ระบบเชิงเส้นเป็นอย่างไรจึงสำคัญต่อวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

ฉันเริ่มมีส่วนร่วมกับการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์เมื่อไม่นานมานี้และฉันก็รักมัน ดูเหมือนว่าปัญหาการปรับให้เหมาะสมจำนวนมากสามารถแสดงและแก้ไขได้อย่างง่ายดายเช่นโปรแกรมเชิงเส้น (เช่นการไหลของเครือข่าย, ขอบ / จุดสุดยอด, พนักงานขายที่เดินทาง ฯลฯ ) ฉันรู้ว่าบางส่วนของพวกเขาเป็น NP-hard แต่ประเด็นที่พวกเขาสามารถ 'ใส่เฟรมเป็นโปรแกรมเชิงเส้น' หากไม่ได้รับการแก้ไขอย่างเหมาะสม

ที่ทำให้ฉันคิดว่า: เราได้รับการสอนระบบของสมการเชิงเส้นพีชคณิตเชิงเส้นทั้งหมดตลอดโรงเรียน / วิทยาลัย และการได้เห็นพลังของ LPs สำหรับแสดงอัลกอริธึมต่าง ๆ มันช่างน่าหลงใหล

คำถาม: แม้ว่าเราจะมีระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่แพร่หลายรอบตัวเราอย่างไร / ทำไมระบบเชิงเส้นจึงมีความสำคัญต่อวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ฉันเข้าใจว่าพวกเขาช่วยลดความเข้าใจและทำให้ง่ายต่อการคำนวณส่วนใหญ่ แต่มันคืออะไร? การประมาณนี้ดีแค่ไหน? เราลดความซับซ้อนลงมากเกินไปและผลลัพธ์ยังคงมีความหมายในทางปฏิบัติหรือไม่? หรือมันเป็นเพียง 'ธรรมชาติ' นั่นคือปัญหาที่น่าสนใจที่สุดคือเส้นตรง?

ปลอดภัยหรือไม่ที่ 'พีชคณิตเชิงเส้น / สมการ / การเขียนโปรแกรม' เป็นมุมของหินของ CS? ถ้าไม่เช่นนั้นความขัดแย้งที่ดีจะเป็นอย่างไร บ่อยแค่ไหนที่เราจัดการกับสิ่งที่ไม่ใช่เชิงเส้น (ฉันไม่ได้หมายถึงในทางทฤษฎี แต่ยังมาจากมุมมอง 'การแก้ไข' เช่นเพียงแค่บอกว่ามันไม่ตัดมันควรจะมีการประมาณปัญหาที่ดีและมันจะลงจอด เป็นเชิงเส้น?)

หลักฐานของคำถามมีข้อบกพร่องเล็กน้อย: มีหลายคนที่จะโต้แย้งว่า quadratics นั้นเป็น "ขอบเขต" ที่แท้จริงสำหรับความสามารถในการเคลื่อนย้ายและการสร้างแบบจำลองเนื่องจากปัญหากำลังสองน้อยที่สุดเกือบจะเป็นปัญหาเชิงเส้นได้ง่าย มีคนอื่น ๆ ที่ต้องการยืนยันว่านูน (หรือแม้กระทั่ง submodularity ในบางกรณี) เป็นขอบเขตสำหรับการจัดการได้ง่าย

บางทีสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องมากกว่านั้นคือ "ทำไมระบบเชิงเส้นถึงยอมรับวิธีแก้ปัญหาที่เชื่อได้ ซึ่งไม่ตรงกับที่คุณถาม แต่มีความเกี่ยวข้อง มุมมองหนึ่งในเรื่องนี้คือการเรียบเรียง เนื่องจากคุณสมบัติการกำหนดของระบบเชิงเส้นคือ$f(x + y) = f(x) + f(y)$สิ่งนี้บอกถึง "ความจำ" ต่อระบบ เพื่อสร้างวิธีแก้ไขปัญหาฉันสามารถมุ่งเน้นไปที่แต่ละชิ้นและรวมเข้าด้วยกันโดยไม่มีการลงโทษ อันที่จริงขั้นตอนวิธีส่วนใหญ่สำหรับการไหลนั้นแน่นอน

ความจำที่ไร้ประสิทธิภาพนี้มอบประสิทธิภาพ: ฉันสามารถแบ่งสิ่งต่าง ๆ ออกเป็นชิ้น ๆ หรือทำงานซ้ำ ๆ และฉันจะไม่สูญเสียไปจากการทำเช่นนั้น ฉันยังสามารถทำการตัดสินใจที่ไม่ดี (อัลกอริทึม cf โลภ) แต่การแยกสิ่งต่าง ๆ ออกมาเองไม่ได้ทำให้ฉันเจ็บ

นี่คือเหตุผลหนึ่งว่าทำไม linearity มีพลังเช่นนี้ อาจมีคนอื่นอีกหลายคน

" แม้ว่าเราจะมีระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้นแพร่หลายอยู่รอบตัวเราอย่างไรระบบเชิงเส้นจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์"

นี่คือคำตอบบางส่วนในใจของฉัน: ฉันคิดว่ามันเป็นเพราะธรรมชาติอุดมไปด้วยวัตถุ / ปรากฏการณ์ - ฟังก์ชั่นที่แสดงให้เห็นถึงแม้ว่าจะไม่เชิงเส้นในตัวถูกดำเนินการของพวกเขาเป็นสมาชิกของช่องว่างเชิงเส้น ฟังก์ชั่นของคลื่นในพื้นที่ของฮิลแบร์ตซึ่งเป็นส่วนประกอบในสเปกตรัมของฟูริเยร์, แหวนโพลิโนเมียล, กระบวนการสโทแคสติก - พวกมันทั้งหมดทำงานในแบบนั้น แม้แต่คำจำกัดความทั่วไปของช่องว่างโค้งก็ถูกสร้างขึ้นจากการจัดทำแผนภูมิขนาดเล็กของช่องว่างแบบแบน (manifolds, Riemann surface, .. ) ยิ่งไปกว่านั้นธรรมชาติเต็มไปด้วยความสมมาตรและการศึกษาความสมมาตรในการศึกษาผู้ประกอบการเชิงเส้นอย่างต่อเนื่อง (ทฤษฎีการเป็นตัวแทนในใจของฉันกำลังคืบคลานเข้ามาในหลาย ๆ สาขาของวิทยาการคอมพิวเตอร์

นอกเหนือจากกรณีที่ตัวดำเนินการเองมีลักษณะเป็นเส้นตรง

ส่วนใหญ่ของปัญหาที่เราต้องการโปรแกรมคอมพิวเตอร์เกิดขึ้นโดยตรงหรือเป็นนามธรรมจากปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ บางทีการศึกษา / การแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นไม่น่าแปลกใจนักหรอกเหรอ?