เหตุผลที่กราฟอาจจะไม่ได้

ในขณะที่เหตุผลบิตคำถามนี้ผมได้พยายามที่จะระบุเหตุผลที่แตกต่างกันซึ่งกราฟ$G = (V_G,E_G)$อาจล้มเหลวที่จะ colorable นี่คือเหตุผล 2 ข้อเท่านั้นที่ฉันสามารถระบุได้:$k$

1. $G$มีก๊กขนาด 1 นี่คือเหตุผลที่ชัดเจน$k+1$

2. มีกราฟย่อยของดังนั้นข้อความทั้งสองต่อไปนี้จึงเป็นจริง:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • $H$ไม่ใช่$k-1$ colorable
   • $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ G ในคำอื่น ๆ ที่มีอยู่โหนดในแต่ไม่ได้อยู่ในเช่นว่าเชื่อมต่อกับแต่ละโหนดในHG H x $x$$G$$H$$x$$H$

เราเห็นเหตุผล 2 ประการข้างต้นว่าเป็นกฎ ด้วยการใช้ซ้ำพวกเขาเพียง 2 วิธีในการสร้างกราฟแบบไม่มีสี$k$ซึ่งไม่มีกลุ่ม$k+1$คือ:

1. เริ่มจากวงจรที่มีความยาวเท่ากัน (ซึ่งมีสี) จากนั้นใช้กฎ 2 สำหรับk - 1ครั้ง โปรดทราบว่าขอบนั้นไม่ถือเป็นวัฏจักรของความยาว2 (มิฉะนั้นกระบวนการนี้จะมีผลในการสร้างกลุ่มk + 1 )$2$$k-1$$2$$k+1$
2. เริ่มจากวงจรที่มีความยาวคี่ (ซึ่งเป็นสี) จากนั้นใช้กฎ 2 สำหรับk - 2ครั้ง ความยาวของรอบเริ่มต้นจะต้องมากกว่า3 (มิฉะนั้นกระบวนการนี้จะมีผลกระทบจากการสร้างกลุ่มk + 1 )$3$$k-2$$3$$k+1$

คำถาม

มีเหตุผลใดเพิ่มเติมนอกเหนือจาก 2 ข้อข้างต้นที่ทำให้กราฟไม่มีสีหรือไม่?$k$

$\ $
อัปเดต 30/11/2012

สิ่งที่ฉันต้องการคือทฤษฎีบทของรูปแบบ:

กราฟมีหมายเลขสีχ ( G ) = k + 1ถ้าหาก ...$G$$\chi(G) = k + 1$

Hajos แคลคูลัสชี้ให้เห็นโดย Yuval Filmus ในคำตอบของเขาเป็นตัวอย่างที่ดีของสิ่งที่ฉันกำลังมองหาเป็นกราฟมีสีจำนวนχ ( G ) = k + 1และถ้าหากมันจะได้รับจากความจริงK k + 1โดยใช้กฎการอนุมานของแคลคูลัสซ้ำ 2 ครั้ง หมายเลขHajós h ( G )คือจำนวนขั้นต่ำที่จำเป็นในการหาG (นั่นคือความยาวของการพิสูจน์ที่สั้นที่สุด)$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

มันน่าสนใจมาก ๆ ที่:

• คำถามที่ว่ากราฟที่มีh ( G )มีอยู่จริงในขนาดของGยังคงเปิดอยู่หรือไม่$G$$h(G)$$G$
• ถ้าเช่นไม่ได้อยู่แล้วN P = C o N P$G$$NP = coNP$

คุณควรตรวจสอบแคลคูลัส Hajos Hajósแสดงให้เห็นว่าทุกกราฟที่มีหมายเลขสีอย่างน้อยมีกราฟย่อยซึ่งมี "เหตุผล" สำหรับการกำหนดสีk เหตุผลในคำถามเป็นระบบพิสูจน์สำหรับการกำหนดสีk สัจพจน์เพียงอย่างเดียวคือK kและมีกฎการอนุมานสองข้อ ดูบทความนี้โดย Pitassi และ Urquhart เกี่ยวกับประสิทธิภาพของระบบการพิสูจน์นี้$k$$k$$k$$K_k$

