ข้อเสียของแผนการลดส่วนร่วมทั่วไปสำหรับการจำลอง CFD

เมื่อวันก่อนอาจารย์สอนวิชาพลศาสตร์ของไหลที่ไม่ได้อยู่กับฉันและเขาส่งผู้สมัครระดับปริญญาเอกของเขามาแทนเขา ในการบรรยายที่เขาให้เขาดูเหมือนจะบ่งบอกถึงข้อเสียหลายประการที่เกี่ยวข้องกับแผนการ discretization ต่างๆสำหรับการจำลองการไหลของของไหล:

ระเบียบวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนเชียล: เป็นการยากที่จะตอบสนองการอนุรักษ์และนำไปใช้กับรูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติ

วิธีไฟไนต์วอลลุ่ม: มันมีแนวโน้มที่จะเอนเอียงไปทางขอบและฟิสิกส์หนึ่งมิติ

วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์: เป็นการยากที่จะแก้สมการไฮเพอร์โบลิกโดยใช้ FEM

Galerkin ไม่ต่อเนื่อง: มันเป็นสิ่งที่ดีที่สุด (และเลวร้ายที่สุด) ของโลกทั้งหมด

การแยกความผันผวน: ยังไม่สามารถใช้ได้อย่างกว้างขวาง

หลังจากการบรรยายฉันพยายามถามเขาว่าเขารับข้อมูลนี้ที่ไหน แต่เขาไม่ได้ระบุแหล่งที่มา ฉันพยายามทำให้เขาอธิบายสิ่งที่เขาหมายถึงโดย DG ว่าเป็น "ดีที่สุดและแย่ที่สุดในโลก" แต่ไม่ได้รับคำตอบที่ชัดเจน ฉันเดาได้แค่ว่าเขามาถึงข้อสรุปเหล่านี้จากประสบการณ์ของเขาเอง

จากประสบการณ์ของฉันเองฉันสามารถตรวจสอบการอ้างสิทธิ์แรกว่า FDM นั้นยากที่จะนำไปใช้กับรูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติ สำหรับการอ้างสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดฉันไม่มีประสบการณ์เพียงพอที่จะยืนยันพวกเขา ฉันอยากรู้ว่า 'ข้อเสีย' ที่อ้างสิทธิ์เหล่านี้ถูกต้องอย่างไรสำหรับการจำลอง CFD โดยทั่วไป

ลักษณะที่เสนอมีความสมเหตุสมผลในแง่ที่ว่าพวกเขาเป็นตัวแทนของความคิดเห็นที่นิยม คำถามนี้มีขอบเขตขนาดใหญ่ดังนั้นฉันจะทำเพียงไม่กี่ข้อสังเกตในขณะนี้ ฉันสามารถทำอย่างละเอียดเพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็น สำหรับการอภิปรายที่เกี่ยวข้องโดยละเอียดเพิ่มเติมให้ดูที่เกณฑ์การเลือกระหว่างความแตกต่างอัน จำกัด และองค์ประกอบที่ จำกัด คืออะไร

• ระเบียบวิธีไฟไนต์อีควิตี้ที่มีลำดับต่ำมีความพร้อมสำหรับกริดที่ไม่มีโครงสร้าง การสั่งซื้อ FD ที่ไม่มีความผันผวนสูงเป็นเรื่องอื่น ในโครงการ WENO Difference Difference ฟิสิกส์จะปรากฏในการแยกฟลักซ์ที่ไม่สามารถใช้ได้สำหรับนักแก้ปัญหาของ Riemann ทั้งหมด

• ระเบียบวิธีไฟไนต์วอลลุ่มทำงานได้ดีในหลายมิติ แต่ถ้าต้องการลำดับที่สูงกว่าลำดับที่สองสำหรับโครงสร้างการไหลทั่วไปคุณต้องใช้จุดเพิ่มกำลังสองหน้า อย่างไรก็ตามวิธีการ FV เหล่านี้สามารถนำไปใช้กับตาข่ายที่ไม่ราบรื่นและไม่มีโครงสร้างและสามารถใช้ตัวแก้ Riemann โดยพลการ

• วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แบบต่อเนื่องสามารถใช้กับ CFD ได้ แต่ความเสถียรจะละเอียดอ่อน โดยทั่วไปมักจะไม่ค่อยมีวิธีการที่ไม่ใช้การแกว่งและการทำให้เสถียรมักต้องการข้อมูลเพิ่มเติมเช่นเอนโทรปี เมื่อใช้เมทริกซ์มวลที่สอดคล้องกันเวลาในการก้าวอย่างชัดเจนจะมีราคาแพงกว่ามาก วิธีการแบบต่อเนื่องของ Galerkin ไม่ใช่แบบอนุรักษ์นิยมซึ่งก่อให้เกิดปัญหาต่อการกระแทกอย่างรุนแรง ดูเพิ่มเติมเหตุใดการอนุรักษ์ท้องถิ่นจึงมีความสำคัญเมื่อแก้ไข PDE

• วิธีการที่ไม่ต่อเนื่องของ Galerkin สามารถใช้ตัวแก้ Riemann เพื่อเชื่อมต่อองค์ประกอบต่างๆ พวกเขามีคุณสมบัติความมั่นคงแบบไม่เชิงเส้นโดยธรรมชาติที่ดีกว่าวิธีการทั่วไปอื่น ๆ DG นั้นค่อนข้างซับซ้อนในการนำไปใช้และโดยทั่วไปแล้วไม่ได้ทำเสียงเดียวภายในองค์ประกอบ มีตัว จำกัด สำหรับ DG ที่ให้ความมั่นใจในด้านบวกหรือหลักการสูงสุด

• มีวิธีอื่น ๆ เช่น Spectral Difference (เช่นWang et al 2007หรือLiang et al 2009 ) ที่มีศักยภาพที่จะมีประสิทธิภาพมาก (เช่น Finite Difference) ในขณะที่มีความยืดหยุ่นทางเรขาคณิตมากขึ้นและมีความแม่นยำสูง

การไหลของจำนวนเรย์โนลด์สูงมีเลเยอร์ขอบเขตบางซึ่งต้องการองค์ประกอบที่มีประสิทธิภาพสูงเพื่อแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพ สำหรับองค์ประกอบที่ไม่สามารถบีบอัดหรืออัดได้ทำให้เกิดปัญหาสำคัญสำหรับการแยกส่วน สำหรับการสนทนาเพิ่มเติมส่วนใหญ่มาจากมุมมองของวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ดูที่การแยกเชิงพื้นที่ทำงานอย่างไรสำหรับการไหลที่ไม่บีบอัดด้วยตาข่ายแบบแอนไอโซทรอปิก

สำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องความสามารถในการใช้อย่างไม่เชิงเส้นแบบหลายจุด (FAS) นั้นน่าดึงดูด โดยทั่วไปแล้ววิธีการ FD, FV และ DG สามารถใช้ FAS ได้อย่างมีประสิทธิภาพเพราะพูดโดยประมาณ

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

อัตราส่วนนี้มักจะมากกว่า 10 สำหรับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามอัตราส่วนนี้ไม่เพียงพอสำหรับ FAS ที่มีประสิทธิภาพด้วยการปรับให้เรียบแบบจุดหรือแบบทวนเข็มนาฬิกา นอกจากนี้ยังจำเป็นที่จะต้องมีการแยกย่อย -elliptic เพื่อใช้ในการแก้ไขข้อบกพร่องหรือแก้ไขวงจร multigrid สำหรับการสนทนาเพิ่มเติมดูมีอัลกอริธึมแบบหลายจุดในการแก้ปัญหาของ Neumann และมีอัตราการรวมเป็นอิสระจากจำนวนระดับหรือไม่? คำตอบที่เป็นบวกสำหรับคำถามการวิจัยนี้อาจเสนอ FAS ที่มีประสิทธิภาพสำหรับองค์ประกอบ จำกัด อย่างต่อเนื่อง$h$

ในระยะสั้นสำหรับ DG:

ผลที่ตามมาของการผ่อนคลายข้อกำหนดความต่อเนื่องข้ามขอบเขตองค์ประกอบคือจำนวนของตัวแปรใน DG-FEM มีขนาดใหญ่กว่าคู่ต่อเนื่องสำหรับองค์ประกอบจำนวนเดียวกัน

ในอีกทางหนึ่งเนื่องจากการกำหนดท้องถิ่น (ในแง่ขององค์ประกอบ) เรามีข้อได้เปรียบดังต่อไปนี้:

• ข้อกำหนดที่ไม่คงที่และแหล่งที่มาจะถูกแยกออกอย่างสมบูรณ์ระหว่างองค์ประกอบ เมทริกซ์มวลสามารถกลับด้านได้ที่ระดับองค์ประกอบ
• การขนานที่ง่ายกว่า
• การปรับแต่งแบบปรับได้ (h-, p- และ hp) นั้นทำได้ง่าย - ไม่จำเป็นต้องมีการกำหนดหมายเลขโหนดร่วมใหม่