การลดพื้นที่บันทึกจากวงจร Parity-L ถึง CNOT?


14

คำถาม.

ในกระดาษของพวกเขาการปรับปรุงการจำลองวงจรโคลงของ Aaronson และ Gottesman อ้างว่าการจำลองวงจรCNOTคือ⊕L-สมบูรณ์ (ภายใต้การลดพื้นที่บันทึก) เป็นที่ชัดเจนว่ามีอยู่ใน⊕L ; ความแข็งจะเกิดขึ้นได้อย่างไร?

อย่างเท่าเทียมกัน:มีการลด logspace จากเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ซ้ำโมดูโล 2 ไปเป็นผลิตภัณฑ์ซ้ำของเมทริกซ์ปฐมภูมิ (เมทริกซ์กลับด้านที่รับรู้การแปลงแถว) mod 2?

รายละเอียด

การดำเนินการControlled NOT (หรือCNOT ) เป็นการดำเนินการบูลีนแบบย้อนกลับได้ของฟอร์ม ที่มีเพียงเจ TH บิตจะเปลี่ยนแปลงและบิตที่มีการเปลี่ยนแปลงโดยการเพิ่ม x Hโมดูโล 2 สำหรับการใด ๆ ในตำแหน่งที่แตกต่างกันเอชและเจ มันไม่ยากที่จะเห็นถ้าเราตีความ x = ( x 1)

CNOTh,j(x1,,xh,,xj,,xn)=(x1,,xh,,xjxh,,xn)
xhเป็นเวกเตอร์บนℤ / 2ℤ, ซึ่งสอดคล้องกับการแปลงแถวแบบโมดูโล 2 เบื้องต้นซึ่งเราอาจแทนด้วยเมทริกซ์ที่มี 1s บนเส้นทแยงมุมและตำแหน่งแนวทแยงมุมเดี่ยว CNOT วงจรแล้วผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยสินค้าของเมทริกซ์ประถมบางส่วนของประเภทนี้x=(x1,,xn)

กระดาษโดย Aaronson และ Gottesman ดังกล่าวข้างต้น (ซึ่งบังเอิญมากกับคำถามนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับคลาสของวงจรควอนตัมซึ่งสามารถจำลองใน ⊕L ) มีส่วนในความซับซ้อนของการคำนวณ ในช่วงต้นของส่วนนี้พวกเขาอธิบาย⊕Lดังนี้

[ L [คือ] คลาสของปัญหาทั้งหมดที่แก้ไขได้โดยเครื่องทัวริงลอการิทึมที่ว่างซึ่งไม่ยอมรับซึ่งยอมรับถ้าหากจำนวนเส้นทางการรับทั้งหมดเป็นคี่เท่านั้น แต่มีทางเลือกอื่นที่น่าจะง่ายกว่าสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคอมพิวเตอร์ นี่คือ⊕Lเป็นคลาสของปัญหาที่ลดการจำลองวงจร CNOT ขนาดพหุนามคือกล่าวคือ  วงจรประกอบด้วยประตู NOT และ CNOT ทั้งหมดซึ่งทำหน้าที่ในสถานะเริ่มต้น | 0 ... 0⟩ (เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าทั้งสองมีความเท่าเทียมกัน แต่สิ่งนี้จะทำให้เราต้องอธิบายสิ่งที่ความหมายปกติหมายถึง!)

ผู้ชมเป้าหมายของบทความรวมถึงนักวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์จำนวนมากดังนั้นความปรารถนาที่จะพ้นจากนั้นก็ไม่สมเหตุสมผล ฉันหวังว่าบางคนสามารถอธิบายได้ว่าการเทียบเท่านี้มีอะไรบ้าง

เห็นได้ชัดว่าเลียนแบบสินค้าของการฝึกอบรมดังกล่าวสามารถดำเนินการใน⊕Lเป็นกรณีพิเศษของการประเมินค่าสัมประสิทธิ์ของผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ซ้ำ (สมัยที่ 2) ซึ่งเป็นปัญหาฉบับสมบูรณ์ (ภายใต้การลด logspace) สำหรับ⊕L นอกจากนี้เนื่องจากเมทริกซ์ CNOT เพิ่งดำเนินการแถวประถมศึกษาเมทริกซ์กลับด้านสามารถถูกจำแนกเป็นผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ CNOT อย่างไรก็ตาม: ยังไม่ชัดเจนว่าจะแยกย่อยแม้เมทริกซ์ invertible mod 2 ลงในผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ CNOT โดยการลด logspaceได้อย่างไร (ตามที่ระบุไว้โดย Emil Jeřábekในความคิดเห็นการกำจัดแบบเกาส์พอเพียงในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ mod 2 ซึ่งเป็นปัญหาที่ไม่สมบูรณ์⊕L : ดังนั้นการโจมตีโดยตรงโดยการย่อยสลายเช่น เมทริกซ์กลับด้านเนื่องจากผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ระดับประถมไม่น่าจะเป็นไปได้ใน logspace เว้นแต่L  =  ⊕L .) ไม่ต้องพูดถึงผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลดความฉลาดบางอย่างลง

