การลดพื้นที่บันทึกจากวงจร Parity-L ถึง CNOT?

คำถาม.

ในกระดาษของพวกเขาการปรับปรุงการจำลองวงจรโคลงของ Aaronson และ Gottesman อ้างว่าการจำลองวงจรCNOTคือ⊕L-สมบูรณ์ (ภายใต้การลดพื้นที่บันทึก) เป็นที่ชัดเจนว่ามีอยู่ใน⊕L ; ความแข็งจะเกิดขึ้นได้อย่างไร?

อย่างเท่าเทียมกัน:มีการลด logspace จากเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ซ้ำโมดูโล 2 ไปเป็นผลิตภัณฑ์ซ้ำของเมทริกซ์ปฐมภูมิ (เมทริกซ์กลับด้านที่รับรู้การแปลงแถว) mod 2?

รายละเอียด

การดำเนินการControlled NOT (หรือCNOT ) เป็นการดำเนินการบูลีนแบบย้อนกลับได้ของฟอร์ม ที่มีเพียงเจ^THบิตจะเปลี่ยนแปลงและบิตที่มีการเปลี่ยนแปลงโดยการเพิ่มโมดูโล 2 สำหรับการใด ๆ ในตำแหน่งที่แตกต่างกันเอชและเจ มันไม่ยากที่จะเห็นถ้าเราตีความ

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

เป็นเวกเตอร์บนℤ / 2ℤ, ซึ่งสอดคล้องกับการแปลงแถวแบบโมดูโล 2 เบื้องต้นซึ่งเราอาจแทนด้วยเมทริกซ์ที่มี 1s บนเส้นทแยงมุมและตำแหน่งแนวทแยงมุมเดี่ยว CNOT วงจรแล้วผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยสินค้าของเมทริกซ์ประถมบางส่วนของประเภทนี้

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

กระดาษโดย Aaronson และ Gottesman ดังกล่าวข้างต้น (ซึ่งบังเอิญมากกับคำถามนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับคลาสของวงจรควอนตัมซึ่งสามารถจำลองใน ⊕L ) มีส่วนในความซับซ้อนของการคำนวณ ในช่วงต้นของส่วนนี้พวกเขาอธิบาย⊕Lดังนี้

[ L [คือ] คลาสของปัญหาทั้งหมดที่แก้ไขได้โดยเครื่องทัวริงลอการิทึมที่ว่างซึ่งไม่ยอมรับซึ่งยอมรับถ้าหากจำนวนเส้นทางการรับทั้งหมดเป็นคี่เท่านั้น แต่มีทางเลือกอื่นที่น่าจะง่ายกว่าสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคอมพิวเตอร์ นี่คือ⊕Lเป็นคลาสของปัญหาที่ลดการจำลองวงจร CNOT ขนาดพหุนามคือกล่าวคือ วงจรประกอบด้วยประตู NOT และ CNOT ทั้งหมดซึ่งทำหน้าที่ในสถานะเริ่มต้น | 0 ... 0⟩ (เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าทั้งสองมีความเท่าเทียมกัน แต่สิ่งนี้จะทำให้เราต้องอธิบายสิ่งที่ความหมายปกติหมายถึง!)

ผู้ชมเป้าหมายของบทความรวมถึงนักวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์จำนวนมากดังนั้นความปรารถนาที่จะพ้นจากนั้นก็ไม่สมเหตุสมผล ฉันหวังว่าบางคนสามารถอธิบายได้ว่าการเทียบเท่านี้มีอะไรบ้าง

เห็นได้ชัดว่าเลียนแบบสินค้าของการฝึกอบรมดังกล่าวสามารถดำเนินการใน⊕Lเป็นกรณีพิเศษของการประเมินค่าสัมประสิทธิ์ของผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ซ้ำ (สมัยที่ 2) ซึ่งเป็นปัญหาฉบับสมบูรณ์ (ภายใต้การลด logspace) สำหรับ⊕L นอกจากนี้เนื่องจากเมทริกซ์ CNOT เพิ่งดำเนินการแถวประถมศึกษาเมทริกซ์กลับด้านสามารถถูกจำแนกเป็นผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ CNOT อย่างไรก็ตาม: ยังไม่ชัดเจนว่าจะแยกย่อยแม้เมทริกซ์ invertible mod 2 ลงในผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ CNOT โดยการลด logspaceได้อย่างไร (ตามที่ระบุไว้โดย Emil Jeřábekในความคิดเห็นการกำจัดแบบเกาส์พอเพียงในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ mod 2 ซึ่งเป็นปัญหาที่ไม่สมบูรณ์⊕L : ดังนั้นการโจมตีโดยตรงโดยการย่อยสลายเช่น เมทริกซ์กลับด้านเนื่องจากผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ระดับประถมไม่น่าจะเป็นไปได้ใน logspace เว้นแต่L = ⊕L .) ไม่ต้องพูดถึงผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลดความฉลาดบางอย่างลง

