เครื่องจักรทัวริงสากลแบบ 2 สถานะที่ไม่มีข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุดคืออะไร

ฉันต้องการเข้ารหัสเครื่องทัวริงธรรมดาในกฎของเกมไพ่ ฉันต้องการทำให้เป็นเครื่องจักรทัวริงสากลเพื่อพิสูจน์ความสมบูรณ์ของทัวริง

จนถึงขณะนี้ผมได้สร้างรัฐเกมซึ่ง encodes 2 รัฐ 3 สัญลักษณ์เครื่องทัวริงอเล็กซ์สมิ อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่า (เป็นที่ยอมรับบนพื้นฐานของ Wikipedia) ว่ามีข้อโต้แย้งว่าเครื่องจักร (2, 3) นั้นเป็นสากลหรือไม่

เพื่อประโยชน์ของฉันอย่างเข้มงวดฉันต้องการหลักฐานของฉันที่จะแสดง UTM "ที่ไม่มีข้อโต้แย้ง" ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

1. โดยทั่วไปแล้วเครื่องจักร (2,3) จะถือว่าเป็นสากลไม่ใช่สากลหรือขัดแย้ง? ฉันไม่รู้ว่าสถานที่ที่มีชื่อเสียงควรมองหาคำตอบนี้ได้ที่ไหน

2. หากเครื่อง (2,3) ไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นสากลอะไรคือ N ที่เล็กที่สุดที่เครื่องจักร (2, N) นั้นไม่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสากล

แก้ไขเพื่อเพิ่ม: มันจะมีประโยชน์เมื่อต้องการทราบข้อกำหนดใด ๆ สำหรับเทปที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับเครื่องที่กล่าวถึงหากคุณรู้จักพวกเขา ดูเหมือนว่าเครื่อง (2,3) ต้องการสถานะเริ่มต้นของเทปที่ไม่ใช่แบบไม่ต่อเนื่องซึ่งจะเป็นการยากที่จะจำลองภายในกฎของเกมไพ่

มีผลการค้นหาใหม่ตั้งแต่งานที่อ้างถึงในคำตอบก่อนหน้า แบบสำรวจนี้ อธิบายถึงสถานะของศิลปะ (ดูรูปที่ 1) ขนาดของเครื่องจักรทัวริงที่เป็นที่รู้จักน้อยที่สุดขึ้นอยู่กับรายละเอียดของรุ่นและต่อไปนี้เป็นผลลัพธ์สองรายการที่เกี่ยวข้องกับการสนทนานี้:

• มีเครื่องอเนกประสงค์มาตรฐาน 2 สถานะ 18 สัญลักษณ์ (Rogozhin 1996 TCS, 168 (2): 215–240) ที่นี่เรามีความคิดปกติของสัญลักษณ์ว่างเปล่าในทิศทางเดียวหรือทั้งสองของเทปเดียว
• มีเครื่องจักรสากลที่อ่อนแอแบบ2 สถานะ (Neary, Woods 2009. FCT. Springer LNCS 5699: 262-273) ที่นี่เรามีเทปเดี่ยวที่มีอินพุต จำกัด และค่าคงที่ (ไม่ขึ้นกับอินพุต) word ซ้ำไปทางขวาอย่างไม่สิ้นสุดและอีกคำคงที่ $r$$l$ซ้ำไปทางซ้ายเรื่อย ๆ สิ่งนี้ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นในเครื่องเอนกประสงค์ที่กล่าวถึงน้อยโดย David Eppstein

ดูเหมือนว่า (2,18) มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับคุณ

โปรดทราบว่าขณะนี้เป็นที่ทราบกันว่าเครื่องจักรทัวริงสากลที่เล็กที่สุดทั้งหมดทำงานในเวลาพหุนาม นี่ก็หมายความว่าปัญหาการคาดการณ์ของพวกเขา (รับเครื่องใส่Wและเวลาผูกพันเสื้อในเอกไม่MยอมรับWภายในระยะเวลาที ?) เป็น P-สมบูรณ์ หากคุณพยายามสร้างเกม (ผู้เล่น 1 คน) สิ่งนี้อาจเป็นประโยชน์ตัวอย่างเช่นเพื่อแสดงให้เห็นว่ามันยากที่จะหาการตั้งค่าเริ่มต้น (ไพ่) ที่นำไปสู่การชนะภายในการเคลื่อนไหว สำหรับปัญหาความซับซ้อนเหล่านี้เราสนใจเฉพาะส่วนที่ จำกัด ของเทปซึ่งทำให้เครื่องจักรที่มีประโยชน์น้อยมาก (เล็กมาก) ที่มีประโยชน์น้อยมาก$M$$w$$t$$M$$w$$t$

