ไม่ว่าการแจกแจงที่มีช่วงเวลาเดียวกันจะเหมือนกันหรือไม่

การติดตามมีความคล้ายคลึง แต่แตกต่างจากโพสต์ก่อนหน้าที่นี่และที่นี่

เมื่อมีการแจกแจงสองแบบซึ่งยอมรับช่วงเวลาของคำสั่งทั้งหมดถ้าทุกช่วงเวลาของการแจกแจงสองครั้งเหมือนกัน
มีการแจกแจงสองแบบซึ่งยอมรับฟังก์ชั่นการสร้างโมเมนต์ถ้ามีช่วงเวลาเดียวกันการสร้างโมเมนต์ของพวกมันจะเหมือนกันหรือไม่?

ตามคำถาม # 2 ฉันเชื่อว่าโดยทั่วไปหากทั้งสองฟังก์ชั่นมี MGF เดียวกัน (หากมีอยู่ในพื้นที่ใกล้เคียงที่เปิด 0) พวกเขาจะติดตามการกระจายตัวเดียวกัน น่าเสียดายที่ฉันไม่ทราบหลักฐานเนื่องจากมันค่อนข้างซับซ้อน หวังว่าจะช่วยได้เพียงเล็กน้อย

— nicefella

@nicefella การพิสูจน์นั้นค่อนข้างง่าย: การประเมิน MGF ที่ค่าจินตภาพจะทำให้ฟังก์ชั่นลักษณะที่สามารถกลับด้านเพื่อสร้างการแจกแจง ผลงานการผกผันหาก MGF วิเคราะห์ในย่านของแหล่งกำเนิด

— whuber

ให้ฉันตอบตามลำดับย้อนกลับ:

2. ใช่ หาก MGF ของพวกเขาดำรงอยู่พวกเขาจะเหมือนกัน *

ดูที่นี่และที่นี่เช่น

แน่นอนว่ามันตามมาจากผลลัพธ์ที่คุณให้ในโพสต์นี้มาจาก; ถ้า MGF ไม่ซ้ำกัน ** กำหนดการกระจายและการแจกแจงสองรายการมี MGF และพวกเขามีการกระจายแบบเดียวกันพวกเขาจะต้องมี MGF เดียวกัน

* สำหรับค่าบางค่าที่ 'เหมือนกัน' เนื่องจากวลีนั้นเกือบทุกที่

** ' เกือบทุกที่ '

ไม่ - เนื่องจากมีตัวอย่างที่มีอยู่

เคนดอลและสจวร์ตระบุครอบครัวกระจายอย่างต่อเนื่อง (อาจเป็นเพราะ Stieltjes หรือบางคนในยุคโบราณนั้น แต่ความทรงจำของฉันไม่ชัดเจนมันเป็นไม่กี่ทศวรรษมาแล้ว) ที่มีช่วงเวลาที่เหมือนกันและแตกต่างกัน

หนังสือโดย Romano and Siegel (Counterexamples in Probability and Statistics) แสดงรายการ counterexamples ในหัวข้อ 3.14 และ 3.15 (หน้า 48-49) (ที่จริงแล้วเมื่อมองดูพวกเขาฉันคิดว่าทั้งคู่อยู่ในเคนดอลและสจวร์ต)

Romano, JP และ Siegel, AF (1986),
Counterexamples ในความน่าจะเป็นและสถิติ
โบกาเรตัน: แชปแมนและฮอล / ซีอาร์ซี

3.15 สำหรับเครดิต Feller, 1971, p227

ตัวอย่างที่สองนั้นเกี่ยวข้องกับครอบครัวของความหนาแน่น

ฉ (x; α) = \frac{1}{24} ประสบการณ์ (- x^{1 / 4}) [1 - α บาป (x^{1 / 4})], x > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

ความหนาแน่นต่างกันเมื่อเปลี่ยนไป แต่ลำดับช่วงเวลาเหมือนกัน $\alpha$

ว่าช่วงเวลาที่เหมือนกันนั้นเกี่ยวข้องกับการแยกเข้าไปในส่วนต่างๆ $f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

