การปรับขนาดตัวแปรจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา PDE หรือไม่?

ในการจำลองเซมิคอนดักเตอร์มันเป็นเรื่องธรรมดาที่สมการจะถูกปรับอัตราส่วนเพื่อให้พวกเขามีค่าปกติ ยกตัวอย่างเช่นในกรณีที่ความหนาแน่นของอิเล็กตรอนในเซมิคอนดักเตอร์อาจแตกต่างกันไปมากกว่า 18 ลำดับความสำคัญและสนามไฟฟ้าสามารถเปลี่ยนรูปร่างได้โดยมีขนาดของคำสั่งมากกว่า 6 (หรือมากกว่า)

อย่างไรก็ตามเอกสารไม่เคยให้เหตุผลในการทำเช่นนี้จริงๆ โดยส่วนตัวฉันมีความสุขในการจัดการกับสมการในหน่วยจริงมีข้อได้เปรียบเชิงตัวเลขที่จะทำเช่นนี้เป็นไปไม่ได้หรือไม่? ฉันคิดว่าด้วยความแม่นยำสองเท่าจะมีตัวเลขเพียงพอที่จะรับมือกับความผันผวนเหล่านี้

---

คำตอบทั้งสองนั้นมีประโยชน์มากขอบคุณมาก!

การแก้ PDE (เชิงเส้น) ประกอบด้วยการลดทอนสมการเพื่อให้เกิดระบบเชิงเส้นซึ่งจะถูกแก้ไขโดยตัวแก้เชิงเส้นซึ่งการลู่เข้า (อัตรา) ขึ้นอยู่กับจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์ การปรับขนาดตัวแปรมักจะลดจำนวนเงื่อนไขนี้ซึ่งเป็นการปรับปรุงการบรรจบกัน (สิ่งนี้โดยทั่วไปจะใช้จำนวนผู้ที่มีเงื่อนไขเป็นเส้นทแยงมุมดูความแม่นยำและความเสถียรของอัลกอริธึมเชิงตัวเลขของ Nicholas Higham )

การแก้ PDE ที่ไม่ใช่เชิงเส้นนอกจากนี้ยังต้องใช้วิธีการในการแก้สมการไม่เชิงเส้นเช่นวิธีการของนิวตันที่การปรับสเกลสามารถส่งผลต่อการลู่เข้า

เนื่องจากการทำให้เป็นมาตรฐานทุกอย่างมักจะใช้ความพยายามน้อยมากจึงเป็นความคิดที่ดี

$$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$$

ที่กล่าวว่าไม่มีการปรับขนาดของตัวแปรหรือโดเมนที่ขจัดปัญหานี้

$u_{\alpha}$

$$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$$ $\alpha$$u_1$ $$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$$ $u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$$\alpha$$\alpha$

การจัดการกับจำนวนจุดลอยตัวอาจเป็นกลอุบายในการลบตัวเลขขนาดเล็กออกจากจำนวนที่มากขึ้นรวมถึงแง่มุมอื่น ๆ อีกมากมาย ฉันอยากจะแนะนำให้อ่าน John D. Cooks โพสต์บนบล็อกเช่น

กายวิภาคของจำนวนจุดลอยตัว

เช่นเดียวกับ Oracle

สิ่งที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทุกคนควรรู้เกี่ยวกับเลขคณิตจุดลอยตัว

อัลกอริธึมเชิงตัวเลขบางอย่างสำหรับการย่อขนาดหรือการขยายให้ใหญ่สุดต้องการการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับความเสถียรเชิงตัวเลข