การใช้โครงสร้างพีชคณิตในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี


67

ฉันเป็นผู้ประกอบการซอฟต์แวร์และฉันเขียนแบบสำรวจเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิตสำหรับการวิจัยส่วนบุคคลและฉันพยายามที่จะสร้างตัวอย่างของการใช้โครงสร้างเหล่านี้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี (และในระดับที่น้อยกว่าสาขาย่อยอื่น ๆ ของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์) .

ภายใต้ทฤษฎีกลุ่มฉันได้พบกับประโยคที่เกี่ยวกับวากยสัมพันธ์สำหรับภาษาทางการและร่องรอยและประวัติศาสตร์สำหรับการคำนวณแบบขนาน / พร้อมกัน

จากมุมมองของทฤษฎีแหวนฉันได้เจอกรอบการเรียนรู้สำหรับการประมวลผลกราฟและการแยกวิเคราะห์แบบ semiring

ฉันยังไม่พบการใช้ประโยชน์ของโครงสร้างพีชคณิตจากทฤษฎีโมดูลในการวิจัยของฉัน (และต้องการ)

ฉันสมมติว่ามีตัวอย่างเพิ่มเติมและฉันไม่ได้มองหาที่ที่ถูกต้องในการค้นหาพวกเขา

อะไรคือตัวอย่างอื่น ๆ ของโครงสร้างพีชคณิตจากโดเมนที่กล่าวถึงข้างต้นซึ่งมักพบในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี (และสาขาย่อยอื่น ๆ ของวิทยาการคอมพิวเตอร์)? นอกจากนี้คุณสามารถแนะนำวารสารหรือแหล่งข้อมูลอื่นใดที่อาจครอบคลุมหัวข้อเหล่านี้


12
ดูเหมือนว่าจะค่อนข้างกว้างใหญ่ โครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตทุกชนิด (กลุ่ม, แหวน, เซมิ, เซมิกส์, ฟิลด์) ปรากฏในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีและมันแพร่กระจายไปมากพอที่คุณจะกดยากเพื่อหาส่วนประกอบย่อยที่เฉพาะเจาะจง นอกจากนี้อย่าลืมฟิลด์ จำกัด สำหรับการแปลงแป้นพิมพ์และวิธีการพิมพ์ลายนิ้วมือแบบสุ่มอื่น ๆ อีกมากมาย
Suresh Venkat

3
อาจเป็นอะไรก็ได้ที่สามารถเป็นตัวแทนได้มีการใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
vs

คำตอบ:


46

ความประทับใจของฉันก็คือพีชคณิตดั้งเดิมนั้นมีขนาดใหญ่และค่อนข้างเฉพาะเจาะจงสำหรับใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์จึงใช้โครงสร้างที่อ่อนแอกว่า (และดังนั้นโดยทั่วไป) หรือวางโครงสร้างดั้งเดิมเพื่อให้พอดีกับความต้องการของพวกเขา นอกจากนี้เรายังใช้ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นจำนวนมากซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่คิดว่าเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิต แต่เราไม่เห็นว่าทำไม เราพบว่ากองทหารของคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมเป็น "พีชคณิต" และ "โทโพโลยี" เป็นสาขาแยกไม่สะดวกแม้ไม่มีจุดหมายเพราะพีชคณิตเป็นลำดับแรกโดยทั่วไปในขณะที่โทโพโลยีมีโอกาสในการจัดการกับแง่มุมที่สูงขึ้น ดังนั้นโครงสร้างที่ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีพีชคณิตและโทโพโลยีผสมอยู่ในความเป็นจริงฉันจะบอกว่าพวกเขามีแนวโน้มที่จะมีต่อโทโพโลยีมากกว่าพีชคณิต การใช้เหตุผลในการ "พีชคณิต" และ "ตรรกะ" เป็นอีกส่วนที่ไม่มีจุดหมายจากมุมมองของเราเพราะพีชคณิตเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติสมการในขณะที่ตรรกะเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติชนิดอื่น ๆ เช่นกัน

