— HDE 226868

ใช่ - ฉันไม่ทราบว่าคุณสามารถรับ Eurocodes ได้ฟรี!

— thomasmichaelwallace

10

หากเราทำให้สะพานทั้งหมดเรียบง่ายลงในลำแสงบาง 2D ที่มีขนาดส่วนคงที่ไม่มีการทำให้หมาด ๆ ภายในและอยู่ภายใต้การโก่งตัวแนวตั้งขนาดเล็กเท่านั้นความถี่ธรรมชาติจะถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย:

n_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{ม.}}

$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$

โดยที่คือความถี่ธรรมชาติคืออัตราส่วนระหว่างแรงบูรณะและการโก่งตัว (เทียบเท่า 'ความแข็งสปริง') และคือมวลต่อความยาวของหน่วยของคาน $n_0$ $k$ $m$

ในลำแสงแรงเชิงบูรณะคือแรงเฉือนภายในที่เกิดจากรูปร่างที่เบี่ยงเบน เมื่อแรงที่จัดแสดงโดยลำแสงเป็นสัดส่วนกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของแรงเฉือนซึ่งสัมพันธ์กับความแข็ง ( ) และอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนต์ที่สามารถแสดงได้(หมายเหตุ: การเบี่ยงเบนเป็นสัดส่วนกับความยาวของ ลำแสง)ที่: $EI$

k = α \frac{E ผม}{L^{4}}

$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$

เมื่อเป็นโมดูลัสของ Young ของวัสดุลำแสงเป็นช่วงเวลาที่สองของความเฉื่อยของส่วนของลำแสงคือความยาวของลำแสงและเป็นค่าคงที่ที่กำหนดโดยเงื่อนไขการสนับสนุนและหมายเลขโหมดของการตอบสนอง $E$ $I$ $L$ $\alpha$

วรรณกรรมทั้งหมดที่ฉันได้เห็นเป็นการแสดงออกถึงสิ่งนี้ในวิธีที่สะดวกสำหรับสมการความถี่:

k = {(\frac{K}{L^{2}})}^{2} (E ผม)

$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$

กลับมาแทนที่ใน

n_{0} = \frac{K}{2 π L^{2}} \sqrt{\frac{E ผม}{ม.}}

$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$

การคำนวณมูลค่าของนั้นเกี่ยวข้องกันมากและมีวิธีที่แน่นอนสำหรับวิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายและวิธีการโดยประมาณรวมถึงวิธีพลังงานฟรีและ Raleigh Ritz เบี่ยงเบนไม่กี่สำหรับคานสนับสนุนก็สามารถพบได้ที่นี่ $K$

มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่าสมการนี้จะเพียงพอ แต่เมื่อมันต้องใช้ตารางสำหรับและการคำนวณค่าของที่แสดงถึงสะพานเป็นลำแสงที่เป็นเนื้อเดียวกันผู้เขียนของ Eurocode ดูเหมือนจะตัดสินใจว่ามันจะเป็น รวมสมมติฐานที่ดีกว่าว่าคงที่ตลอดลำแสง $K$ $EI$ $k$

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้พวกเขาได้ใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

δ_{0} = ค \frac{W L^{4}}{E ผม}

$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$

โดยที่คือการโก่งตัวสูงสุดคือค่าคงที่ที่กำหนดโดยเงื่อนไขการสนับสนุนคือการกระจายโหลดคงที่สม่ำเสมอตลอดความยาวของลำแสง $\delta_0$ $C$ $w$

ภายใต้น้ำหนักตัวเองโดยที่คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (9810 mm / s ² ; เนื่องจากการโก่งตัวในสมการนี้มีหน่วยเป็นมิลลิเมตร ) $w = gm$ $g$

ดังนั้น (จัดใหม่ :)

\sqrt{\frac{E ผม}{ม.}} = L^{2} \sqrt{9810} \frac{\sqrt{ค}}{\sqrt{δ_{0}}}

$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$

และอื่น ๆ :

n_{0} = \frac{15.764 K \sqrt{ค}}{\sqrt{δ_{0}}}

$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$

ค่าทั่วไปสำหรับและสามารถพบได้ในตารางโครงสร้างตัวอย่างเช่นที่นี่และที่นี่ตามลำดับ $K$ $C$

สำหรับลำแสงที่รองรับเพียง:

K = π^{2} และ ค = \frac{5}{384}

$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$

15.764 K \sqrt{ค} = 17.75

$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$

n_{0} = \frac{17.75}{\sqrt{δ}}

$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$

— thomasmichaelwallace
แหล่งที่มา

เราจะไปที่นั่น. :-)

