อะไรคือความแตกต่างระหว่าง Polar Moment of Inertia

9

คำถามนี้เป็นพื้นฐานขั้นพื้นฐานที่ฉันเกือบจะอายที่จะถาม แต่มันก็เกิดขึ้นในที่ทำงานเมื่อวันก่อนและเกือบจะไม่มีใครในสำนักงานที่จะให้คำตอบที่ดีแก่ฉัน ฉันคำนวณความเค้นเฉือนในสมาชิกโดยใช้สมการ $\frac{Tr}{J_T}$ และสังเกตเห็นว่าสำหรับเพลาที่มีส่วนตัดวงกลม $J_T = I_P$ .

ทั้งสอง $I_P$ และ $J_T$ ใช้เพื่ออธิบายความสามารถของวัตถุในการต้านทานแรงบิด $I_P$ ถูกกำหนดให้เป็น $\int_{A} \rho^2 dA$ ที่ไหน $\rho$ = ระยะรัศมีกับแกนที่เกี่ยวข้อง $I_P$ กำลังคำนวณ แต่ $J_T$ ไม่มีสมการเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอนและถูกคำนวณโดยส่วนใหญ่ด้วยสมการโดยประมาณที่ไม่มีการอ้างอิงที่ฉันดูอย่างละเอียด

ดังนั้นคำถามของฉันคือความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาขั้วโลกของความเฉื่อยคืออะไร $I_P$ และค่าคงที่แรงบิด $J_T$ ? ไม่เพียง แต่ทางคณิตศาสตร์ แต่ในทางปฏิบัติ คุณสมบัติทางกายภาพหรือรูปทรงเรขาคณิตแต่ละชนิดแสดงถึงอะไร? ทำไม $J_T$ คำนวณยากไหม

— William S. Godfrey-SE
แหล่งที่มา

9

แรงบิดคงที่ $J_T$ เกี่ยวข้องกับมุมของการบิดกับแรงบิดที่ใช้ผ่านสมการ:

ϕ = \frac{T L}{J_{T} G}

$\phi = \frac{TL}{J_T G}$ ที่ไหน

T

$T$ คือแรงบิดที่ใช้

L

$L$ คือความยาวของสมาชิก

G

$G$ คือโมดูลัสความยืดหยุ่นในการเฉือนและ

J_{T}

$J_T$ เป็นค่าคงตัวบิด

ขณะที่ขั้วของความเฉื่อยบนมืออื่น ๆ ที่เป็นตัวชี้วัดความต้านทานของส่วนข้ามไปแรงบิดที่มีส่วนข้ามคงที่และไม่มีการแปรปรวนอย่างมีนัยสำคัญ

กรณีของแท่งทรงกลมภายใต้แรงบิดนั้นพิเศษเพราะสมมาตรแบบวงกลมซึ่งหมายความว่ามันจะไม่บิดเบี้ยวและส่วนของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้แรงบิด ดังนั้น $J_T = I_P$ .

เมื่อสมาชิกไม่มีความสมมาตรแบบวงกลมเราก็คาดหวังได้ว่ามันจะแปรปรวนภายใต้แรงบิดดังนั้น $J_T \neq I_P$ .

ซึ่งทำให้เกิดปัญหาในการคำนวณ $J_T$ . น่าเสียดายที่นี่ไม่ตรงไปตรงมาซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมค่า (โดยทั่วไปประมาณ) สำหรับรูปร่างทั่วไปจึงถูกทำเป็นตาราง

วิธีหนึ่งในการคำนวณค่าคงที่แรงบิดคือการใช้ฟังก์ชันความเครียด Prandtl (อีกวิธีคือการใช้ฟังก์ชั่นแปรปรวน )

ต้องเลือกฟังก์ชั่นความเครียด Prandtl โดยไม่ต้องลงรายละเอียดมากเกินไป $\Phi$ ซึ่งแสดงถึงการกระจายความเครียดภายในสมาชิกและเป็นไปตามเงื่อนไขของขอบเขต (ไม่ใช่เรื่องง่ายโดยทั่วไป!) นอกจากนี้ยังต้องตอบสนองสมการความเข้ากันได้ของปัวซอง:

\nabla^{2} Φ = - 2 G θ

$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$ ที่ไหน

θ

$\theta$ คือมุมบิดต่อความยาวหน่วย

หากเราได้เลือกฟังก์ชั่นความเครียดไว้เพื่อให้ $\Phi = 0$ บนขอบเขต (เงื่อนไขการลากแบบไม่มีแรงยึด) เราสามารถหาค่าคงที่แบบบิดได้โดย:

J_{T} = 2 \int_{A} \frac{Φ}{G θ} d A

$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$

ตัวอย่าง:ก้านของส่วนตัดวงกลม

เนื่องจากความสมมาตรของส่วนตัดวงกลมที่เราสามารถทำได้:

Φ = \frac{G θ}{2} (R^{2} - r^{2})

$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$ โดยที่ R คือรัศมีรอบนอก จากนั้นเราจะได้รับ:

J_{T} = 2 π \int_{0}^{R} (R^{2} - r^{2}) r d r = \frac{π R^{4}}{2} = (I_{P})_{c i r c l e}

$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$

ตัวอย่าง:ส่วนตัดของเครื่องหมายจุดไข่

Φ = G θ \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1)