แล้วแสดงให้เห็นว่าส่วนที่สองมีส่วนช่วย 0 แต่ละช่วงเวลาดังนั้นพวกเขาจึงเหมือนกับช่วงเวลาของส่วนแรก

นี่คือลักษณะของความหนาแน่นสองแบบ สีฟ้าเป็นกรณีที่ขีด จำกัด ทางด้านซ้าย (คน ), สีเขียวเป็นกรณีที่มี\กราฟด้านขวาเหมือนกัน แต่มีการบันทึกล็อกบนแกน $\alpha=0$ $\alpha=0.5$

ตัวอย่างของช่วงเวลาเดียวกันความหนาแน่นที่แตกต่างกัน

บางทีอาจจะดีกว่าถ้าใช้ช่วงที่ใหญ่กว่ามากและใช้สเกลรากที่สี่บนแกน x ทำให้เส้นโค้งสีน้ำเงินตรงและสีเขียวเคลื่อนที่เหมือนเส้นโค้งบาปด้านบนและด้านล่างมันเป็นดังนี้:

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

Wiggles ด้านบนและด้านล่างของเส้นโค้งสีน้ำเงิน - ไม่ว่าจะมีขนาดใหญ่กว่าหรือเล็กลง - กลับกลายเป็นว่าจะทำให้จำนวนเต็มบวกทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง

ทราบว่านี้ยังหมายความว่าเราจะได้รับการจัดจำหน่ายทั้งหมดของที่มีช่วงเวลาที่แปลกเป็นศูนย์ แต่ที่ไม่สมมาตรโดยเลือกกับที่แตกต่างกันและการผสม 50-50 ของและ-X_2ผลลัพธ์ต้องมีช่วงเวลาแปลก ๆ ทั้งหมด แต่ทั้งสองครึ่งไม่เหมือนกัน $X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ในการตอบคำถามที่สองของฉัน "สำหรับค่าบางอย่างของ 'เดียวกัน'" หมายความว่าอย่างไร คุณช่วยยกตัวอย่างให้กับคำถามแรกของฉันได้ไหม

— ทิม

เป็นเพียงการอ้างอิงถึงคุณสมบัติที่จำเป็นที่เกิดจาก 'เกือบทุกที่' ที่อยู่ในคำถามก่อนหน้า ดังนั้นตัวอย่างที่เป็นคู่กันสามารถดูฟังก์ชั่นความหนาแน่นที่เหมือนกันเกือบทุกที่ แต่แตกต่างกันในเซตย่อยที่นับได้ของจุด - ฉันได้ยกตัวอย่างให้กับคุณแล้วก่อนหน้านี้

— Glen_b -Reinstate Monica

สำหรับคำถามแรกของฉัน (ตามคำตอบของคุณใช่สำหรับคำถามที่สองของฉันและคำถามของฉันในโพสต์ก่อนหน้าของฉัน), counterexamples ทั้งหมดเป็นของกรณีที่ไม่กระจายทั้งสองยอมรับฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลา?

— ทิม

ว่ามันจะต้องเป็นเช่นนั้นเป็นผลมาจากคำสั่ง "ถ้า mgf มี จำกัด ในช่วงเวลาเปิดที่มีศูนย์แล้วการกระจายที่เกี่ยวข้องนั้นมีลักษณะโดยช่วงเวลาของมัน" ในคำตอบของพระคาร์ดินัลฉันเชื่อว่าฉันเชื่อมโยงกับ หาก mgf ไม่แน่นอนในแง่นั้นนั่นเป็นวิธีเดียวที่การกระจายจะไม่ถูกกำหนดโดยช่วงเวลาของมัน

— Glen_b -Reinstate Monica

คำถามแรกที่ได้รับการตอบที่stats.stackexchange.com/questions/25010/...และในคำถามล่าสุด OP ที่stats.stackexchange.com/questions/84158/... ตัวอย่างของ Feller มีสาเหตุมาจาก Stieltjes (ทางก่อนเวลาของ Feller) ใน Stuart & Ord

— whuber