ชุดย่อย


10

แก้ไขkสำหรับการใด ๆ ขนาดใหญ่พอที่เราต้องการที่จะติดป้ายย่อยทั้งหมดของขนาดว่าโดยจำนวนเต็มบวกจาก\} เราต้องการให้การติดฉลากนี้เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้: มีชุดของจำนวนเต็ม stk5n{1..n}n/k{1...T}S

  1. ถ้าย่อยของขนาดไม่ตัด (เช่นสหภาพของชุดเหล่านี้ทุกรูปแบบชุด ) แล้วผลรวมของป้ายชื่อของพวกเขาอยู่ในSkn/k{1..n}S
  2. มิฉะนั้นผลรวมของป้ายชื่อของพวกเขาไม่ได้อยู่ในSS

มีและการติดฉลาก stหรือไม่?k5T|S|=O(1.99n)

ตัวอย่างเช่นสำหรับใด ๆเราสามารถติดป้ายเซ็ตย่อยด้วยวิธีต่อไปนี้ แต่ละชุดย่อยมีบิตในจำนวนของตน: บิตแรกเท่ากับ iff ชุดย่อยมีบิตที่สองเท่ากับ iff ชุดย่อยมีฯลฯ มันง่ายที่จะเห็นว่ามีเพียงองค์ประกอบเดียวkT=2nn1112S2n1 1 แต่ที่นี่T|S|=Θ(2n) ) เราทำได้ดีกว่านี้ไหม


3
ทำไม 5 และไม่ใช่ 3
domotorp

@domotorp: คุณรู้วิธีที่จะทำให้มันเล็กลงk ?
Alex Golovnev

นั่นจะเป็นหลักฐานที่สร้างสรรค์สำหรับคำถามล้านดอลลาร์! ไม่เร็วมาก! :)
Tayfun จ่าย

@Geekster: คุณช่วยอธิบายได้ไหม?
Alex Golovnev

3
เป็นไปได้ไหมที่จะสร้าง T = O (1.99 ^ n) คำถามดูเหมือนว่าจะแนะนำว่าเป็นไปได้ แต่ก็ไม่ชัดเจนว่าฉันจะทำอย่างไร
Tsuyoshi Ito

คำตอบ:


7

คำตอบบางส่วนก็คือสำหรับการติดฉลากแบบแม้จะไม่มีอยู่จริงk

สำหรับเซตของ disjoint ชุดย่อยS 1 , , S t (ขนาดn / k , ให้f ( S 1 , , S t )แสดงถึงผลรวมของค่าของพวกเขา)tS1,,Stn/kf(S1,,St)

การอ้างสิทธิ์: ถ้าและS 1... S เสื้อS ' 1... S ' Tแล้วF ( S 1 , ... , S T ) F ( S ' 1 , ... , S ' T )t<kS1StS1Stf(S1,,St)f(S1,,St)

เพื่อดูว่าทำไมเรียกร้องเป็นความจริงเลือกชุดดังกล่าวว่าk ฉัน= 1 S ฉัน = [ n ]แต่แล้วหนึ่งของหนึ่งในเหล่านี้ชุดใหม่ปริภูมิS ' ฉัน 's ดังนั้นf ( S 1 , , S k )ไม่ได้รับอนุญาตให้เป็นเหมือนกับf ( S 1 , , S t , SSt+1,,Ski=1kSi=[n]Sif(S1,,Sk) )f(S1,,St,St+1,,Sk)

ข้อสรุป: TT>(ntn/k)/t

การตั้งค่าให้ขอบเขตล่างของT 2 ( nt=k/2 )T2(nn/2)/k=Ω(2n/n)

โปรดทราบว่าสำหรับหนึ่งคี่จะได้ขอบเขตที่ต่ำกว่า( nk) แล้วสำหรับk=5เรามีH((1-1/k)/2)=H(nn(11/k)/2)2H((11/k)/2)n=2n(1O(1/k2))k=5ดังนั้นเลขชี้กำลังมีแนวโน้มที่ 1อย่างรวดเร็วH((11/k)/2)=H(0.4)0.971

ฉันเดาว่าคงไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับคี่แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์มันได้อย่างไรk


ขอบคุณวิธีแก้ปัญหาที่สวยงามมาก! แต่ผมไม่แน่ใจว่าถ้าเราสามารถคุยมันแปลกkk
Alex Golovnev

4

นี่ไม่ใช่คำตอบเพียงคำอธิบายว่าทำไมสำหรับ k = 2 ไม่มีการติดฉลากดังกล่าว (ฉันแน่ใจว่านี่เป็นที่รู้จักกันดีของ Alex ดังนั้นนี่เป็นเพียงบทความสำหรับผู้อ่านคนอื่น ๆ เช่นตัวฉันเอง ... )

สำหรับ k = 2 เรามีn นี่เป็นเพราะมี(nT(nn/2)1.99nเซตย่อยของขนาด n / 2 หากสองคนใดได้ฉลากเหมือนกันเช่น A และ B ดังนั้นผลรวมของฉลากของ A และส่วนประกอบนั้นไม่ได้อยู่ใน S หรือผลรวมของฉลากของ B และผลรวมของ A อยู่ใน S นี่หมายถึงT(n(nn/2)(สำหรับ n ขนาดใหญ่)T(nn/2)

สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน ka ที่มีขนาดใหญ่กว่าแสดงให้เห็นว่าป้ายกำกับทั้งหมดจะต้องแตกต่างกัน ดังนั้นจึงดูเหมือนว่า k = 3 จะไม่เป็นที่รู้จัก


k
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.