กลับมาที่คำถามเซกเมนต์และโมโนล็อกของคุณถูกใช้อย่างหนาแน่นในทฤษฎีออโตมาตะ Eilenberg ได้เขียนคอลเลกชัน 2 ระดับซึ่งสองในนั้นคือพีชคณิตเกือบทั้งหมด ฉันบอกว่าเขากำลังวางแผนเล่มสี่ แต่อายุของเขาไม่อนุญาตให้ทำโครงการให้เสร็จ Jean-Eric Pin มีรุ่นที่ทันสมัยของเนื้อหาจำนวนมากนี้ในหนังสือออนไลน์ ออโตมาตาคือ "โมดุลโมดุล" (เรียกอีกอย่างว่าโมดุลแอคชั่นหรือ "การกระทำ") ซึ่งอยู่ในระดับที่ถูกต้องโดยทั่วไปสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ โมดูลเสียงเรียกเข้าแบบดั้งเดิมอาจมีความเฉพาะเจาะจงเกินไป

ทฤษฎีขัดแตะเป็นกำลังสำคัญในการพัฒนาความหมายเชิง Denotational โทโพโลยีได้รับการผสมลงในทฤษฎีขัดแตะเมื่อนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ร่วมกับนักคณิตศาสตร์พัฒนาโปรยอย่างต่อเนื่องและจากนั้นโดยทั่วไปพวกเขาไปยังโดเมน ฉันจะบอกว่าทฤษฎีโดเมนเป็นคณิตศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ซึ่งคณิตศาสตร์ดั้งเดิมไม่มีความรู้

พีชคณิตสากลจะใช้สำหรับการกำหนดรายละเอียดเกี่ยวกับพีชคณิตของชนิดข้อมูล เมื่อนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้พบความต้องการที่จะจัดการกับคุณสมบัติทั่วไปมากขึ้นในทันที: สมการเงื่อนไข (หรือที่เรียกว่าสมการฮอร์น clauses) และคุณสมบัติลอจิกลำดับแรกยังคงใช้ความคิดเดียวกันของพีชคณิตสากล ดังที่คุณทราบในขณะนี้พีชคณิตได้รวมเข้ากับทฤษฎีแบบจำลอง

ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นรากฐานของทฤษฎีประเภท ในขณะที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทำการประดิษฐ์โครงสร้างใหม่เพื่อรับมือกับปรากฏการณ์การคำนวณที่หลากหลายทฤษฎีหมวดหมู่เป็นกรอบที่น่าสบายใจอย่างยิ่งที่จะวางแนวคิดเหล่านี้ทั้งหมด นอกจากนี้เรายังใช้โครงสร้างที่เปิดใช้งานตามทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งไม่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ "ดั้งเดิม" เช่นหมวด functor ยิ่งไปกว่านั้นพีชคณิตกลับเข้ามาในภาพจากมุมมองที่เป็นหมวดหมู่ในการใช้monadsและทฤษฎีเกี่ยวกับพีชคณิตของเอฟเฟกต์ Coalgebrasซึ่งเป็นคู่ของ algebras ก็พบแอปพลิเคชั่นมากมาย

ดังนั้นจึงมีการประยุกต์ใช้ "พีชคณิต" มากมายในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ แต่มันไม่ใช่ชนิดของพีชคณิตที่พบในตำราพีชคณิตแบบดั้งเดิม

หมายเหตุเพิ่มเติม : มีความรู้สึกที่เป็นรูปธรรมซึ่งทฤษฎีหมวดหมู่คือพีชคณิต Monoidเป็นโครงสร้างพื้นฐานในพีชคณิต ประกอบด้วยตัวดำเนินการ "การคูณ" แบบไบนารีที่เชื่อมโยงและมีข้อมูลเฉพาะตัว หมวดหมู่ทฤษฎี generalizes นี้โดยการเชื่อมโยง "ประเภท" เพื่อองค์ประกอบของหนังสือที่Y คุณสามารถ "คูณ" องค์ประกอบเฉพาะเมื่อประเภทการแข่งขัน: ถ้าและแล้วZ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์มีการดำเนินการคูณทำให้พวกเขาเป็นโมโน อย่างไรก็ตามเมทริกซ์ (โดยที่และa : X Y b : Y Z a b : X Z n × n m × n m na:XYa:XYb:YZab:XZn×nm×nmnอาจแตกต่างกัน) จัดเป็นหมวดหมู่ Monoids เป็นกรณีพิเศษของหมวดหมู่ที่มีประเภทเดียว แหวนเป็นกรณีพิเศษของหมวดหมู่สารเติมแต่งที่มีประเภทเดียว โมดูลเป็นกรณีพิเศษของ functors ที่ประเภทแหล่งที่มาและเป้าหมายมีประเภทเดียว เป็นต้น ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นพีชคณิตที่พิมพ์ซึ่งมีประเภททำให้สามารถใช้งานได้มากกว่าพีชคณิตแบบดั้งเดิม