ตัวเลขที่แสดงให้เห็นเป็นที่รู้จักกันที่เล็กที่สุดเครื่องสากลสำหรับความหลากหลายของเครื่องรุ่นทัวริง (นำมาจาก Neary, วูดส์ SOFSEM 2012) อ้างอิงที่สามารถพบได้ที่นี่

นี่ไม่ใช่คำตอบที่แท้จริงสำหรับคำถามของคุณ (ฉันไม่ค่อยรู้เรื่องการอภิปรายของเครื่องจักร (2,3)); แต่ฉันขอแนะนำกระดาษ " เครื่องทัวริงขนาดเล็กและการแข่งขันบีเวอร์ยุ่งทั่วไป " ฉันอ่านเร็ว ๆ นี้เมื่อไม่นานมานี้และมันมีกราฟที่ดีพร้อมเส้นขอบระหว่าง TM ขนาดเล็ก 4 ประเภท:

• decidable
• เปิดปัญหาที่ชอบ Collatz
• $3x + 1$การจำลอง
• สากล

(อาจมีการปรับปรุงผลลัพธ์บางรายการ)

แนวคิดของ TM ที่ใช้ในกระดาษคือนิยามมาตรฐานของ TM ที่ใช้ในเอกสารบนเครื่องทัวริงขนาดเล็กทั่วไป:

... พวกเขามีเทปหนึ่งมิติที่ไม่ซ้ำกันไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทางและหัวอ่าน - เขียนที่เป็นเอกลักษณ์ของ twoway มีสัญลักษณ์เปล่าเขียนแทนด้วย 0 ในขั้นต้นคำ จำกัด , อินพุตถูกเขียนบนเทปเซลล์อื่น ๆ มีสัญลักษณ์ว่างเปล่าหัวอ่านสัญลักษณ์ซ้ายสุดของอินพุตและสถานะเป็นสถานะเริ่มต้น ในแต่ละขั้นตอนตามสถานะปัจจุบันของเครื่องและสัญลักษณ์ที่อ่านโดยหัวสัญลักษณ์ถูกปรับเปลี่ยนหัวจะเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวา (และไม่สามารถอ่านเซลล์เดียวกันได้) และสถานะจะถูกปรับเปลี่ยน การคำนวณจะหยุดเมื่อถึงสถานะหยุดพักพิเศษ ...

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะบรรลุความเป็นสากลด้วย 7 รัฐและสัญลักษณ์ 2 แม้ว่าจะมีการคัดค้านแบบเดียวกันจำนวนมาก (เงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เหมือนกันในเทปไม่สิ้นสุดและเงื่อนไขการเลิกจ้างที่ผิดปกติ) ดูhttp://11011110.livejournal.com/104656.htmlและhttp://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

สิ่งเหล่านี้อยู่บนพื้นฐานของการจำลองหุ่นยนต์อัตโนมัติของกฎข้อ 110 ซึ่งพิสูจน์แล้วโดยแมทธิวคุกและคุกก็พบว่ามีการจำลองสัญลักษณ์ 2 สถานะ 5 ของกฎ 110 หากคุณแต่งงานกับข้อ จำกัด ที่มีเพียงสองสถานะ

$S$$0\leq s < S$$C$ สี ($0\leq c< C$) ทำงานบนเทปหนึ่งมิติ (เราจะเรียกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับเครื่องนี้ "จริง") ให้เราสร้างกัน$2$เครื่องทัวริง (รัฐ) $\text{L}$ และ $\text{R}$) ด้วย $C+4SC$สี: สีจริงและสี "ปรับปรุง" ซึ่งมีข้อมูลเกี่ยวกับสถานะ เราเพิ่มข้อ จำกัด ที่สถานะเริ่มต้นควรเหมือนกันกับสถานะเริ่มต้นของเครื่องจริงยกเว้นอาจเป็นไปได้สำหรับเซลล์ที่เราเริ่มต้น

ตลอดเวลาเฉพาะเซลล์ปัจจุบันหรือสองเซลล์ที่เกี่ยวข้องในช่วงการเปลี่ยนภาพอาจมีการปรับปรุงสี: เซลล์อื่น ๆ ทั้งหมดมีสีจริง เราต้องการให้เครื่องของเราทำงานดังต่อไปนี้: ตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงที่จะดำเนินการย้ายข้อมูล "สถานะที่แท้จริง" จากเซลล์ที่เราต้องการออกไปยังเซลล์เป้าหมาย (สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการกลับไปกลับมา) ทำความสะอาด เซลล์ที่เราทิ้งไว้ (ให้สีจริง) ทำซ้ำ

