คำถามติดแท็ก incompleteness

ฉันมักจะคิดราง ๆ ว่าคำตอบของคำถามข้างต้นนั้นยืนยันตามบรรทัดต่อไปนี้ ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödelและ undecidability ของปัญหาการหยุดชะงักทั้งสองเป็นผลเชิงลบเกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจและสร้างขึ้นโดยการโต้แย้งในแนวทแยง (และในปี 1930) ดังนั้นพวกเขาจะต้องมีสองวิธีในการดูเรื่องเดียวกัน และฉันคิดว่าทัวริงใช้เครื่องทัวริงสากลเพื่อแสดงว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถแก้ไขได้ (ดูคณิตศาสตร์นี้คำถามSE .) แต่ตอนนี้ที่ (สอนหลักสูตรในการคำนวณ) ฉันมองเข้าไปในเรื่องเหล่านี้ฉันค่อนข้างสับสนกับสิ่งที่ฉันพบ ดังนั้นฉันต้องการความช่วยเหลือในการยืดความคิดของฉันออกไป ฉันรู้ว่าในอีกด้านหนึ่งการโต้แย้งในแนวทแยงของGödelนั้นลึกซึ้งมาก: มันต้องใช้งานจำนวนมากเพื่อสร้างคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่สามารถตีความได้ว่าพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับความสามารถในการเป็นของตัวเอง ในทางกลับกันการพิสูจน์ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักที่ฉันพบที่นี่นั้นง่ายมากและไม่ได้กล่าวถึงเครื่องจักรทัวริงอย่างชัดเจนแม้แต่การมีอยู่ของเครื่องจักรทัวริงสากล คำถามเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงสากลคือไม่ว่าจะมีความสำคัญใด ๆ ที่ตัวอักษรของเครื่องจักรทัวริงสากลเป็นเช่นเดียวกับเครื่องจักรทัวริงที่เลียนแบบ ฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อสร้างการโต้แย้งในแนวทแยงที่เหมาะสม (มีเครื่องจำลองตัวเอง) แต่ฉันไม่พบความสนใจใด ๆ กับคำถามนี้ในคอลเลกชันที่ทำให้สับสนของคำอธิบายของเครื่องจักรสากลที่ฉันพบในอินเทอร์เน็ต หากไม่ใช่สำหรับปัญหาการหยุดชะงักทัวริงของเครื่องจักรสากลมีประโยชน์ในการโต้แย้งแนวทแยงหรือไม่? ในที่สุดฉันก็สับสนโดยส่วนต่อไปนี้ของบทความ WP เดียวกันซึ่งบอกว่ารูปแบบที่อ่อนแอของความไม่สมบูรณ์ของGödelดังต่อไปนี้จากปัญหาการหยุดชะงัก: "axiomatisation axiomatisation ที่สมบูรณ์สอดคล้องและเสียงของคำสั่งทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติเป็นสิ่งที่ไม่สามารถทำได้" ที่ "เสียง" ควรจะอ่อนตัวลง ฉันรู้ว่าทฤษฎีนั้นมีความสอดคล้องกันหากเราไม่สามารถได้มาซึ่งความขัดแย้งและทฤษฎีที่สมบูรณ์เกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติดูเหมือนจะหมายความว่าข้อความจริงทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติสามารถได้มาในนั้น ฉันรู้ว่าGödelกล่าวว่าทฤษฎีดังกล่าวไม่มีอยู่จริง แต่ฉันล้มเหลวที่จะเห็นว่าสัตว์ในสมมุติฐานนั้นอาจจะฟังดูไม่เป็นเช่นกล่าวได้รับมาซึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ: การปฏิเสธของคำสั่งดังกล่าวจะเป็นจริง และโดยสมบูรณ์แล้วก็สืบเนื่องซึ่งจะขัดแย้งกับความมั่นคง ฉันขอขอบคุณการชี้แจงใด ๆ ในประเด็นเหล่านี้

