อคติของชื่อพหุนามแบบสุ่มที่มีระดับต่ำกว่า GF (2) คืออะไร?

$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* เมื่อฉันเขียนพหุนามแบบสุ่มพร้อมตัวแปร degree $\le d$และ n คุณสามารถคิดถึงแต่ละ monomials ของ degree $\le d$เลือกด้วยความน่าจะเป็น 1/2

สิ่งเดียวที่เกี่ยวข้องที่ฉันรู้คือตัวแปรของ Schwartz-Zippel ที่ระบุว่าหากพหุนามไม่คงที่ดังนั้นอคติของมันจึงอยู่ที่$1-2^{1-d}$มากที่สุด ดังนั้นสำหรับ$\epsilon=1-2^{1-d}$ probaiblity คือ1 / {2 ^ {{n \ select 1} + \ ldots + {n \ select d}}}$1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ซึ่งนี่คือความน่าจะเป็นที่$p$คือ คงที่ น่าเสียดาย$\epsilon$นี้ค่อนข้างใหญ่

กระดาษ "ชื่อพหุนามระดับต่ำแบบสุ่มยากที่จะประมาณ" โดย Ben-Eliezer, Hod และ Lovett ตอบคำถามของคุณ พวกเขาแสดงขอบเขตที่แข็งแกร่งในความสัมพันธ์ของพหุนามแบบสุ่มของระดับกับพหุนามของระดับที่มากที่สุดโดยการวิเคราะห์อคติของพหุนามแบบสุ่ม ดูพวกเขาแทรก 2: อคติของสุ่มคุณวุฒิปริญญาพหุนาม (ถึงบางที่เป็นเส้นตรงใน ) เป็นอย่างมากที่สุดยกเว้นที่มีความน่าจะเป็นบิ๊ก)}$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

คำถามของคุณเทียบเท่ากับขอบเขตท้ายของการกระจายน้ำหนักของรหัส Reed-Muller การเข้าใจการกระจายน้ำหนักของรหัส Reed-Muller เป็นคำถามที่ท้าทายและเก่าแก่ในทฤษฎีการเข้ารหัสและทราบถึงผลลัพธ์ที่น่าสนใจหลายประการ (การกระจายน้ำหนักนั้นเข้าใจได้เฉพาะสำหรับและ ) ในฐานะที่เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีโปรดดูที่ "การกระจายน้ำหนักและขนาดการถอดรหัสรายการของรหัส Reed-Muller" โดย Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat และการอ้างอิงในที่นี้$d=1$$d=2$