Treewidth และการบรรจุ

คำถามของฉันค่อนข้างคลุมเครือ ฉันสงสัยว่า (และวิธีการ) เราสามารถใช้ความคิดของความกังวลใจกับปัญหาการบรรจุในกราฟ

ฉันจะมีความสุขกับข้อมูลเชิงลึกหรือการอ้างอิงของงานวิจัยที่ผ่านมาเกี่ยวกับเรื่องนี้ (สมมติว่าพวกเขามีความสัมพันธ์บางอย่าง) ขอบคุณ

ฉันสามารถตีความคำถามนี้ได้สองวิธี:

1) เมื่อมันมาถึงคุณสมบัติอัลกอริทึมของการบรรจุปัญหาในกราฟของ treewidth จำกัด , Courcelle ทฤษฎีบทที่แสดงให้เห็นว่าทุกคงที่เราสามารถได้อย่างดีที่สุดในการแก้ปัญหาแสดงออกในเอกที่สองสั่งซื้อลอจิกในเส้นเวลาบนกราฟของ treewidth ที่มากที่สุด (ดูตัวอย่างhttp://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037$k$$k$สำหรับการสำรวจคุณสมบัติอัลกอริทึมของกราฟที่ จำกัด ขอบเขต - treewidth) เนื่องจากปัญหาการบรรจุหลายอย่างสามารถกำหนดได้ใน MSOL สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นถึงความสามารถในการแก้ปัญหาต่างๆของกราฟของ treewidth ที่ล้อมรอบซึ่งรวมถึงชุดอิสระการบรรจุรูปสามเหลี่ยมการบรรจุรอบการบรรจุการบรรจุจุดสุดยอด / ขอบ ของกราฟคงที่ H และอื่น ๆ แต่เนื่องจากความสามารถในการรองรับได้นี้ครอบคลุมถึงปัญหาที่สามารถกำหนดได้ทั้งหมดของ MSOL จึงไม่ได้มีเฉพาะในการบรรจุ

2) เมื่อกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างของกราฟกับการบรรจุและความน่าเชื่อถืออาจมีความสนใจดังต่อไปนี้ ขอบคุณที่ทำงานของโรเบิร์ตสันส์และมัวร์มันเป็นที่รู้กันว่ามีฟังก์ชั่นเช่นนั้นทุกกราฟของ treewidth อย่างน้อยประกอบด้วยตารางเป็นผู้เยาว์ (เดิมมุ่งกำหนดโดยซีมัวร์และโรเบิร์ตได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นต่อไปในการทำงานร่วมกันกับโทมัสดูhttp://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732สำหรับปัจจุบันที่ดีที่สุดที่ถูกผูกไว้) ดังนั้นหากคุณมีโครงสร้างซึ่งสำเนาหลายชุดของสามารถบรรจุลงใน$f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(r)$$r \times r$$f$$S$$S$$r \times r$ตารางเล็ก ๆ น้อย ๆ แล้วคุณจะรู้ว่ากราฟของ treewidth ขนาดใหญ่มีขนาดใหญ่บรรจุสำเนาของSตัวอย่างเช่นในขณะที่กริด (สำหรับคู่ ) มีจุดสุดยอด - รอบแยกมันดังนี้ว่ากราฟของ treewidthประกอบด้วยอย่างน้อย disjoint รอบ$S$$r \times r$$r$$(r/2)^2$$f(r)$$(r/2)^2$

ปัญหาชุดอิสระสูงสุดคือปัญหาการบรรจุ (คุณสามารถคิดว่ามันเป็นดาวที่แยกออกจากกัน) และมันมีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีกับเวลาทำงาน $2^k \operatorname{poly(n)}$ ในกราฟที่มีความกังวลมากที่สุด $k$.

การอ้างอิงที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อนี้คือบทความสำรวจของ Bruce Reed ด้านล่าง

Reed, B. (1997) ความกว้างของต้นไม้และสายพันกัน: การวัดการเชื่อมต่อใหม่และบางแอพพลิเคชั่น แบบสำรวจใน combinatorics, 241, 87-162

หนึ่งในเอกสารล่าสุดของฉันอนุญาตให้หนึ่งข้ามทฤษฎีบทกริดรองในบางกรณีผ่านทฤษฏีการสลายตัว treewidth ดูกระดาษด้านล่าง

การสลายตัวและการใช้งานกราฟขนาดใหญ่ที่น่ากลัว http://arxiv.org/abs/1304.1577

นี่เป็นคำตอบที่คลุมเครือ มีความเป็นคู่คล้ายกับทฤษฎี Erdos-Posa สำหรับกราฟของความกังวลแบบ จำกัด ขอบเขต ดูตัวอย่างเช่น Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: การเพิ่มความแข็งแกร่งของคุณสมบัติErdös-Pósaสำหรับคลาสกราฟที่ปิดเล็กน้อย วารสารทฤษฎีกราฟ 66 (3): 235-240 (2011)