24
นักทฤษฎีหมวดหมู่คิดว่าพีชคณิตเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีหมวดหมู่ พีชคณิตคิดว่าทฤษฎีหมวดหมู่เป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิต นักบันทึกคิดว่าพวกเขาทั้งคู่บ้าคลั่ง
Jeffε

4
มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างโทโพโลยีและพีชคณิตในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มากมาย ...
Sasho Nikolov

16
นี่เป็นคำตอบที่ดี แต่ฉันคิดว่าความคิดเห็นของคุณเกี่ยวกับ "การทหาร" และ "วัฒนธรรมไซโล" กำลังทำให้เข้าใจผิด เหตุผลที่พีชคณิตโทโพโลยีและตรรกะดูเหมือนเป็นหนึ่งเดียวกับคุณคือสำหรับคำถามที่คุณสนใจส่วนต่างๆของหัวข้อเหล่านี้ที่เกี่ยวข้องกับคุณนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างแนบสนิท ตัวอย่างเช่นถ้าคุณพยายามจำแนกนานามิติ 4 มิติบนจำนวนเชิงซ้อนคุณจะเห็นประโยชน์ของความแตกต่างแบบดั้งเดิมที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นอย่างรวดเร็ว ทุกอย่างขึ้นอยู่กับปัญหาที่คุณพยายามแก้ไข
Timothy Chow

3
ฉันเองก็ยังคงงงงวยโดยการอนุมานใด ๆ ที่คุณทำเกี่ยวกับวัฒนธรรมการวิจัยในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ @TimothyChow ชี้ให้เห็นว่าสาขาย่อยต่าง ๆ ได้รับการพัฒนาเพื่อจัดการกับปัญหาประเภทต่างๆดังนั้นจึงมีการพัฒนาเครื่องมือที่แตกต่างกัน ที่ที่เหมาะสมที่จะนำเครื่องมือมาจากสาขาย่อยที่แตกต่างกันและผู้คนต่างก็ตระหนักว่ามีการโต้ตอบกัน ตัวอย่างไม่ควรหายากตัวอย่างเช่นในบันทึกการบรรยายเรื่องพีชคณิตโกหก
Sasho Nikolov

3
ด้วยความที่มีวัฒนธรรมไซโลน้อยกว่าในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ฉันก็ไม่เห็นด้วยเหมือนกัน โดยส่วนตัวฉันไม่มีความคิดว่าทำไมนักวิจัย PL ต้องการเครื่องจักรหนักทั้งหมดนี้สิ่งที่พวกเขาใช้สำหรับสิ่งที่พวกเขาแก้ปัญหาด้วยมันและทำไมฉันถึงต้องสนใจ บางทีมันอาจจะเป็นความโง่เขลาของตัวเอง แต่ผมสงสัยมากที่สุดทฤษฎีซับซ้อนและ algorithmicists รู้คำตอบของคำถามเหล่านี้ ...
Sasho Nikolov

23

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มที่ฉันโปรดปรานตลอดเวลาใน TCS คือทฤษฎีบทของ Barrington คุณสามารถค้นหาคำอธิบายของทฤษฎีบทนี้ได้ที่บล็อกความซับซ้อนและการแสดงออกของ Barrington ในส่วนความคิดเห็นของโพสต์นั้น


2
+1: และหลายคนคิดว่ามันเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจที่สุดในทฤษฎีความซับซ้อน :)
Kaveh

15

กลุ่มวงแหวนฟิลด์และโมดูลมีอยู่ทั่วไปในโทโพโลยีการคำนวณ ดูงานของ Carlsson และ Zomorodian โดยเฉพาะ [ex: 1 ] บน homology (หลายมิติ) แบบถาวรซึ่งทั้งหมดนี้เกี่ยวกับการให้คะแนนของโมดูลในโดเมนอุดมคติหลัก


