ความประทับใจของฉันก็คือพีชคณิตดั้งเดิมนั้นมีขนาดใหญ่และค่อนข้างเฉพาะเจาะจงสำหรับใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์จึงใช้โครงสร้างที่อ่อนแอกว่า (และดังนั้นโดยทั่วไป) หรือวางโครงสร้างดั้งเดิมเพื่อให้พอดีกับความต้องการของพวกเขา นอกจากนี้เรายังใช้ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นจำนวนมากซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่คิดว่าเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิต แต่เราไม่เห็นว่าทำไม เราพบว่ากองทหารของคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมเป็น "พีชคณิต" และ "โทโพโลยี" เป็นสาขาแยกไม่สะดวกแม้ไม่มีจุดหมายเพราะพีชคณิตเป็นลำดับแรกโดยทั่วไปในขณะที่โทโพโลยีมีโอกาสในการจัดการกับแง่มุมที่สูงขึ้น ดังนั้นโครงสร้างที่ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีพีชคณิตและโทโพโลยีผสมอยู่ในความเป็นจริงฉันจะบอกว่าพวกเขามีแนวโน้มที่จะมีต่อโทโพโลยีมากกว่าพีชคณิต การใช้เหตุผลในการ "พีชคณิต" และ "ตรรกะ" เป็นอีกส่วนที่ไม่มีจุดหมายจากมุมมองของเราเพราะพีชคณิตเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติสมการในขณะที่ตรรกะเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติชนิดอื่น ๆ เช่นกัน
กลับมาที่คำถามเซกเมนต์และโมโนล็อกของคุณถูกใช้อย่างหนาแน่นในทฤษฎีออโตมาตะ Eilenberg ได้เขียนคอลเลกชัน 2 ระดับซึ่งสองในนั้นคือพีชคณิตเกือบทั้งหมด ฉันบอกว่าเขากำลังวางแผนเล่มสี่ แต่อายุของเขาไม่อนุญาตให้ทำโครงการให้เสร็จ Jean-Eric Pin มีรุ่นที่ทันสมัยของเนื้อหาจำนวนมากนี้ในหนังสือออนไลน์ ออโตมาตาคือ "โมดุลโมดุล" (เรียกอีกอย่างว่าโมดุลแอคชั่นหรือ "การกระทำ") ซึ่งอยู่ในระดับที่ถูกต้องโดยทั่วไปสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ โมดูลเสียงเรียกเข้าแบบดั้งเดิมอาจมีความเฉพาะเจาะจงเกินไป
ทฤษฎีขัดแตะเป็นกำลังสำคัญในการพัฒนาความหมายเชิง Denotational โทโพโลยีได้รับการผสมลงในทฤษฎีขัดแตะเมื่อนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ร่วมกับนักคณิตศาสตร์พัฒนาโปรยอย่างต่อเนื่องและจากนั้นโดยทั่วไปพวกเขาไปยังโดเมน ฉันจะบอกว่าทฤษฎีโดเมนเป็นคณิตศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ซึ่งคณิตศาสตร์ดั้งเดิมไม่มีความรู้
พีชคณิตสากลจะใช้สำหรับการกำหนดรายละเอียดเกี่ยวกับพีชคณิตของชนิดข้อมูล เมื่อนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้พบความต้องการที่จะจัดการกับคุณสมบัติทั่วไปมากขึ้นในทันที: สมการเงื่อนไข (หรือที่เรียกว่าสมการฮอร์น clauses) และคุณสมบัติลอจิกลำดับแรกยังคงใช้ความคิดเดียวกันของพีชคณิตสากล ดังที่คุณทราบในขณะนี้พีชคณิตได้รวมเข้ากับทฤษฎีแบบจำลอง
ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นรากฐานของทฤษฎีประเภท ในขณะที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทำการประดิษฐ์โครงสร้างใหม่เพื่อรับมือกับปรากฏการณ์การคำนวณที่หลากหลายทฤษฎีหมวดหมู่เป็นกรอบที่น่าสบายใจอย่างยิ่งที่จะวางแนวคิดเหล่านี้ทั้งหมด นอกจากนี้เรายังใช้โครงสร้างที่เปิดใช้งานตามทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งไม่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ "ดั้งเดิม" เช่นหมวด functor ยิ่งไปกว่านั้นพีชคณิตกลับเข้ามาในภาพจากมุมมองที่เป็นหมวดหมู่ในการใช้monadsและทฤษฎีเกี่ยวกับพีชคณิตของเอฟเฟกต์ Coalgebrasซึ่งเป็นคู่ของ algebras ก็พบแอปพลิเคชั่นมากมาย
ดังนั้นจึงมีการประยุกต์ใช้ "พีชคณิต" มากมายในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ แต่มันไม่ใช่ชนิดของพีชคณิตที่พบในตำราพีชคณิตแบบดั้งเดิม
หมายเหตุเพิ่มเติม : มีความรู้สึกที่เป็นรูปธรรมซึ่งทฤษฎีหมวดหมู่คือพีชคณิต Monoidเป็นโครงสร้างพื้นฐานในพีชคณิต ประกอบด้วยตัวดำเนินการ "การคูณ" แบบไบนารีที่เชื่อมโยงและมีข้อมูลเฉพาะตัว หมวดหมู่ทฤษฎี generalizes นี้โดยการเชื่อมโยง "ประเภท" เพื่อองค์ประกอบของหนังสือที่Y คุณสามารถ "คูณ" องค์ประกอบเฉพาะเมื่อประเภทการแข่งขัน: ถ้าและแล้วZ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์มีการดำเนินการคูณทำให้พวกเขาเป็นโมโน อย่างไรก็ตามเมทริกซ์ (โดยที่และa : X → Y b : Y → Z a b : X → Z n × n m × n m na:X→Ya:X→Yb:Y→Zab:X→Zn×nm×nmnอาจแตกต่างกัน) จัดเป็นหมวดหมู่ Monoids เป็นกรณีพิเศษของหมวดหมู่ที่มีประเภทเดียว แหวนเป็นกรณีพิเศษของหมวดหมู่สารเติมแต่งที่มีประเภทเดียว โมดูลเป็นกรณีพิเศษของ functors ที่ประเภทแหล่งที่มาและเป้าหมายมีประเภทเดียว เป็นต้น ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นพีชคณิตที่พิมพ์ซึ่งมีประเภททำให้สามารถใช้งานได้มากกว่าพีชคณิตแบบดั้งเดิม