ฉันหวังว่าใครบางคนสามารถให้ร่างของการลดลงนี้หรือการอ้างอิง ( เช่น  ข้อความที่เป็นการออกกำลังกายถ้ามันง่าย)


2
ฉันคิดว่าการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ mod นั้นเป็น⊕L-สมบูรณ์ด้วยดังนั้นการกำจัดแบบเกาส์2จึงเป็น⊕L-hard 22
Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

1
@ EmilJeřábek: ฉันคิดเกี่ยวกับคำพูดของคุณและฉันพยายามที่จะดูว่านี้หมายถึงการได้ทันทีว่าการจำลองวงจร CNOT คือไม่สมบูรณ์สำหรับ⊕Lเว้นแต่L = ⊕L (ลองพิจารณาผลคูณของเมทริกซ์เดียวหรือผลคูณของเมทริกซ์เดียวกับเมทริกซ์เอกลักษณ์) นี่ดูเหมือนจะง่ายเกินไป ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า? ฉันคิดว่ามันอาจเป็นเพียงการออกกฎลดลงหลายต่อหนึ่ง
Niel de Beaudrap

1
ฉันไม่คิดว่ามันง่ายขนาดนั้น ⊕Lเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจในขณะที่การคูณเมทริกซ์ผ่าน F_2 เป็นปัญหาการทำงาน เมทริกซ์การคูณเมทริกซ์เวอร์ชั่น⊕Lคือการขอผลการค้นหาโดยเฉพาะ (กล่าวคือรายการมุมบนซ้ายของเมทริกซ์) จะมีอัลกอริทึม logspace ที่ใช้ลำดับของเมทริกซ์และสร้างลำดับของเมทริกซ์เบื้องต้นเพื่อให้ผลิตภัณฑ์ของทั้งสองลำดับมีองค์ประกอบบนซ้ายเหมือนกันหรือไม่ นี่เป็นสิ่งที่อ่อนแอกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียนอย่างแท้จริง ที่จริงแล้วการเรียกร้องของ Aaronson และ Gottesman ฟังดูเป็นไปได้สำหรับฉันถึงแม้ว่าฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไร
Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

1
@ EmilJeřábek: ฉันกำลังคิดว่าปัญหาการตัดสินใจส่วนใหญ่ของ⊕Lนั้นมีพื้นฐานมาจากการตรวจสอบค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละปัญหาซึ่งเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับDET (เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงปัญหาของฟังก์ชั่นว่าเป็น⊕L-สมบูรณ์ คำศัพท์นั่นคือ); และว่าสัญชาตญาณของฉันสำหรับผลิตภัณฑ์เมทริกซ์คือว่ามันซับซ้อนเพียงพอที่มันยากที่จะจัดการโฆษณาสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ใด ๆเดียวว่าผลิตภัณฑ์เมทริกซ์สองตัวควรจะเท่ากันสำหรับสัมประสิทธิ์นั้นในลักษณะที่คุณไม่แน่ใจ ว่าสัมประสิทธิ์อื่นทั้งหมดจะเห็นด้วยเช่นกัน
Niel de Beaudrap

2
ฉันได้รับมัน: การนับการยอมรับเส้นทางของจำนวนเครื่อง logspace ถึงการนับเส้นทางในกราฟacyclicซึ่งสามารถแสดงได้โดยการคูณเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนด้วย 1 ในแนวทแยง หลังสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายเป็นผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ระดับประถมศึกษาในวิธีที่ชัดเจนโดยไม่ต้องกำจัดแบบเกาส์เซียน
Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

คำตอบ:


9

ขอให้เราเริ่มต้นด้วยปัญหาที่สมบูรณ์ของการนับ mod 2จำนวนเส้นทางของความยาวnL2nจากจุดสุดยอดการจุดสุดยอดเสื้อในกำกับกราฟG = ( V , E ) เราใช้การลดพื้นที่ทำงานสองสามประการดังนี้stG=(V,E)

ให้เป็นกราฟที่V = V × { 0 , , n }และE = { ( ( u , i ) , ( v , i + 1 ) : i < n , ( u , v ) E } { (G=(V,E)V=V×{0,,n} (เช่นเราใช้เวลา n + 1สำเนาของ G ‘จุด s ขอบให้ไปจากฉันสำเนา TH ไป ( ฉัน+ 1 ) TH คัดลอกตาม Gขอบ 's และ เพิ่มการวนซ้ำทั้งหมด) จากนั้นปัญหาดั้งเดิมจะเท่ากับการนับเส้นทางที่มีความยาว nจาก s = ( s , 0 )ถึง t = ( t , n )E={((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)E}{(w,w):wV}n+1Gi(i+1)Gns=(s,0)t=(t,n)ใน 'G