@JeffE ลิงค์โปรด
scaaahu

1
@JeffE ความคิดเห็นของฉันไม่ได้ตั้งใจว่าจะเป็นการล่วงละเมิด ใช่ฉันรู้วิธีการของ Google ประเด็นของฉันคือมีบทความพิเศษที่เขียนโดย Carlsson และ Zomorodian ซึ่งจะเป็นภาพรวมของ homology ถาวรหรือไม่? หากมีโปรดแจ้งให้เราทราบ ขอบคุณ
scaaahu

ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยกระดาษนี้ (ขออภัยความคิดเห็นก่อนหน้านี้ของฉันไม่ได้รับการ
รวบรวม

@ Jeff ได้รับมันสิ่งที่ฉันกำลังมองหา ขอบคุณ
scaaahu

14

นี่คือการใช้งานที่ดีและใช้งานได้จริง: อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณการเชื่อมต่อกราฟ (จากFOCS2011 ) ในการคำนวณการเชื่อมต่อของ s-> t ของกราฟผู้เขียนให้อัลกอริทึมที่กำหนดเวกเตอร์แบบสุ่มที่มีรายการที่ถูกดึงจากฟิลด์ จำกัด ไปยังขอบออกจาก s จากนั้นสร้างเวกเตอร์ที่คล้ายกันสำหรับขอบทั้งหมดในกราฟโดยการสุ่ม การรวมกันเชิงเส้นและในที่สุดก็ค้นพบการเชื่อมต่อโดยการคำนวณอันดับของผลเวกเตอร์ที่กำหนดให้กับขอบของ t


ขอบคุณสำหรับตัวชี้และภาพรวม! นี้มาจาก FOCS 2011: dx.doi.org/10.1109/FOCS.2011.55
András Salamon

12

โปรยและจุดคงที่เป็นรากฐานของการวิเคราะห์และตรวจสอบโปรแกรม แม้ว่าผลลัพธ์ขั้นสูงจากทฤษฎีขัดแตะจะไม่ค่อยได้ใช้เพราะเราเกี่ยวข้องกับปัญหาอัลกอริทึมเช่นการคำนวณและการประมาณจุดคงที่ในขณะที่การวิจัยในทฤษฎีขัดแตะมีจุดสนใจที่แตกต่างกัน (การเชื่อมต่อกับทอพอโลยี เอกสารตีความนามธรรมเริ่มต้นใช้ทฤษฎีขัดแตะพื้นฐาน งานของ Roberto Giacobazzi และผู้ทำงานร่วมกันของเขาใช้ผลลัพธ์ขั้นสูงมากขึ้น

ในการคำนวณแบบกระจายครอบครัวที่มีชื่อเสียงของผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้นั้นได้รับการใช้วิธีการของทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (ดูงานของ Maurice Herlihy และ Nir Shavit)

[แก้ไข: ดูการประยุกต์โทโพโลยีเพื่อวิทยาการคอมพิวเตอร์ ]


12

พีชคณิตสากลเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาความซับซ้อนของปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด

ยกตัวอย่างเช่นDichotomy Conjectureกล่าวว่าปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด เหนือขอบเขตอัน จำกัด นั้นเป็นปัญหา NP-complete หรือ Polynomial-time โปรดสังเกตว่าตามทฤษฎีบทของ Ladner มีปัญหาใน NP ซึ่งไม่ได้อยู่ใน P และไม่ใช่ NP-complete ยกเว้น P = NP ดังนั้นการคาดเดาบอกว่า CSPs มีความพิเศษในการมีขั้วคู่ที่ไม่มีความซับซ้อนที่ใหญ่กว่า นอกจากนี้ยังจะให้คำอธิบายว่าทำไมปัญหาส่วนใหญ่ที่เราพบในทางปฏิบัติสามารถจำแนกได้ว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์หรือเป็น P