— HDE 226868

3

นี่คือคำตอบที่เป็นไปได้

ฉันพบเอกสารนี้ (ไม่แน่ใจแหล่งที่แน่นอน) ซึ่งมีแหล่งที่มาที่เกี่ยวข้อง:

n_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{ม.}}

$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

k

$k$

m

$m$

k = \frac{ภาระ}{โก่ง} = \frac{F}{δ}

$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$

F

$F$

δ

$\delta$

n_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{F}{ม. δ}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{ม. a}{ม. δ}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a}{δ}}

$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$

n_{0} = 5.03 \sqrt{\frac{a}{δ}}

$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$

a = 12.4382

$a=12.4382$

— HDE 226868
แหล่งที่มา

0

มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหนังสือของ Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996) หากคุณอ่านบทที่ 4 คุณจะเห็นสูตร 4.53 ในหน้า 92:

ฉ_{1} = 17.753 {โวลต์}_{s เสื้อ}^{- 1 / 2}

$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$

$f_1$ $v_{st}$

สมการนี้ตามมาจากสูตรสำหรับการโก่งตัวกลางของลำแสงที่รองรับเพียงแค่โหลดโดยโหลดμgที่กระจายอย่างสม่ำเสมอ

{โวลต์}_{s เสื้อ} = \frac{5}{384} \frac{μ ก. {ล.}^{4}}{E ผม}

$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$

ซึ่งใช้แทน

ฉ_{J} = \frac{λ_{J}^{4}}{{ล.}^{4}} (\frac{E ผม}{μ})^{1 / 2}

$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$

λ_{1} = π

$\lambda_1 = \pi$

แทนสมการเหล่านั้นด้วยการใช้ g = 9.81 m / s ^ 2

ฉ_{1} = \frac{π}{2} (\frac{5}{384} ก.)^{1 / 2} {โวลต์}_{s เสื้อ}^{- 1 / 2}

$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$

การประเมินเชิงตัวเลขของสมการนี้ทำให้ได้สมการที่ต้องการ

— BenjaminKomen
แหล่งที่มา

หนังสืออธิบายถึงที่มาของสมการหรือไม่? นั่นคือคำถามของ OP และถ้าเป็นเช่นนั้นคุณช่วยอธิบายที่มานี้ได้ไหม

— วาซาบิ

ฉันได้เพิ่มคำอธิบายที่ให้ไว้ในหนังสือเล่มนี้แล้ว มันควรจะอธิบายในรายละเอียดเพิ่มเติมหรือง่ายขึ้น?

— BenjaminKomen

-2

Dynamics สำหรับวิศวกรเช่นฉันซึ่งโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับสถิตศาสตร์อาจเต็มไปด้วยข้อผิดพลาดที่ง่ายและเข้าใจผิด สูตรนี้มีประโยชน์มากสำหรับคานที่รองรับเพียงอย่างเดียวเนื่องจากสามารถเชื่อมโยงกับน้ำหนักตัวเองที่ใช้อย่างรวดเร็วและสัดส่วนของการบรรทุกสด (โดยทั่วไป 10%) โดยไม่ต้องยุ่ง

นอกจากนี้ Cantilevers สามารถใช้ค่าคงที่ที่คล้ายกัน (19.8 กับ udl, 15.8 พร้อมกับโหลดจุดสิ้นสุด) ทุกอย่างพังทลายลงมาพร้อมกับคานและเฟรมอย่างต่อเนื่อง

ฉันสร้างในการตรวจสอบความถี่ธรรมชาติด้วยการออกแบบลำแสงทั้งหมดเพื่อติดตาม สำหรับโครงสร้างไม้เช่น 8Hz เป็นเป้าหมายและสำหรับพื้นคอนกรีต / โครงเหล็ก 4-6Hz - เป็นครั้งแรกที่ผ่าน

นอกจากนี้ยังมีวิธีการคร่าวๆและพร้อมสำหรับการประเมินการตอบสนองแบบไดนามิก ฉันต้องบอกว่าพลศาสตร์ยังคงหลบเลี่ยงและทำให้ฉันสับสนและจะทำตลอดไป! ดังนั้นฉันจะอยู่อย่างเรียบง่ายที่สุด

— ฮิวจ์มอร์ริสัน
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ไม่ได้ตอบคำถามหลักของ OP จริง ๆ แล้วสูตรมาอย่างไรและอะไรคือจุดกำเนิดพื้นฐาน

— grfrazee