ชุดย่อย

แก้ไขkสำหรับการใด ๆ ขนาดใหญ่พอที่เราต้องการที่จะติดป้ายย่อยทั้งหมดของขนาดว่าโดยจำนวนเต็มบวกจาก\} เราต้องการให้การติดฉลากนี้เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้: มีชุดของจำนวนเต็ม st$k\ge5$$n$$\{1..n\}$$n/k$$\{1...T\}$$S$

1. ถ้าย่อยของขนาดไม่ตัด (เช่นสหภาพของชุดเหล่านี้ทุกรูปแบบชุด ) แล้วผลรวมของป้ายชื่อของพวกเขาอยู่ในS$k$$n/k$$\{1..n\}$$S$
2. มิฉะนั้นผลรวมของป้ายชื่อของพวกเขาไม่ได้อยู่ในS$S$

มีและการติดฉลาก stหรือไม่?$k\ge5$$T\cdot|S|=O(1.99^n)$

ตัวอย่างเช่นสำหรับใด ๆเราสามารถติดป้ายเซ็ตย่อยด้วยวิธีต่อไปนี้ แต่ละชุดย่อยมีบิตในจำนวนของตน: บิตแรกเท่ากับ iff ชุดย่อยมีบิตที่สองเท่ากับ iff ชุดย่อยมีฯลฯ มันง่ายที่จะเห็นว่ามีเพียงองค์ประกอบเดียว$k$$T=2^n$$n$$1$$1$$1$$2$$S$$2^n-1$ 1 แต่ที่นี่$T\cdot|S|=\Theta(2^n)$ ) เราทำได้ดีกว่านี้ไหม

คำตอบบางส่วนก็คือสำหรับการติดฉลากแบบแม้จะไม่มีอยู่จริง$k$

สำหรับเซตของ disjoint ชุดย่อยS 1 , … , S t (ขนาดn / k , ให้f ( S 1 , … , S t )แสดงถึงผลรวมของค่าของพวกเขา)$t$$S_1, \ldots, S_{t}$$n/k$$f(S_1, \ldots, S_t)$

การอ้างสิทธิ์: ถ้าและS 1 ∪ ... ∪ S เสื้อ ≠ S ' 1 ∪ ... ∪ S ' Tแล้วF ( S 1 , ... , S T ) ≠ F ( S ' 1 , ... , S ' T )$t < k$$S_1 \cup \ldots \cup S_t \ne S'_1 \cup \ldots \cup S'_t$$f(S_1, \ldots, S_t) \ne f(S'_1, \ldots, S'_t)$

เพื่อดูว่าทำไมเรียกร้องเป็นความจริงเลือกชุดดังกล่าวว่า⋃ k ฉัน= 1 S ฉัน = [ n ]แต่แล้วหนึ่งของหนึ่งในเหล่านี้ชุดใหม่ปริภูมิS ' ฉัน 's ดังนั้นf ( S 1 , … , S k )ไม่ได้รับอนุญาตให้เป็นเหมือนกับf ( S ′ 1 , … , S ′ t , $S_{t+1}, \ldots, S_{k}$$\bigcup_{i=1}^{k} S_i = [n]$$S'_i$$f(S_1, \ldots, S_k)$ )$f(S'_1, \ldots, S'_t, S_{t+1}, \ldots, S_k)$

ข้อสรุป: T$T > {n \choose tn/k}/t$

การตั้งค่าให้ขอบเขตล่างของT ≥ 2 ($t = k/2$ )$T \ge 2{n \choose n/2}/k = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

โปรดทราบว่าสำหรับหนึ่งคี่จะได้ขอบเขตที่ต่ำกว่า($k$) แล้วสำหรับk=5เรามีH((1-1/k)/2)=${n \choose n(1-1/k)/2} \approx 2^{H((1-1/k)/2)n} = 2^{n(1-O(1/k^2))}$$k = 5$ดังนั้นเลขชี้กำลังมีแนวโน้มที่ 1อย่างรวดเร็ว$H((1-1/k)/2) = H(0.4) \approx 0.97$$1$

ฉันเดาว่าคงไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับคี่แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์มันได้อย่างไร$k$

นี่ไม่ใช่คำตอบเพียงคำอธิบายว่าทำไมสำหรับ k = 2 ไม่มีการติดฉลากดังกล่าว (ฉันแน่ใจว่านี่เป็นที่รู้จักกันดีของ Alex ดังนั้นนี่เป็นเพียงบทความสำหรับผู้อ่านคนอื่น ๆ เช่นตัวฉันเอง ... )

สำหรับ k = 2 เรามีn นี่เป็นเพราะมี($T\ge {n \choose n/2}\ge 1.99^n$เซตย่อยของขนาด n / 2 หากสองคนใดได้ฉลากเหมือนกันเช่น A และ B ดังนั้นผลรวมของฉลากของ A และส่วนประกอบนั้นไม่ได้อยู่ใน S หรือผลรวมของฉลากของ B และผลรวมของ A อยู่ใน S นี่หมายถึงT≥(${n \choose n/2}$(สำหรับ n ขนาดใหญ่)$T\ge {n \choose n/2}$

สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน ka ที่มีขนาดใหญ่กว่าแสดงให้เห็นว่าป้ายกำกับทั้งหมดจะต้องแตกต่างกัน ดังนั้นจึงดูเหมือนว่า k = 3 จะไม่เป็นที่รู้จัก