Dichotomies ได้รับการพิสูจน์สำหรับหลายกรณีพิเศษเช่น CSP แบบไบนารีโดเมน (Schaefer) และ CSTs แบบไตรภาค (Bulatov) และ homomorphisms เป็นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง (Hell and Nesetril) แต่กรณีทั่วไปเปิดค่อนข้าง หนึ่งในสายหลักของการโจมตีคือผ่านพีชคณิตสากล คร่าวๆ (และฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนี้อย่างแน่นอน!) หนึ่งนิยาม polymorphism ของ CSP ให้เป็นฟังก์ชันในโดเมนของ CSP ซึ่งทำให้ข้อ จำกัด ที่น่าพอใจทั้งหมดพอใจหากนำไปใช้กับตัวแปรแต่ละตัว ชุดของความหลากหลายของ CSP ในบางแง่ความซับซ้อน ตัวอย่างเช่นถ้า CSP A ยอมรับพหุสัณฐานทั้งหมดของ CSP B ดังนั้น A คือพหุนามที่ลดลงเป็น B. ชุดของพหุสัณฐานก่อตัวเป็นพีชคณิตซึ่งโครงสร้างดูเหมือนว่ามีประโยชน์ในการกำหนดอัลกอริทึม / แสดงการลดลง ตัวอย่างเช่นถ้าพีชคณิต polymorphism ของ CSP เป็น idempotent และยอมรับ unary type CSP นั้นจะเป็น NP-complete Idempotence เป็นข้อสมมติฐานที่ทำให้เข้าใจง่ายซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้ไม่มากก็น้อย แสดงให้เห็นว่า CSP ที่มีพีชคณิตเป็น idempotent และไม่ยอมรับว่าประเภท unary สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามจะพิสูจน์ Dichotomy Conjecture

ดูการสำรวจโดย Bulatov นี้: http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/


11

นี่คือสองแอปพลิเคชันจากส่วนอื่นของ TCS

Semirings ใช้สำหรับสร้างแบบจำลองคำอธิบายประกอบในฐานข้อมูล (โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จำเป็นสำหรับแหล่งที่มา) และมักจะใช้สำหรับโครงสร้างการประเมินค่าในความพึงพอใจข้อ จำกัด มูลค่า ในทั้งสองแอปพลิเคชันเหล่านี้ค่าของแต่ละบุคคลจะต้องรวมเข้าด้วยกันในรูปแบบที่นำไปสู่โครงสร้าง semiring ตามธรรมชาติโดยมีการเชื่อมโยง เกี่ยวกับการค้นหาของคุณเกี่ยวกับโมดูลโมดุลไม่ได้มีอินเวอร์สในโปรแกรมเหล่านี้โดยทั่วไป


10

แหวนโมดูลและพีชคณิตพันธุ์ถูกนำมาใช้ในการแก้ไขข้อผิดพลาดและโดยทั่วไปทฤษฎีการเข้ารหัส

โดยเฉพาะมีรูปแบบการแก้ไขข้อผิดพลาดที่เป็นนามธรรม (รหัสพีชคณิต - เรขาคณิต) ซึ่ง generalizes รหัส Reed-Solomon และรหัสเหลือจีน โครงร่างนั้นใช้เพื่อนำข้อความของคุณมาจากวงแหวน R และเข้ารหัสโดยใช้โมดูโลที่เหลืออยู่มากมายในอาร์ภายใต้สมมติฐานบางประการเกี่ยวกับ R เราสามารถพิสูจน์ได้ว่านี่เป็นข้อผิดพลาดที่เหมาะสมในการแก้ไขโค้ด

ในโลกของการถอดรหัสรายการกระดาษล่าสุดโดย Guruswami ให้วิธีการเชิงเส้นพีชคณิตของรายการถอดรหัสพับรหัส Reed-Solomon ซึ่งมีคุณสมบัติที่ดีว่าข้อความทั้งหมดของผู้สมัครอยู่ในพื้นที่ต่ำเลียนแบบมิติของพื้นที่ข้อความ . เราสามารถสร้างsubspace Evasive เซตเซตซึ่งเกือบจะใหญ่เท่ากับพื้นที่ทั้งหมด แต่มีจุดตัดเล็ก ๆ ที่มี Subspace เลียนแบบทุกมิติ หากมีใคร จำกัด ข้อความที่จะมาจากชุดย่อยที่มีข้อแก้ตัวภายในพื้นที่ข้อความดังนั้นโครงการของ Guruswami จะให้อัลกอริทึมที่รับประกันขนาดรายการที่ดี เพื่อให้ห่างไกลเพียงการก่อสร้างที่ชัดเจนของสเปซชุดข้อแก้ตัวจะได้รับโดย Dvir และ Lovett ในกระดาษ STOC ที่จะเกิดขึ้นของพวกเขาชุดสเปซ Evasive และสร้างชุดโดยใช้ความหลากหลายเลียนแบบที่เฉพาะเจาะจง (และนำผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนไปด้วย