ฉันหวังว่าใครบางคนสามารถให้ร่างของการลดลงนี้หรือการอ้างอิง ( เช่น ข้อความที่เป็นการออกกำลังกายถ้ามันง่าย)

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ mod

นั้นเป็น⊕L-สมบูรณ์ด้วยดังนั้นการกำจัดแบบเกาส์

จึงเป็น⊕L-hard

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

@ EmilJeřábek: ฉันคิดเกี่ยวกับคำพูดของคุณและฉันพยายามที่จะดูว่านี้หมายถึงการได้ทันทีว่าการจำลองวงจร CNOT คือไม่สมบูรณ์สำหรับ⊕Lเว้นแต่L = ⊕L (ลองพิจารณาผลคูณของเมทริกซ์เดียวหรือผลคูณของเมทริกซ์เดียวกับเมทริกซ์เอกลักษณ์) นี่ดูเหมือนจะง่ายเกินไป ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า? ฉันคิดว่ามันอาจเป็นเพียงการออกกฎลดลงหลายต่อหนึ่ง

— Niel de Beaudrap

ฉันไม่คิดว่ามันง่ายขนาดนั้น ⊕Lเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจในขณะที่การคูณเมทริกซ์ผ่าน F_2 เป็นปัญหาการทำงาน เมทริกซ์การคูณเมทริกซ์เวอร์ชั่น⊕Lคือการขอผลการค้นหาโดยเฉพาะ (กล่าวคือรายการมุมบนซ้ายของเมทริกซ์) จะมีอัลกอริทึม logspace ที่ใช้ลำดับของเมทริกซ์และสร้างลำดับของเมทริกซ์เบื้องต้นเพื่อให้ผลิตภัณฑ์ของทั้งสองลำดับมีองค์ประกอบบนซ้ายเหมือนกันหรือไม่ นี่เป็นสิ่งที่อ่อนแอกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียนอย่างแท้จริง ที่จริงแล้วการเรียกร้องของ Aaronson และ Gottesman ฟังดูเป็นไปได้สำหรับฉันถึงแม้ว่าฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไร

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

@ EmilJeřábek: ฉันกำลังคิดว่าปัญหาการตัดสินใจส่วนใหญ่ของ⊕Lนั้นมีพื้นฐานมาจากการตรวจสอบค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละปัญหาซึ่งเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับDET (เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงปัญหาของฟังก์ชั่นว่าเป็น⊕L-สมบูรณ์ คำศัพท์นั่นคือ); และว่าสัญชาตญาณของฉันสำหรับผลิตภัณฑ์เมทริกซ์คือว่ามันซับซ้อนเพียงพอที่มันยากที่จะจัดการโฆษณาสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ใด ๆเดียวว่าผลิตภัณฑ์เมทริกซ์สองตัวควรจะเท่ากันสำหรับสัมประสิทธิ์นั้นในลักษณะที่คุณไม่แน่ใจ ว่าสัมประสิทธิ์อื่นทั้งหมดจะเห็นด้วยเช่นกัน

— Niel de Beaudrap

ฉันได้รับมัน: การนับการยอมรับเส้นทางของจำนวนเครื่อง logspace ถึงการนับเส้นทางในกราฟacyclicซึ่งสามารถแสดงได้โดยการคูณเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนด้วย 1 ในแนวทแยง หลังสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายเป็นผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ระดับประถมศึกษาในวิธีที่ชัดเจนโดยไม่ต้องกำจัดแบบเกาส์เซียน

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ขอให้เราเริ่มต้นด้วยปัญหาที่สมบูรณ์ของการนับ mod จำนวนเส้นทางของความยาว $\oplus L$ $2$ $n$ จากจุดสุดยอดการจุดสุดยอดในกำกับกราฟ )เราใช้การลดพื้นที่ทำงานสองสามประการดังนี้ $s$ $t$ $G=(V,E)$

ให้เป็นกราฟที่และ $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (เช่นเราใช้เวลาสำเนาของ ‘จุด s ขอบให้ไปจากสำเนา TH ไป TH คัดลอกตามขอบ 's และ เพิ่มการวนซ้ำทั้งหมด) จากนั้นปัญหาดั้งเดิมจะเท่ากับการนับเส้นทางที่มีความยาวจากถึง $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ ใน ' $G'$