75 computability  logic  halting-problem  incompleteness 

ฉันเพิ่งคิดเกี่ยวกับความถูกต้องของการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง ฉันได้อ่านสองสามวันที่ผ่านมาเกี่ยวกับตรรกะเชิงปรีชาและทฤษฎีบทของ Godel เพื่อดูว่าพวกเขาจะให้คำตอบสำหรับคำถามของฉันหรือไม่ ตอนนี้ฉันยังคงมีคำถามที่คงค้างอยู่ (อาจเกี่ยวข้องกับเนื้อหาใหม่ที่ฉันอ่าน) และหวังว่าจะได้รับคำตอบ ( คำเตือน : คุณกำลังจะอ่านเนื้อหาที่มีรากฐานที่สับสนมากในเชิงตรรกะนำทุกอย่างด้วยเม็ดเกลือคาดว่าจะเป็นคำถามและไม่ใช่คำตอบมีความเข้าใจผิดอยู่มากมาย) ฉันคิดว่าคำถามหลักของฉันคือเมื่อเราแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่ A นำไปสู่ความขัดแย้งบางอย่างดังนั้นไม่ใช่ A ต้องเป็นเท็จแล้วเราไปและสรุปว่า A ต้องเป็นจริง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าฉันยอมรับกฎของการแยกคนตรงกลางเป็นสิ่งที่ทำให้รู้สึก) แต่สิ่งที่รบกวนจิตใจฉันก็คือการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งที่เกิดขึ้นจริง ก่อนอื่นเราเริ่มด้วยไม่ใช่ A จากนั้นเราก็ใช้หลักการและกฎของการอนุมาน (พูดโดยใช้กลไก) และดูว่ามันจะพาเราไปที่ไหน มันมักจะมาถึงความขัดแย้ง (บอกว่าเป็นความจริงหรือและเป็นจริง) เราสรุปได้ว่าไม่ใช่ A ต้องเป็นเท็จดังนั้น A จึงเป็นจริง ไม่เป็นไร. แต่คำถามของฉันคือระบบค้ำประกันแบบเป็นทางการมีอะไรบ้างไว¬ φ¬φ\neg \varphiφϕ\phiถ้าฉันใช้กระบวนการเดียวกัน แต่เริ่มต้นด้วย A ที่ฉันจะไม่ได้รับความขัดแย้งที่นั่น ? ฉันคิดว่ามีข้อสันนิษฐานบางอย่างซ่อนเร้นอยู่ในการพิสูจน์โดยความขัดแย้งว่าถ้ากระบวนการเดียวกันใน A เดียวกันก็ไม่ถึงข้อขัดแย้งเรารับประกันแบบไหนที่จะไม่เกิดขึ้น? มีหลักฐานที่เป็นไปไม่ได้หรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าฉันมี Turning Machine (TM) (หรือ super …

19 logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

ฉันกำลังอ่านคำถามความสอดคล้องและความสมบูรณ์หมายถึงความสมบูรณ์หรือไม่ และคำสั่งแรกในนั้นบอกว่า: ฉันเข้าใจว่าความสมบูรณ์นั้นหมายถึงความมั่นคง ซึ่งฉันค่อนข้างงงเกี่ยวกับเพราะฉันคิดว่าความแข็งแรงเป็นคำสั่งที่อ่อนแอกว่าความสอดคล้อง (เช่นฉันคิดว่าระบบที่สอดคล้องต้องเป็นเสียง แต่ฉันเดาว่ามันไม่เป็นความจริง) ฉันใช้นิยามที่ไม่เป็นทางการ Scott Aaronson ใช้ในหลักสูตร 6.045 / 18.400 ที่ MITเพื่อความมั่นคงและความมั่นคง: Soundness = ระบบพิสูจน์เป็นเสียงถ้าคำสั่งทั้งหมดที่พิสูจน์นั้นเป็นจริง เช่น IF ( ϕϕ\phiสามารถพิสูจน์ได้)⟹⟹\implies( ϕϕ\phiเป็นจริง) ดังนั้นหาก (มีเส้นทางไปยังสูตร) ​​แล้ว (สูตรนั้นเป็นจริง) ความสอดคล้อง = ระบบที่สอดคล้องไม่เคยพิสูจน์ A และไม่ (A) มีเพียง A หรือการปฏิเสธเท่านั้นที่สามารถเป็นจริงได้ การใช้คำจำกัดความเหล่านั้น (อาจไม่เป็นทางการ) ในใจฉันได้สร้างตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีระบบที่มีเสียง แต่ไม่สอดคล้องกัน: CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}}CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}} CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} …

12 terminology  logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness