การสร้างเวกเตอร์ในตำแหน่งทั่วไป

ให้เมทริกซ์ ( ) จริงพร้อมคุณสมบัติที่คอลเลกชันของคอลัมน์ใด ๆเป็นอันดับเต็ม $k\times n$ $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

ถาม:มีวิธีที่มีประสิทธิภาพหรือไม่ในการหาเวกเตอร์เช่นเมทริกซ์ที่เติม ${\bf a}$ รักษาคุณสมบัติเช่นเดียวกับ :คอลัมน์ใด ๆ ที่มีตำแหน่งเต็ม ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ ${\bf A}$ $k$

Sidenote ที่เกี่ยวข้อง:เมทริกซ์ที่มีคุณสมบัตินี้เป็นตัวกำเนิดของรหัส Reed-Solomon: การเพิ่มคอลัมน์ที่รักษาโครงสร้าง Vandermonde จะรักษาคุณสมบัติอันดับไว้ $(n,k)$

— Dimitris
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจประเด็นของคุณหรือไม่ ฉันต้องการ

ไม่ใช่ปัญหา

k \leq n

$k\le n$

k = n

$k=n$

— Dimitris

@ Jɛ ﬀ E k ไม่เปลี่ยนแปลง: ในกรณีของ k = n, เฉพาะ n ของคอลัมน์ (ตอนนี้) n + 1 คอลัมน์จะต้องมีตำแหน่งเต็ม ในกรณีนี้ปัญหาน่าจะง่ายกว่า: หาการแปลงเลียนแบบของเมทริกซ์เป็นพื้นฐานฉากของ R ^ n จากนั้นปล่อยเวกเตอร์ที่มีภาพภายใต้นี่เป็นเวกเตอร์ทั้งหมด 1s

— Suresh Venkat

สำหรับฉันแล้วมันน่าจะเป็นวิธีที่ทำได้ผ่าน Grassmanian แต่ฉันก็ไม่เห็นด้วย

— Suresh Venkat

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

เป็นคำถามที่ดี ฟังดูเหมือนรุ่นที่อ่อนแอกว่าของปัญหาในการตรวจสอบคุณสมบัติ isometry ที่ จำกัด ซึ่งเปิดกว้างเท่าที่ฉันรู้

— Sasho Nikolov

$\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
แหล่งที่มา

ฉันไม่สามารถ แต่เห็นด้วย :) ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อคุณต้องการตรวจสอบว่าเวกเตอร์ดังกล่าวทำงานได้ (ไม่ว่าจะเป็น) คุณต้องตรวจสอบคอลัมน์คอลัมน์ย่อย ปัญหาการตรวจสอบนี้มีความเกี่ยวข้องมากขึ้นเมื่อคุณพิจารณาฟิลด์ จำกัด (ของคำสั่งคงที่) แต่ฉันพยายามหลีกเลี่ยงการพูดคุยเกี่ยวกับฟิลด์เหล่านั้น

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris

คำถามนี้ถามถึงอัลกอริธึมที่กำหนดไว้อย่างมีประสิทธิภาพ หากคุณตอบคำถามที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ในคำถามคุณควรพูดอย่างชัดเจนในความเห็นของฉัน

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi เป็นสิ่งที่คุณไม่ชอบลูกแมว? :)

— Suresh Venkat

@Suresh: ในทางปฏิบัติมันจะสนุกถ้าคอมพิวเตอร์ของฉันกลายเป็นลูกแมว ในทางทฤษฎีก่อนอื่นคุณต้องกำหนดลูกแมว

— Tsuyoshi Ito

@ Jɛ ﬀ E บางทีฉันควรจะชี้แจงว่าทำไมคำถามนี้ถึงมีความสนใจ คำถามจริงเหมือนกัน แต่อยู่เหนือขอบเขตที่ จำกัด แต่ฉันมักจะคิดว่าทุ่งนั้นซับซ้อนกว่าคำถามพีชคณิตเชิงเส้น แอปพลิเคชันคือการออกแบบเมทริกซ์ตัวสร้างโค้ด "ดี" สามารถแสดงรายการแบบสุ่ม (รายการ iid) เพื่อตอบสนองความต้องการของอสังหาริมทรัพย์ได้โดยใช้เครื่องมือเช่น Schwartz – Zippel lemma สำหรับปัญหานี้ SZ มักต้องการคำสั่งฟิลด์ของและคุณไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าเมทริกซ์นั้นใช้งานได้จริง ทำไมสิ่งนี้จึงสำคัญ เนื่องจากรหัสที่น่าเชื่อถือที่สุดบางครั้งอาจไม่ต้องการใช้

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Dimitris