ก่อนการเปลี่ยนเซลล์ปัจจุบันมีสีที่ได้รับการปรับปรุง $(c,s)$การเข้ารหัสสีที่แท้จริงและสถานะที่แท้จริงและอื่น ๆ ทั้งหมดมีสีที่แท้จริงของพวกเขา ค้นหาสิ่งที่การเปลี่ยนแปลงที่เครื่องจริงจะทำ --- เราสามารถสรุปได้ว่ามันกำลังไปทางขวา (พลิก$\text{L}$ และ $\text{R}$ไปทางซ้ายทุกที่) เปลี่ยนสีที่ได้รับการปรับปรุงให้เป็น$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$ย้ายไปทางขวาและเปลี่ยนสถานะปัจจุบันเป็น $\text{L}$.

จากนั้นเครื่องจะเห็นสีปกติ $c$ และอยู่ในสถานะ $\text{L}$. มันเปลี่ยน$c$ ไปยัง $(c,0, \text{L},\text{receive})$และกลับไปอยู่ในสถานะเดิม $\text{R}$. เราจึงมีเซลล์

$$\cdots \quad c \quad \quad c \quad (c,s,\text{emit}) \quad (c,0,\text{L},\text{receive}) \quad c \quad c \quad \cdots$$ แน่นอนว่าสีที่แท้จริงต่าง ๆ นั้นมีความเป็นอิสระ แต่ไม่เกี่ยวข้อง เป้าหมายคือการย้าย$s$ to the target cell. We do that by decrementing the left state, and incrementing the right state, going back and forth between the two. The end is easy to detect in the left cell ($s$ has become $0$), but harder to detect in the right cell. This is what the $\text{L}$ label is for: as long as the state matches that, continue the decrement/increment loop, but if it does not, we are done, and we clean up.

Here are the transitions to implement that. In almost all cases, move in the direction specified by the current state, then flip the state

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$ where $\langle dir\rangle$ is the current state; move, flip the state.

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$ according to the true machine's transitions; ignore current state, set it to the direction in which we want to move; move, flip the state.

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$ for $s>0$; move, flip the state.

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$; move, don't change the state.

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$ if the state is $\langle dir\rangle$; move, flip the state.

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$ if the state is not $\langle dir\rangle$; don't move, do whatever you like with the state. This could be combined with 2. if you want to always move.

Combining 6 and 2 reduces the number of colors to $C+3SC$. I believe that it is possible to make the initial configuration have no enhanced color at all, but it is probably messy.

unless you carefully define "noncontroversial" in some technical way theres not a precise answer. here's another small machine based on rule 110 proved universal in a sense but my understanding is that it requires infinite periodic input tape formulations (and likewise extraction at the end when the machine halts). havent seen the "periodic vs nonperiodic" tape issue described in the literature although its been discussed on eg math mailing lists [Foundations of Mathematics mailing list]

Alex Smith's Turing-universality proof of Wolfram's-conjectured 2-state, 3-symbol Turing machine is definitely not controversial. The given universality proof (not the machine) requires an infinite pattern on the Turing tape, and the question was whether one should allow such configurations (you can think of the usually 'blank' tape as an infinite repetitive pattern of blank symbols too). The conclusion was that as long as the configuration on the machine tape is fixed (i.e. it does not change after your computation starts, and remains the same for any computation), then the universal computation is carried out by the Turing machine. Notice that this is NOT controversial for Wolfram's Elementary Cellular Automaton rule 110 that Wolfram and Cook proven universal. The universality proof of rule 110 also requires an infinite pattern on the initial configuration, one that is different on both sides, and so it is of the same nature for the 2-state, 3-symbol Turing machine. Another concern was that perhaps such a relaxation of the initial condition (blank) requirement would make some accepted non-Turing universal automata universal, such as finite-state, linear bounded or push down automata to mention some examples, but it does not and it respects the Chomsky hierarchy. So definitely it is not controversial whether the 2-state, 3-symbol Turing machine is universal, but its universality proof did require a variation of what usually is considered to be the cotents of a regular Turing machine tape. This does not imply directly, by the way, that the 2-state, 3-symbol Turing machine is not universal on a blank tape configuration, although it might be the case, but that the proof required such a configuration.