คำตอบบางส่วนในการที่ฉันไม่ทราบ "เหตุผล" ที่ดีที่สามารถทั่วไป แต่กราฟต่อไปนี้ (ไร้ยางอาย nicked จากที่นี่ ):

ไม่ใช่ 3 สี แต่เห็นได้ชัดว่ามี 4 สี (เป็นระนาบ) และไม่มีหรือวงจรใด ๆ ที่มีจุดสุดยอดเพิ่มเติมที่เชื่อมต่อกับจุดยอดของวงจรทั้งหมด (เว้นแต่ฉันจะหายไป แต่มีจุดเดียวเท่านั้น เชื่อมต่อกับจุดสุดยอดและเพื่อนบ้านอยู่ในรอบ 3) ยิ่งไปกว่านั้นคุณสามารถใช้กฎของเวอร์ชัน 2 เพื่อรับกราฟของหมายเลขสี 5$K_{4}$

ฉันสงสัยว่าสำหรับสกุลใดก็ตามมีกราฟของจำนวนรงค์ขั้นต่ำที่แน่นอน (ดูHeawood conjecture ) ที่ไม่เป็นไปตามกฏ 1 หรือ 2 แน่นอนว่าฉันไม่มีข้อพิสูจน์อื่นใดนอกจากสัญชาตญาณ

Lovasz พบสิ่งกีดขวางทอพอโลยีสำหรับ k-colorability และใช้ทฤษฎีของเขาเพื่อแก้ปัญหาการคาดเดาของ Knaser ทฤษฎีบทของเขามีดังต่อไปนี้ ให้ G เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกันและให้ N (G) เป็นคอมเพล็กซ์แบบง่าย ๆ ซึ่งใบหน้าเป็นส่วนย่อยของ V ที่มีเพื่อนบ้านทั่วไป จากนั้นถ้า N (K) เชื่อมต่อ k (กล่าวคือกลุ่มที่คล้ายคลึงกันที่ลดลงทั้งหมดคือ 0 ถึงมิติ k-1) ดังนั้นจำนวนสีที่จำเป็นสำหรับสี G คืออย่างน้อย k + 3

การไม่มีชุดอิสระขนาดใหญ่อาจมีความสำคัญเท่ากับการมีกลุ่มใหญ่

สิ่งกีดขวางที่สำคัญสำหรับกราฟที่ไม่มีสี k คือขนาดสูงสุดของชุดอิสระมีขนาดเล็กกว่า n / k โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด นี่เป็นสิ่งกีดขวางที่สำคัญมาก ตัวอย่างเช่นมันแสดงให้เห็นว่ากราฟสุ่มใน G (n, 1/2) มีหมายเลขสีอย่างน้อย n / log n

สิ่งกีดขวางที่ละเอียดยิ่งขึ้นสำหรับการกำหนดน้ำหนักที่ไม่จำเป็นสำหรับจุดยอดนั้นไม่มีชุดอิสระที่จับเศษส่วน 1/5 (หรือมากกว่า) ของน้ำหนักทั้งหมด โปรดทราบว่านี่รวมถึง "ไม่มีสิ่งกีดขวางกลุ่ม" LP-duality บอกคุณว่าสิ่งกีดขวางนี้เทียบเท่ากับ "หมายเลขสีเศษส่วน" ของ G ที่มีขนาดใหญ่กว่า k

นอกจากนี้ยังมีสิ่งกีดขวางสำหรับ k-colorability ในลักษณะที่แตกต่างกันซึ่งบางครั้งอาจจะไปไกลกว่ากำแพงหมายเลขเศษส่วนสี ฉันจะอุทิศส่วนต่างกับพวกเขา

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$ 1นี่คือทฤษฎีบท Gallai-Hasse-รอย Vitaver