ยิ่งไปกว่านั้นคือ acyclic และเราสามารถนิยามการแจงนับอย่างชัดเจนว่าขอบทั้งหมดในนอกเหนือจากลูปของตัวเองไปจากถึงสำหรับบาง . โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไป $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ และ 'ปล่อยให้เป็นเมทริกซ์ adjacency ของ $w_m=t'$ $M$ $G'$ wrt การแจงนับที่กำหนด แล้วเป็นบนเมทริกซ์สามเหลี่ยมจำนวนเต็มกับในแนวทแยงและจำนวนของเส้นทางของความยาวจากไปเท่ากับองค์ประกอบด้านบนขวาของ n $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า ที่กรณีการคำนวณเป็นโมดูโลคือเราจะพิจารณา เมทริกซ์มากกว่า (ในกรณีนี้เมทริกซ์ระดับประถมสามารถเป็นได้เฉพาะ

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

เป็นเมทริกซ์ประถมศึกษาที่มีเพียงรายการเดียว nondiagonal เป็นใน แถว

และคอลัมน์J

ด้วยวิธีนี้เราลดปัญหาดั้งเดิมเพื่อคำนวณองค์ประกอบบนขวาของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ระดับประถม ใน

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$ ซึ่งเราสามารถเพิกเฉยได้และ

ซึ่งสามารถจำลองโดยประตู CNOT เดียวตามที่กล่าวไว้ในคำถาม) หากเราถือว่าพวกมันเป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มเราจะได้

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$ ปัญหาที่สมบูรณ์และถ้าเราพิจารณาให้โมดูโล

เราได้รับ

ปัญหาที่สมบูรณ์

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา

ฉันหมายความว่ามันคือ

สมบูรณ์สำหรับเมทริกซ์ระดับประถมศึกษาที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มไม่เป็นลบ ด้วยจำนวนเต็มตามอำเภอใจมันคือ DET-complete

# L

$\#L$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ต่อไปนี้อาจเป็นมาตรฐาน แต่ฉันไม่เคยเห็นมาก่อนอย่างชัดเจน: เพื่อแสดงให้เห็นว่าการค้นหาจำนวนเส้นทางที่มีความยาวอย่างแม่นยำnใน digraph (อาจเป็นไปได้) จะเป็น⊕L - สมบูรณ์โปรดทราบว่าจำนวนนี้จะคำนวณสัมประสิทธิ์ของบาง พลังของเมทริกซ์โดยพลการเหนือ

ซึ่งคือ⊕L - สมบูรณ์ คำตอบนี้ก็คือการลดเมทริกซ์จากการให้พลังงาน (ใช้โครงสร้างมาตรฐาน M เป็นเมทริกซ์บล็อกซึ่งประกอบด้วยสำเนาของเมทริกซ์ adjacency โดยพลการของ G ในบล็อกนอกเส้นทแยงมุมส่วนบนและ 1 ในแนวทแยง) ถึงวงจร CNOT . คำตอบที่ดี!

F_{2}

$\mathbb F_2$

— Niel de Beaudrap

คุณไม่จำเป็นต้องผ่านการเสริมกำลังด้วยเมทริกซ์ซึ่ง⊕L-ครบถ้วนสมบูรณ์นั้นยากที่จะพิสูจน์ ⊕Lถูกกำหนดโดยการนับ mod 2 พา ธ การยอมรับของ logspace nondeterministic ทัวริงเครื่อง (ด้วยนาฬิกาเวลาพหุนามผมสันนิษฐานว่าตัวเลขจะมีขอบเขต จำกัด ) ซึ่งเหมือนกับเส้นทางการนับในกราฟการตั้งค่าของ เครื่อง (มันง่ายที่จะจัดการว่าเส้นทางทั้งหมดจบลงในการกำหนดค่าเดียวกันและเส้นทางนั้นมีความยาวเท่ากันโดยทำให้เครื่องเข้าสู่ลูปจนกว่านาฬิกาจะหมดอายุจากนั้นจึงเข้าสู่สถานะการยอมรับคงที่)

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิกา

ฉันคิดว่าจากการมุ่งเน้นความคิดในโครงสร้างกระดาษและความสำคัญของคลาส Logspace-MODโดย Buntrock และคณะ ฉันคุ้นเคยกับการคิดในแง่ของจำนวนเส้นทางที่มีความยาวตามอำเภอใจในการขุดกราฟแบบวนรอบและปัญหาที่คล้ายกันของDETเช่นผลิตภัณฑ์เมทริกซ์และพลังที่เชื่อมโยงกับธรรมชาติ

— Niel de Beaudrap