คำตอบบางส่วนก็คือสำหรับการติดฉลากแบบแม้จะไม่มีอยู่จริงk
สำหรับเซตของ disjoint ชุดย่อยS 1 , … , S t (ขนาดn / k , ให้f ( S 1 , … , S t )แสดงถึงผลรวมของค่าของพวกเขา)tS1,…,Stn/kf(S1,…,St)
การอ้างสิทธิ์: ถ้าและS 1 ∪ ... ∪ S เสื้อ ≠ S ' 1 ∪ ... ∪ S ' Tแล้วF ( S 1 , ... , S T ) ≠ F ( S ' 1 , ... , S ' T )t<kS1∪…∪St≠S′1∪…∪S′tf(S1,…,St)≠f(S′1,…,S′t)
เพื่อดูว่าทำไมเรียกร้องเป็นความจริงเลือกชุดดังกล่าวว่า⋃ k ฉัน= 1 S ฉัน = [ n ]แต่แล้วหนึ่งของหนึ่งในเหล่านี้ชุดใหม่ปริภูมิS ' ฉัน 's ดังนั้นf ( S 1 , … , S k )ไม่ได้รับอนุญาตให้เป็นเหมือนกับf ( S ′ 1 , … , S ′ t , SSt+1,…,Sk⋃ki=1Si=[n]S′if(S1,…,Sk) )f(S′1,…,S′t,St+1,…,Sk)
ข้อสรุป: TT>(ntn/k)/t
การตั้งค่าให้ขอบเขตล่างของT ≥ 2 ( nt=k/2 )T≥2(nn/2)/k=Ω(2n/n−−√)
โปรดทราบว่าสำหรับหนึ่งคี่จะได้ขอบเขตที่ต่ำกว่า( nk) แล้วสำหรับk=5เรามีH((1-1/k)/2)=H(nn(1−1/k)/2)≈2H((1−1/k)/2)n=2n(1−O(1/k2))k=5ดังนั้นเลขชี้กำลังมีแนวโน้มที่ 1อย่างรวดเร็วH((1−1/k)/2)=H(0.4)≈0.971
ฉันเดาว่าคงไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับคี่แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์มันได้อย่างไรk