#

ให้จะมีบางปัญหาการนับซึ่งเป็นที่รู้จักกัน# Pสมบูรณ์$\Pi$$P$

มันหมายความว่าเป็นA P X -hard (เช่นไม่มีPTASสำหรับปัญหาอยู่เว้นแต่P = N P )?$\Pi$$APX$$P=NP$

เลขที่นับอิสระชุดในกราฟจะ#P -hard แม้สำหรับ 4 ปกติกราฟ แต่ Dror Weitz ให้ PTAS สำหรับการนับอิสระชุดของกราฟ -regular สำหรับการใด ๆd ≤ 5 [3] (ในรูปแบบที่เขาเขียนเกี่ยวกับการนับชุดอิสระสอดคล้องกับการλ = 1 )$d$$d\leq5$$\lambda=1$

การคำนวณแบบถาวรของเมทริกซ์ 0-1 ยังเป็น#P -hard (นี่คือกระดาษ#Pดั้งเดิมของ Valiant [2]) แต่การผ่อนคลายความต้องการของคุณเล็กน้อยมี FPRAS เนื่องจาก Jerrum และ Sinclair [1] สิ่งนี้สอดคล้องกับการนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองฝ่าย

อ้างอิง

[1] Mark Jerrum และ Alistair Sinclair "ใกล้เคียงถาวร" วารสารคอมพิวเตอร์สยาม 18 (6): 1149–1178, 1989 ( PDF )

[2] Leslie Valiant "ความซับซ้อนของการคำนวณแบบถาวร" ทฤษฎีคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี , 8: 189–201, 1979 ( PDF )

[3] Dror Weitz, "การนับความเป็นอิสระจะทำให้เกิดเกณฑ์ต้นไม้" STOC 2006. (เวอร์ชั่นเต็มไม่ได้เผยแพร่: PDF )

เพิ่มอีกตัวอย่างที่ฉันเจอด้วยผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น:

$\#P$