ระดับโดยประมาณของ

แก้ไข (v2): เพิ่มส่วนท้ายสิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับปัญหา

แก้ไข (v3): เพิ่มการสนทนาเกี่ยวกับระดับเกณฑ์ในตอนท้าย

คำถาม

คำถามนี้ส่วนใหญ่เป็นคำขออ้างอิง ฉันไม่รู้เกี่ยวกับปัญหามากนัก ฉันต้องการที่จะทราบว่ามีการทำงานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่และถ้าเป็นเช่นนั้นใครสามารถชี้ให้ฉันไปที่เอกสารใด ๆ ที่พูดถึงปัญหานี้ได้หรือไม่? ฉันยังต้องการที่จะรู้ว่าขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันที่มีการศึกษาระดับปริญญาโดยประมาณของ 0 ข้อมูลอื่นใดก็จะได้รับการชื่นชมเช่นข้อมูลทางประวัติศาสตร์แรงจูงใจความสัมพันธ์กับปัญหาอื่น ๆ เป็นต้น$\textrm{AC}^0$

คำนิยาม

ให้เป็นฟังก์ชั่นบูลีน ให้เป็นพหุนามเหนือตัวแปรถึงด้วยสัมประสิทธิ์จริง ระดับพหุนามเป็นระดับสูงสุดของ monomials ทั้งหมด ระดับของ monomial คือผลรวมของเลขชี้กำลังของต่างๆที่ปรากฏใน monomial นั้น ยกตัวอย่างเช่น9$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

พหุนามมีการกล่าวถึง -approximateถ้าสำหรับทุกxศึกษาระดับปริญญา -approximate ของฟังก์ชั่นแบบบูล , แสดงเป็นเป็นระดับต่ำสุดของพหุนามว่า -approximates ฉสำหรับชุดของฟังก์ชั่น ,เป็นระดับต่ำสุดเช่นนั้นทุกฟังก์ชันในสามารถ -approximated โดยพหุนามขององศาที่ที่สุด$p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$.

โปรดทราบว่าทุกฟังก์ชั่นสามารถแสดงได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดโดยดีกรีพหุนามฟังก์ชั่นบางอย่างต้องใช้พหุนามดีกรีเพื่อประมาณค่าความผิดพลาดคงที่ ความเท่าเทียมกันเป็นตัวอย่างของฟังก์ชั่นดังกล่าว$n$$n$

คำชี้แจงปัญหา

คืออะไร ? (ค่าคงที่ 1/3 คืออะไรก็ได้)$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

หมายเหตุ

ฉันพบปัญหานี้ในกระดาษQuantum Query Complexity ของ AC0โดย Paul Beame และ Widad Machmouchi พวกเขาพูดว่า

นอกจากนี้ผลลัพธ์ของเราไม่ทำอะไรเพื่อปิดช่องว่างในขอบเขตล่างของระดับ AC0 ของฟังก์ชันโดยประมาณ

พวกเขากล่าวถึง "ปัญหาระดับ AC0 โดยประมาณ" ในการตอบรับของพวกเขาด้วย

ดังนั้นฉันคิดว่ามีงานบางอย่างเกี่ยวกับปัญหานี้มาก่อนหรือไม่ ใครสามารถชี้ให้ฉันดูกระดาษที่พูดถึงปัญหาได้บ้าง และขอบเขตบนและล่างที่รู้จักกันดีที่สุดคืออะไร?

สิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับปัญหา (ส่วนนี้ถูกเพิ่มใน v2 ของคำถาม)

ที่ดีที่สุดที่รู้จักขอบเขตบนที่เป็นความรู้เล็ก ๆ น้อย ๆ เป็นขอบเขตบนnที่ดีที่สุดของขอบเขตล่างฉันรู้ว่ามาจาก Aaronson และชิผูกพันสำหรับการปะทะกันและองค์ประกอบที่แตกต่างปัญหาลดลงซึ่งจะช่วยให้ผูกพันลดลงของ{2/3}) (สำหรับรุ่นที่ จำกัด อย่างเข้มงวดของเช่นสูตรที่มีขนาดสูตรหรือวงจรความลึก 2 ที่มีประตูเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตบนใช้ความซับซ้อนของแบบสอบถามควอนตัม)$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$$o(n)$

ที่เกี่ยวข้อง: ระดับเกณฑ์ (เพิ่มใน v3)

เป็นจุดซึโยชิออกมาในความคิดเห็นที่ปัญหานี้เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับปัญหาของการกำหนดเกณฑ์การศึกษาระดับปริญญาของ 0 การศึกษาระดับปริญญาเกณฑ์ของฟังก์ชั่นคือการศึกษาระดับปริญญาขั้นต่ำของพหุนามดังกล่าวว่าและ<0$\textrm{AC}^0$$f$$p$$f(x)=1 \implies p(x)>0$$f(x)=0 \implies p(x)<0$

ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับระดับขีด จำกัด ของได้รับการปรับปรุงโดย Sherstov เขาแสดงครอบครัวที่มีความลึกคงที่อ่านสูตรหนึ่งครั้งในตัวแปรซึ่งระดับองศาธรณีประตูเข้าใกล้เมื่อความลึกไปถึงอินฟินิตี้ซึ่งเกือบจะแน่นตั้งแต่สูตรอ่านครั้งเดียวมีเกณฑ์ (และโดยประมาณ ) การศึกษาระดับปริญญา{n}) ดูhttp://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ (ม.ค. 2014)$\mathrm{AC}^0$$n$$\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$

บทความโดย Mark Bun และ Justin Thaler ได้รับการโพสต์ใน ECCC เมื่อเร็ว ๆ นี้ (กลางเดือนมีนาคม 2017) ที่ตอบคำถามนี้ได้อย่างแม่นยำ: "A Lower ล่างที่เหมาะสมที่สุดในระดับ AC0 โดยประมาณ"

พวกเขาอ้างว่าสำหรับมีฟังก์ชันในเช่นนั้นเกือบปิดช่องว่างด้วยเล็กน้อย พวกเขาบรรลุสิ่งนี้ด้วยวิธีการทั่วไปเพื่อเพิ่มระดับโดยประมาณของฟังก์ชั่นที่มีระดับประมาณเชิงเส้นย่อยโดยรักษาจำนวนของตัวแปรเสมือนเชิงเส้น จากนามธรรม:ฉC 0 ~ d อีกรัม 1 / 3 ( ฉ) = Ω ( n 1 - δ ) O ( n $\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

โดยเฉพาะเราแสดงวิธีแปลงฟังก์ชันบูลีนด้วยค่าประมาณเป็นฟังก์ชันบนตัวแปรที่มีระดับอย่างน้อย{2/3}) โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าแล้วเป็น polynomially ขนาดใหญ่กว่าdนอกจากนี้หากคำนวณโดยพหุนามขนาดวงจรบูลีนของความลึกคงที่แล้วเพื่อให้เป็นFd F O ( n ⋅ p o l y l o g ( n ) $f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$$d$$f$$F$

นี่คือการอัปเดตล่าสุดในขอบเขตล่างสุดของปัญหานี้และเป็นขั้นตอนสำคัญในการก้าวไปข้างหน้า ส่วนบทนำและแอปพลิเคชันของบทความเป็นแหล่งอ้างอิงที่ดีสำหรับงานก่อนหน้าและปัญหาที่เกี่ยวข้อง

คำเตือน: ฉันยังไม่ได้อ่านกระดาษอย่างระมัดระวัง