ยิ่งไปกว่านั้นคือ acyclic และเราสามารถนิยามการแจงนับV = { w k : k m }อย่างชัดเจนว่าขอบทั้งหมดในG นอกเหนือจากลูปของตัวเองไปจากw kถึงw lสำหรับบางk < l . โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปw 0 = s GV={wk:km}Gwkwlk<lw0=sและ ' ปล่อยให้Mเป็นเมทริกซ์ adjacency ของG wm=tMGwrt การแจงนับที่กำหนด แล้วเป็นบนเมทริกซ์สามเหลี่ยมจำนวนเต็มกับ1ในแนวทแยงและจำนวนของเส้นทางของความยาวnจากs 'ไปT 'เท่ากับองค์ประกอบด้านบนขวาของM nM1nstMn

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า ที่E ฉัน, J (กรณีการคำนวณเป็นโมดูโล2คือเราจะพิจารณา เมทริกซ์มากกว่าF 2 (ในกรณีนี้เมทริกซ์ระดับประถมสามารถเป็นได้เฉพาะE i , j ( 0 ) = I

M=j=m1i=0j1Ei,j(Mi,j),
เป็นเมทริกซ์ประถมศึกษาที่มีเพียงรายการเดียว nondiagonal เป็นใน แถวฉันและคอลัมน์J ด้วยวิธีนี้เราลดปัญหาดั้งเดิมเพื่อคำนวณองค์ประกอบบนขวาของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ระดับประถม ในLEi,j(a)aijL2F2Ei,j(0)=Iซึ่งเราสามารถเพิกเฉยได้และซึ่งสามารถจำลองโดยประตู CNOT เดียวตามที่กล่าวไว้ในคำถาม) หากเราถือว่าพวกมันเป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มเราจะได้# LEi,j(1)#Lปัญหาที่สมบูรณ์และถ้าเราพิจารณาให้โมดูโลเราได้รับM o d k Lปัญหาที่สมบูรณ์kModkL

1
ฉันหมายความว่ามันคือสมบูรณ์สำหรับเมทริกซ์ระดับประถมศึกษาที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มไม่เป็นลบ ด้วยจำนวนเต็มตามอำเภอใจมันคือ DET-complete #L
Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ต่อไปนี้อาจเป็นมาตรฐาน แต่ฉันไม่เคยเห็นมาก่อนอย่างชัดเจน: เพื่อแสดงให้เห็นว่าการค้นหาจำนวนเส้นทางที่มีความยาวอย่างแม่นยำnใน digraph (อาจเป็นไปได้) จะเป็น⊕L - สมบูรณ์โปรดทราบว่าจำนวนนี้จะคำนวณสัมประสิทธิ์ของบาง พลังของเมทริกซ์โดยพลการเหนือซึ่งคือ⊕L - สมบูรณ์ คำตอบนี้ก็คือการลดเมทริกซ์จากการให้พลังงาน (ใช้โครงสร้างมาตรฐาน M เป็นเมทริกซ์บล็อกซึ่งประกอบด้วยสำเนาของเมทริกซ์ adjacency โดยพลการของ G ในบล็อกนอกเส้นทแยงมุมส่วนบนและ 1 ในแนวทแยง) ถึงวงจร CNOT . คำตอบที่ดี! F2
Niel de Beaudrap

คุณไม่จำเป็นต้องผ่านการเสริมกำลังด้วยเมทริกซ์ซึ่ง⊕L-ครบถ้วนสมบูรณ์นั้นยากที่จะพิสูจน์ ⊕Lถูกกำหนดโดยการนับ mod 2 พา ธ การยอมรับของ logspace nondeterministic ทัวริงเครื่อง (ด้วยนาฬิกาเวลาพหุนามผมสันนิษฐานว่าตัวเลขจะมีขอบเขต จำกัด ) ซึ่งเหมือนกับเส้นทางการนับในกราฟการตั้งค่าของ เครื่อง (มันง่ายที่จะจัดการว่าเส้นทางทั้งหมดจบลงในการกำหนดค่าเดียวกันและเส้นทางนั้นมีความยาวเท่ากันโดยทำให้เครื่องเข้าสู่ลูปจนกว่านาฬิกาจะหมดอายุจากนั้นจึงเข้าสู่สถานะการยอมรับคงที่)
Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิกา

ฉันคิดว่าจากการมุ่งเน้นความคิดในโครงสร้างกระดาษและความสำคัญของคลาส Logspace-MODโดย Buntrock และคณะ ฉันคุ้นเคยกับการคิดในแง่ของจำนวนเส้นทางที่มีความยาวตามอำเภอใจในการขุดกราฟแบบวนรอบและปัญหาที่คล้ายกันของDETเช่นผลิตภัณฑ์เมทริกซ์และพลังที่เชื่อมโยงกับธรรมชาติ
Niel de Beaudrap
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.