การแจกแจงความน่าจะเป็นเชิงลึกที่ถูกผูกไว้

คำถามที่เกี่ยวข้องสองข้อเกี่ยวกับการคำนวณเชิงลึกแบบมีขอบเขต:

1) สมมติว่าคุณเริ่มต้นด้วย n bits และเริ่มต้นด้วย bit i สามารถเป็น 0 หรือ 1 ที่มีความน่าจะเป็น p (i) โดยอิสระ (ถ้าทำให้ปัญหาง่ายขึ้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่า p (i) s ทั้งหมดคือ 0,1 หรือ 1/2~~หรือแม้แต่ทั้งหมดก็ 1/2~~)

ตอนนี้คุณทำการคำนวณรอบที่ จำกัด ในแต่ละรอบคุณใช้ประตูคลาสสิกย้อนกลับในชุดบิตที่ไม่ปะติดปะต่อ (แก้ไขชุดประตูย้อนกลับคลาสสิคคลาสสิกที่คุณชื่นชอบ)

ในตอนท้ายคุณจะได้รับการแจกแจงความน่าจะเป็นในสตริงที่ n บิต มีผลต่อการ จำกัด การแจกแจงดังกล่าวหรือไม่?

ฉันกำลังมองหาบางสิ่งที่คล้ายคลึงกับ Hastad switch lemme, Boppana ทำให้ผลลัพธ์ทั้งหมดมีอิทธิพลน้อยหรือทฤษฎี LMN

2) คำถามเดียวกันกับ 1) แต่มีวงจรควอนตัมเชิงลึกที่มีขอบเขต จำกัด

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

ฉันอาจจะหายไปบางอย่าง แต่คำถามที่ 1 ที่มีเท่ากับเล็กน้อยหรือไม่? คุณเริ่มต้นด้วยการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ bijections

p (i)

$p(i)$

1 / 2

$1/2$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

— Klaus Draeger

การเปลี่ยนแปลงปัญหาของคุณมีประโยชน์หรือไม่ เปลี่ยนใส่ของคุณ (เวกเตอร์ ) กับเวกเตอร์มีความยาวเป็นตัวแทนกระจายความน่าจะมากกว่าสตริงไบนารีของความยาวnตอนนี้การคำนวณใด ๆ ที่เป็นเมทริกซ์สุ่มตารางทำหน้าที่เกี่ยวกับ (พูด) ซ้ายในการผลิตการกระจายการส่งออกมากกว่าสตริงของความยาวnWLOG เราอาจสมมติว่ารายการทั้งหมดเป็นเลขฐานสอง คำถามเดียวคืออะไรคือคลาสของเมทริกซ์สโทแคสติกที่สามารถสร้างผ่านจำนวนเมทริกซ์การคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์พื้นฐานของเรา (ประตูย้อนกลับ)

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— usul

ขออภัยฉันควรจะแม่นยำมากขึ้น โดยพื้นฐานเมทริกซ์ที่นี่ฉันหมายถึงไม่ใช่ประตูย้อนกลับ แต่เป็นชุดของประตูย้อนกลับบางชุดที่ทำหน้าที่ขนาน

— usul

คำตอบทั้งคู่สมควรได้รับความโปรดปรานฉันจะเห็นสิ่งที่ฉันสามารถทำได้

— Gil Kalai

คุณหมายถึงอะไรโดย "disjoint sets" ของบิต?

— vzn

คำตอบ:

มีเอกสารที่ค่อนข้างล่าสุดโดย Emanuele Viola และคณะซึ่งจัดการกับความซับซ้อนของการสุ่มตัวอย่างการแจกแจง พวกเขามุ่งเน้นไปที่รูปแบบที่ จำกัด ของการคำนวณเช่นต้นไม้ตัดสินใจเชิงลึกที่มีขอบเขตหรือวงจรเชิงลึกที่มีขอบเขต

น่าเสียดายที่พวกเขาไม่ได้พูดถึงประตูย้อนกลับ ในทางตรงกันข้ามมักจะสูญเสียความยาวของเอาต์พุต อย่างไรก็ตามเอกสารเหล่านี้อาจเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

วงจรที่ถูกจำกัดความลึกไม่สามารถสุ่มตัวอย่างรหัสที่ดีได้

ความซับซ้อนของการแจกแจง

— MassimoLauria
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก Massimo! มันดูมีความเกี่ยวข้องมาก

— Gil Kalai

(และฉันก็สนใจในกรณีที่ไม่สามารถย้อนกลับได้)

— Gil Kalai

คำตอบสั้น ๆ

สำหรับวงจรควอนตัมมีอย่างน้อยหนึ่งผลที่ไม่จำกัด : วงจรควอนตัมเชิงลึกที่มีขอบเขต จำกัด ไม่น่าจะสามารถจำลองได้พร้อมกับข้อผิดพลาดเล็ก ๆ หลายค่าในความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แม้สำหรับวงจรคลาสสิกพหุนาม

$\mathsf{QNC^0}$

รายละเอียด

เราอาจพิจารณาคำจำกัดความของวงจรควอนตัมเชิงลึกเชิง polylog ที่กำหนดโดยFenner และคณะ (2005) :

$\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

ประตูควิบิตเดียวจะต้องมาจากชุด จำกัด แน่นอนแม้ว่าสิ่งนี้เพียงพอที่จะจำลองการรวมกันคงที่ใด ๆ ในจำนวนคงที่ของ qubits เพื่อความแม่นยำคงที่ใด ๆ นอกจากนี้เรายังอนุญาตให้เซตย่อยใด ๆ ของ qubits ในตอนท้ายของวงจรเพื่อใช้แทนการส่งออกของตระกูลวงจร (เช่น qubit เดียวสำหรับฟังก์ชันบูลีน)

Bremner, Jozsa และ Sheppard (2010) note (ดูหัวข้อที่ 4) ว่าโดยใช้การดัดแปลงของเทคนิคการเคลื่อนย้ายมวลสารเนื่องจากTerhal และ DiVincenzo (2004)โพสต์ - คัดเลือกบาง qubits ในวงจรทำให้มันเป็นไปได้ที่จะตัดสินใจปัญหาในการPP} โดยใช้ผลของพวกเขาในการจำลองวงจร postselected นี้แสดงให้เห็นว่าปัญหาของคลาสสิกการสุ่มตัวอย่างจากการกระจายการส่งออกของพลวงจรที่มีเอาท์พุทบูลที่มีข้อผิดพลาดการคูณที่มากที่สุดน่าจะสุ่มตัวอย่างที่อยู่ใน เป็นไปไม่ได้กับวงจรความลึกแบบพหุนามแบบสุ่มยกเว้นว่าลำดับชั้นพหุนามลดลงบางส่วน (โดยเฉพาะ $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$ )

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

เรียนนีแอลน่าสนใจมาก! ขอบคุณ! ฉันสนใจเป็นพิเศษในการแจกแจง คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไม "สิ่งนี้แน่นอนไม่ได้บอกคุณ ... "?

— Gil Kalai

ผลคงปัจจัย inapproximability ถือผ่านPostQNC⁰ = PostBQP = PP Postselection ถูกใช้ที่นี่เพื่อ "บังคับความสำเร็จ" ของสายยาวของการส่งผ่านทางไกลเพื่อจำลองการกระจายควอนตัมเชิงลึกผ่านการกระจายเชิงลึกควอนตัมที่คงที่ในกรณีที่มีความน่าจะเป็นต่ำมาก แต่ไม่เป็นศูนย์ ปัจจัยคงที่ของการประมาณค่าคงที่เช่นกันสำหรับวงจรความลึกโพลี แต่สิ่งนี้ไม่ได้บอกคุณเช่นขอบเขตบนของจำนวนแอมพลิจูดในเงื่อนไขสัมบูรณ์ (และซีมโทติค) ที่เข้มข้น (หรืออาจถูกฉายลงบน) พื้นที่ย่อยใด ๆ

— Niel de Beaudrap