6

ตรวจสอบทฤษฎีของแรมซีย์ - โดยทั่วไปแล้วเป็นหลักการสำคัญของหลักการของนกพิราบซึ่งมีทฤษฎีออโตมาตะและทฤษฎีทางภาษาอยู่มากมาย (หรือฉันควรจะพูดว่า โดยพื้นฐานแล้วมันบอกว่าแม้โครงสร้างที่มีความวุ่นวายสูงก็ยังมีความเป็นระเบียบอยู่มากถ้ามันมีขนาดใหญ่พอสมควร สำหรับตัวอย่างเล็ก ๆ นอกเหนือจากหลักการของนกพิราบแล้วให้สังเกตว่าถ้าคุณนำคนหกคนจากนั้นทั้งสามคนรู้จักกันและสามคนไม่รู้จักกัน

บทความนี้ดูเหมือนจะเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีสำหรับการเชื่อมต่อกับวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมได้จาก Google มันเป็น combinatoric มากกว่าพีชคณิตในลักษณะพื้นฐานของมัน แต่มีการใช้งานมากมายในพีชคณิตและ CS เชิงทฤษฎี

และตรวจสอบเรื่องราวของนักประดิษฐ์อย่างFrank Ramseyซึ่งเป็นพหูสูตที่โดดเด่นซึ่งได้สร้างพื้นฐานแม้กระทั่งการมีส่วนร่วมในการปฏิวัติทางเศรษฐศาสตร์และปรัชญาเช่นเดียวกับคณิตศาสตร์หลายคนยังไม่ได้รับการยอมรับจนกระทั่งในภายหลังทั้งหมดก่อนที่จะตายตอนอายุ 26 แค่คิด! อันที่จริงทฤษฎีบทดั้งเดิมของแรมซีย์ซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีแรมซีย์เป็นเพียงบทแทรกในกระดาษที่มีจุดประสงค์ที่ใหญ่กว่าในตรรกะทางคณิตศาสตร์


2
นี่คือสิ่ง combinatorics extremal คลาสสิกฉันสงสัยว่าคุณเห็นการเชื่อมต่อกับพีชคณิตที่ไหน (ฉันไม่ได้อภิปรายว่าทฤษฎีแรมซีย์เป็นแหล่งกำเนิดของปัญหาและทฤษฎีที่สำคัญ)
Sasho Nikolov

ทฤษฎีกราฟมีความสำคัญอย่างยิ่งใน CS ทฤษฎี และตรวจสอบลิงก์ในคำตอบของฉันเช่นเดียวกับการค้นหานี้ ยิ่งไปกว่านั้นจาก Pin, JE, ภาษาทางการ , ทฤษฎีบท 1.11 - semigroupใด ๆ ที่ จำกัด ที่สร้างโดย ,มีด้วยทุกคำ loinger กว่ามี idempotentกับ ,และทุกอี สิ่งนี้พิสูจน์ได้ง่ายที่สุดกับทฤษฎีบทของแรมซีย์ k > = 2 n W + n อีS W = x U 1 . . คุณn y x , y A ˉ u i = eSAk>=2nwA+neSw=xu1...unyx,yAu¯i=e
David Lewis

ฉันไม่ได้โต้แย้งความเกี่ยวข้องของทฤษฎีแรมซีย์ให้ทฤษฎีกราฟเดี่ยวถึง tcs ฉันกำลังพูดว่า OP ถามเกี่ยวกับการใช้งานของพีชคณิตและทฤษฎีแรมซีย์ไม่ใช่สิ่งที่มักจะเกี่ยวข้องกับพีชคณิต, Afaik แต่เนื่องจากคุณดูเหมือนจะมีทฤษฎีการเชื่อมต่อบางอย่าง -> พีชคณิต -> tcs ในใจบางทีคุณสามารถเพิ่มคำตอบของคุณได้
Sasho Nikolov