$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$ และ

J_{T} = \int_{A} \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1) d A = \frac{π a^{3} b^{3}}{a^{2} + b^{2}}

$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$ ซึ่งแน่นอนไม่เท่ากับช่วงเวลาขั้วโลกของความเฉื่อยของวงรี:

(I_{P})_{e l l i p s e} = \frac{1}{4} π a b (a^{2} + b^{2}) \neq (J_{T})_{e l l i p s e}

$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$

เนื่องจากโดยทั่วไป $J_T < I_P$ ถ้าคุณใช้โมเมนต์ความเฉื่อยของโพลาร์แทนที่จะเป็นค่าคงที่แบบบิดคุณจะคำนวณมุมที่เล็กลง

— mg4w
แหล่งที่มา

3

นี่เป็นเรื่องบังเอิญและมันเป็นความจริงเฉพาะสำหรับส่วนตัดขวางแบบวงกลมหรือแบบกลวง แน่นอนว่าเพลาที่มีแรงบิดนั้นมักเป็นแบบวงกลมด้วยเหตุผลที่เป็นอิสระจากคำถาม!

แรงบิดของเพลากลมนั้นง่ายมากเนื่องจากความสมมาตรของรูปร่างวงกลม โดยความสมมาตรความเค้นและความเครียด ณ จุดใด ๆ สามารถทำหน้าที่ของระยะทางแนวรัศมีจากแนวกึ่งกลางของเพลา ตามทฤษฏีของ Pythagoras คุณสามารถใช้แกนคู่ใดก็ได้และแสดงรัศมีเป็น $r^2 = x^2 + y^2$ .

ด้วยความจริงนั้นคุณสามารถแปลงอินทิกรัลเหนือส่วนไขว้เป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัวใน $x$ และ $y$ ทิศทางและอีกครั้งโดยสมมาตรอินทิกรัลทั้งสองจะต้องมีค่าเท่ากัน

รูปแบบของอินทิกรัลเกิดขึ้นเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกับช่วงเวลาที่สองของพื้นที่ของคานทรงกลมซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่คุณถาม

สิ่งนี้ไม่ได้ผลสำหรับส่วนที่ไม่เป็นวงกลมเนื่องจากการกระจายความเค้นไม่ได้เป็นแบบสมมาตร ตัวอย่างเช่นถ้าคุณเปรียบเทียบค่าคงที่แรงบิดและโมเมนต์ขั้วโลกของส่วนที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสคุณจะพบว่า "ค่าคงที่" ในสองสูตรนั้นแตกต่างกัน ยิ่งภาพตัดขวางเบี่ยงเบนจากวงกลมมากเท่าใดความแตกต่างก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ค่าคงที่แรงบิดสำหรับส่วนที่มีรูปร่างซับซ้อน (ตัวอย่างเช่น I-beam) นั้นยากที่จะคำนวณได้เนื่องจากการแจกแจงความเครียดในส่วนนั้นมีความซับซ้อนและไม่มี "สูตร" ที่เรียบง่ายสำหรับคุณที่รวมคณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน สูตรการบิดตัวในคู่มือทางวิศวกรรมหลายสูตรตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ง่ายกว่าการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ "แน่นอน"

แต่ในชีวิตจริง "ข้อผิดพลาด" ไม่ได้เป็นสิ่งสำคัญมากเกินไปเพราะเมื่อโหลดบิดถูกนำไปใช้เป็นโครงสร้างที่ไม่ใช่วงกลมส่วนข้าม "วิปริต" คือพวกเขาไม่ได้ยังคงอยู่ในเครื่องบิน ในชีวิตจริงจำนวนของการแปรปรวนมักจะไม่เป็นที่รู้จักเนื่องจากพันธนาการที่ปลายเพลาส่งผลกระทบต่อมัน หากคุณต้องการการประมาณค่าความตึงแบบบิดได้อย่างแม่นยำของส่วนประกอบที่ไม่เป็นวงกลมคุณจะต้องสร้างแบบจำลองสามมิติเต็มรูปแบบของส่วนประกอบนั้นเองและวิธีที่จะยึดกับส่วนที่เหลือของโครงสร้าง หากคุณสร้างแบบจำลองที่มีรายละเอียดในระดับนั้นมีจุดไม่มากในการลดคำตอบให้กับหมายเลขหนึ่งเพียงเพื่อให้คุณสามารถเรียกมันว่า "ความฝืดบิด"

— alephzero
แหล่งที่มา

0

Ip ขณะที่ความเฉื่อยของ Ip คือความต้านทานของของแข็งที่จะเกิดการบิด อย่างไรก็ตามโมเมนต์มวลการหมุนของความเฉื่อย J คือโมเมนต์ความเฉื่อยของของแข็งหมุน ดูเว็บนี้

อย่างที่ฉันเข้าใจ J ก็เหมือนกับช่วงเวลาปกติของความเฉื่อย แต่สำหรับวัตถุที่กำลังหมุน

— galtor
แหล่งที่มา

1

อย่าสับสน

I_{z z} = \int r^{2} d A

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}A$ กับ

I_{z z} = \int r^{2} d m

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}m$ . เขาจะขอเกี่ยวกับช่วงเวลาที่ขั้วของพื้นที่ไม่ใช่ช่วงเวลาที่ขั้วของความเฉื่อย

— ja72