ความซับซ้อนในการตัดสินใจว่าเมทริกซ์นั้นปกติหรือไม่

เมทริกซ์จะถูกเรียกว่าเป็นปกติอย่างสมบูรณ์หากเมทริกซ์ย่อยจตุรัสทั้งหมดมีอันดับเต็ม เมทริกซ์ดังกล่าวถูกใช้ในการสร้าง superconcentrators อะไรคือความซับซ้อนในการตัดสินใจว่าเมทริกซ์ที่ให้นั้นมีความสม่ำเสมอในการปันส่วนหรือไม่ เหนือทุ่ง จำกัด ?

โดยทั่วไปเรียกเมทริกซ์โดยสิ้นเชิงถ้าเมทริกซ์ย่อยทั้งหมดที่มีขนาดมากที่สุดมีอันดับเต็ม ได้รับเมทริกซ์และพารามิเตอร์สิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าเมทริกซ์จะโดยสิ้นเชิง -regular? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
แหล่งที่มา

คำถามระดับประถม: คุณหมายความว่าอย่างไรเมื่อคุณพูดเมทริกซ์ปกติ? ขอบคุณ!

— Henry Yuen

คุณหมายถึงว่า submatrix ทุกตัวนั้นไม่ใช่แบบเอกพจน์หรือไม่? ฉันจำได้ว่ามีคำถามที่คล้ายกันที่ฉันไม่สามารถหาได้ในขณะนี้

— Sasho Nikolov

แท้จริงแล้วมีความหมายที่แตกต่างกันสามประการ: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

อาพบคำถามที่เกี่ยวข้อง: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/... คำถามของคุณเหมาะสมกับความคิดเห็นที่ฉันทำมากขึ้น: นี่เป็นตัวแปรที่ง่ายกว่าของ (AFAIK แบบเปิดกว้าง) คำถามของการทดสอบปาร์ตี้ isometry แบบ จำกัด

— Sasho Nikolov

เหนือฟิลด์ จำกัด การทดสอบว่าเมทริกซ์

เป็น

เทียบเท่ากับการตรวจสอบว่าเมทริกซ์ตัวกำเนิดรหัส

มีระยะทางขั้นต่ำ

(เช่นไม่ว่าจะเป็น MDS) แม้แต่การประมาณปัจจัยคงที่สำหรับการค้นหาระยะทางรหัสขั้นต่ำก็ยาก ตรวจสอบกระดาษนี้ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdfและเอกสารอ้างอิงภายใน

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

คำตอบ:

กระดาษVandermonde Matrices, NP-Completeeness, และ Subspaces Subspaces [ps]โดย Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits และ Pascal Koiran อาจเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณ (แม้ว่าจะไม่ได้ตอบก็ตาม)

พวกเขาพิสูจน์ -completeness ของปัญหาต่อไปนี้: สมมติว่าเมทริกซ์กว่า ( ) ตัดสินใจว่ามีอยู่ submatrix มีปัจจัยหายไป $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— บรูโน่
แหล่งที่มา

ขอบคุณบรูโน่! เราไม่สามารถลดปัญหาคำตอบของคุณสำหรับปัญหาของฉันโดยการลดแบบสุ่ม (มากกว่าเหตุผล)? เพียงเพิ่ม

แถวสุ่ม หากเมทริกซ์ใหม่ไม่ปกติทั้งหมดจะมีเอกพจน์

-submatrix ในแถว

แรกที่มีความน่าจะเป็นสูง อ่าไม่ submatrix อาจมีขนาดเล็กลง แต่อาจจะเป็นหนึ่งสามารถทำให้การทำงานนี้ ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— มาร์คัส Blaser

ใช่ปัญหาของคุณเป็นหลักเทียบเท่ากับหนึ่ง (ทั่วไปตำแหน่ง) ในอเล็กซานเด Chistov, Hervéเยร์ Leonid Gurvits และปาสกาล Koiran กระดาษ

พิจารณาเมทริกซ์, เมตรโดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปให้ถือว่าและคอลัมน์แรกของเป็นอิสระ: โดยที่คือเมทริกซ์nonsingular ตอนนี้มีsubmatrix เอกพจน์ถ้าหาก $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ ไม่ปกติอย่างสมบูรณ์

— Leonid gurvits
แหล่งที่มา

มีปัญหา NP-Complete อื่นในจิตวิญญาณเดียวกัน: สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเพื่อตัดสินใจว่าเมทริกซ์ย่อยหลักทั้งหมดของมัน (เช่นแถวและคอลัมน์จากชุดเดียวกัน) เป็นแบบไม่มีขอบ อีกข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ: ผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสทั้งหมดนั้นง่าย (เพียงแค่ Det (I + AA ^ {T})) แต่ผลรวมของค่าสัมบูรณ์คือ # P-Complete

— Leonid gurvits
แหล่งที่มา