การสร้างต้นไม้ใหม่จากคิวรีตัวคั่น

สมมติว่าเป็นต้นไม้ที่มีค่าคงที่ซึ่งเราไม่รู้โครงสร้าง ปัญหาคือการส่งออกต้นไม้โดยขอให้สอบถามรูปแบบ: "โหนดอยู่บนเส้นทางจากโหนดไปยังโหนดหรือไม่" สมมติว่าแต่ละแบบสอบถามสามารถตอบได้ในเวลาคงที่โดย oracle เรารู้ค่าของ , จำนวนโหนดในทรี โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อลดเวลาที่ใช้ในการส่งออกต้นไม้ในแง่ของnt x a b n $T$$T$$x$$a$$b$$n$$n$

มีอัลกอริทึมสำหรับปัญหาข้างต้นหรือไม่$o(n^2)$

สมมติว่าระดับของโหนดใด ๆ ในมากที่สุด 3$T$

สิ่งที่ฉันรู้

กรณีเส้นผ่าศูนย์กลาง bounded เป็นเรื่องง่าย ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของต้นไม้คือเราจะได้อัลกอริธึมหารและพิชิต:$D$

ต้นไม้ไบนารีใด ๆ ที่มีตัวคั่นที่ดีที่แบ่งต้นไม้เป็นองค์ประกอบที่มีขนาดไม่น้อยกว่า 1 / 3n

1. เลือกจุดสุดยอดใด ๆ x ถ้าเป็นป้ายคั่นที่ดีนั้นและรับคืน
2. ค้นหา 3 ประเทศเพื่อนบ้านทั้งหมดของ x
3. ย้ายไปในทิศทางของเพื่อนบ้านที่มีจำนวนโหนดมากที่สุด ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 กับเพื่อนบ้าน

เนื่องจากการค้นหาตัวคั่นใช้ขั้นตอนมากที่สุดเราจึงได้อัลกอริทึมO ( n D log n $D$$O(nD\log n)$

$O(n\;\log^2 n)$สุ่มอัลกอริทึม (ย้ายจากความคิดเห็นด้านล่าง)

เลือกสองจุดยอด x และ y สุ่ม ด้วยความน่าจะเป็น 1/9 พวกเขาจะนอนอยู่ฝั่งตรงข้ามของตัวคั่น เลือกโหนดกลางของเส้นทางจากไปYดูว่ามันเป็นตัวแยกถ้าไม่ทำการค้นหาแบบไบนารี$x$$y$

ใช้เวลาเวลาที่คาดหวังในการค้นหาตัวคั่น ดังนั้นเราจึงได้อัลกอริธึมแบบสุ่มO ( $O(n\;\log n)$$O(n\;\log^2 n)$

พื้นหลัง. ฉันเรียนรู้เกี่ยวกับปัญหานี้จากเพื่อนที่ทำงานในแบบจำลองความน่าจะเป็นแบบกราฟิก ปัญหาข้างต้นนั้นสอดคล้องกับการเรียนรู้โครงสร้างของทางแยกโดยใช้ oracle ซึ่งกำหนดตัวแปรสุ่มสามตัวคือ X, Y และ Z สามารถบอกค่าของข้อมูลร่วมกันระหว่าง X และ Y ให้ค่าของ Z ถ้าค่าใกล้เคียง เป็นศูนย์เราอาจสมมติว่า Z อยู่บนเส้นทางจาก X ถึง Y

ไม่ได้ กลยุทธ์กลยุทธ์ง่ายๆต่อไปนี้บอกเป็นนัยว่าอัลกอริทึมใด ๆ ในการสร้างทรี node ต้องมีอย่างน้อย "การอยู่ระหว่าง" แบบสอบถาม( n - $n$$\binom{n-1}{2} = n(n-1)/2$

พลป้ายโหนดn-1 ฝ่ายตรงข้ามตอบแบบสอบถามทั้งหมดราวกับว่าต้นไม้เป็นดาวที่มีจุดสุดยอดอยู่ตรงกลาง คิดเป็นเป็นรูทและโหนดอื่น ๆ เป็นลูกของมัน0 $0,1,2,\dots,n-1$$0$$0$

Between?(a,x,b)
    if x=0 return TRUE else return FALSE

ตอนนี้สมมติว่าอัลกอริทึมหยุดทำงานหลังจากทำแบบสอบถามน้อยกว่าแล้วจะต้องมีสองจุดและ , ค่าเท่ากับศูนย์เช่นว่าอัลกอริทึมยังไม่ได้สอบถามการเปลี่ยนแปลงของสามใด ๆZ) หากอัลกอริทึมอ้างว่าต้นไม้ไม่ใช่ดาวฤกษ์ที่มีกึ่งกลางศูนย์ฝ่ายตรงข้ามจะเปิดเผยข้อมูลของตนเพื่อพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมนั้นผิด ฝ่ายตรงข้ามเผยให้เห็นว่าเป็นลูกคนเดียวของซึ่งพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมผิดอีกครั้งy z ( 0 , y , z ) 0 x $n(n-1)/2$$y$$z$$(0,y,z)$$0$$x$$y$

อัปเดต:อ๊ะเพิ่งสังเกตเห็นข้อ จำกัด การศึกษาระดับปริญญา โชคดีที่นี่ไม่ใช่สิ่งกีดขวางที่สำคัญ แทนที่โหนดด้วยต้นไม้ไบนารีที่คุณชื่นชอบด้วยโหนดอื่น ๆที่เหลืออยู่ในลำดับที่ไม่รู้จักและจากนั้นเปิดเผยทรีย่อยนี้ไปยังอัลกอริทึมการสร้างใหม่ การสร้างโหนดต้นไม้ไบนารีผลลัพธ์ -node ยังคงต้องการการสืบค้นอย่างน้อยเท่าฟื้นฟู -node ต้นไม้ไบนารีต้องมีอย่างน้อยคำสั่ง (ฉันแน่ใจว่าการก่อสร้างที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นจะช่วยปรับปรุงค่าคงที่)n - 1 ( 2 n - 3 ) n ( n - 1 ) / 2 m ( m + 3 ) ( m + 2 ) /$0$$n-1$$(2n-3)$$n(n-1)/2$$m$$(m+3)(m+2)/8$ เมื่อจากาดิชชี้ให้เห็นลักษณะทั่วไปนี้ไม่ได้ผล แบบสอบถามเกี่ยวกับโหนดภายในในต้นไม้กำหนดลำดับบนใบซึ่งจะลดจำนวนของแบบสอบถามที่จำเป็น

Anindya Sen และฉันมีกระดาษใน ALT '13 ที่เราให้อัลกอริทึมสำหรับปัญหานี้ เราไม่ทราบว่าอัลกอริทึมที่ดีกว่านั้นเป็นไปได้หรือไม่$\tilde O(n \sqrt{n})$