@Sasho - ถ้าคุณหมายความว่า Ramsey Theory ไม่ใช่หัวข้อของพีชคณิตดังนั้นคำตอบของฉันคือ off-base คุณจะถูกต้อง 100% ฉันขอโทษสำหรับคำตอบของฉัน ฉันคิดว่าความคิดของฉันมีแนวโน้มที่จะข้ามเขตแดนทางวินัยและสาขาย่อยค่อนข้างพร้อม แต่มันแย่กว่านั้น - ทฤษฎีแรมซีย์ไม่มีทางเป็น "โครงสร้างพีชคณิต" โปรดลงคะแนนคำตอบของฉัน ความนับถือ.
David Lewis

ดีในขณะที่ downvoting อาจจะเป็นตรรกะฉันรัก combinatorics extremal ดังนั้นฉันจะไม่ไป :) BTW ฉันค่อนข้างแน่ใจว่ามีบางปรากฏการณ์ ramsey-type ที่เกิดขึ้นกับโครงสร้างพีชคณิตบางทีแม้ที่ "ความหนาแน่น" ต่ำ สมมาตรดังนั้นคุณจะให้ความคิดกับฉันเกี่ยวกับคำถาม
Sasho Nikolov

5

การวิเคราะห์ปัญหาใด ๆ ที่มีความสมมาตรจำนวนมากสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีกลุ่ม ตัวอย่างคือการค้นหาอัลกอริทึมสำหรับสิ่งต่าง ๆ เช่นลูกบาศก์ของรูบิค แม้ว่าฉันจะไม่ทราบรายละเอียด แต่ฉันแน่ใจว่าการพิสูจน์ว่าจำนวนของพระเจ้านั้นต้องใช้การตัดแต่งกิ่งที่จริงจังในเชิงทฤษฎี ในบริบทที่แตกต่างกันตัวแก้ปัญหาการปฏิบัติสำหรับกราฟมอร์ฟิสต์ปัญหาเช่นความไม่แน่นอนใช้กลุ่ม automorphism ของกราฟ


นอกจากนี้อัลกอริทึมสำหรับกราฟมอร์ฟิซึ่มส์ [Luks '81; Babai - Luks '82] ด้วยการรับรองที่ดีที่สุดที่รู้จักกัน (นั่นคืองานในทฤษฎี แต่อาจไม่มีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติ) ใช้ทฤษฎีกลุ่มอย่างหนักแม้จะเรียกการจำแนกประเภทของกลุ่มที่เรียบง่ายแน่นอน
Joshua Grochow

5

พีชคณิต (และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต) มีบทบาทสำคัญในการเข้ารหัสด้วยกลุ่มวงรีรูปไข่ (จำนวน - ทฤษฎี) โปรยและแน่นอนเป็นพื้นฐานสำหรับงานเข้ารหัสลับสมัยใหม่เกือบทั้งหมดZp


1
ดังที่ฉันเข้าใจมีโครงสร้างพีชคณิตอื่น ๆ (ฟิลด์ จำกัด , แหวนและโครงสร้างอื่น ๆ ) ที่ใช้ใน Crypto สมัยใหม่ - ซึ่งค่อย ๆ ละทิ้งทฤษฎีจำนวนและมุ่งเน้นไปที่ lattices, รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดและปัญหา "ทนควอนตัม"
จอช

1

ในการเขียนโปรแกรมการทำงาน abstractions ทั่วไปและสง่างามที่สุดสำหรับปัญหามักจะเกี่ยวกับพีชคณิต (หรือหมวดหมู่ - ทฤษฎี) ในธรรมชาติ: monoids, semirings , functors, monads, F-algebras, F-coalgebras, ฯลฯ ผลคลาสสิคบางอย่าง (เช่น Yoneda บทแทรก) เกิดขึ้นกับเนื้อหาและยูทิลิตี้การคำนวณ

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีประเภท homotopy ซึ่งตีความทฤษฎีประเภทใน (เรียงลำดับของ) การตั้งค่าทอพอโลยีเชิงพีชคณิต


0

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราสำรวจ (ดูกระดาษของเราที่ springerlink: การรวมกลุ่มอย่างเป็นทางการของวิธีการขุดชุดไอเท็มบ่อยครั้ง ) ความพยายามในการรวมการทำแพทเทิร์นการทำเหมืองแร่ เครื่องมือเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการแมประหว่างโครงสร้างของโมดุล

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.