0-1 การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น: การคำนวณสูตรที่เหมาะสมที่สุด

พิจารณามิติและให้เป็นข้อ จำกัด เชิงเส้นของรูปแบบที่ , $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ และ R $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

เห็นได้ชัดว่ามีผลของการแยกในสองส่วนย่อยและคมีทั้งหมดและมีเพียงจุดเหล่านั้นที่น่าพอใจในขณะที่มีทั้งหมดและมีเพียงจุดเหล่านั้นปลอมแปลงค $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

สมมติว่า nตอนนี้ให้เป็นเซตย่อยของเพื่อให้ประโยคทั้งสามข้อต่อไปนี้ถือ: $|S_c| \geq n$ $O$ $S_c$

มีคะแนนแน่นอน $O$ $n$
จุดดังกล่าวเป็นอิสระเชิงเส้น $n$
ดังกล่าวจุดเหล่านั้นที่ระยะต่ำสุดจากไฮเปอร์เพลนที่แสดงโดยคอีกอย่างแม่นยำให้เป็นระยะทางของจุดจากไฮเปอร์เพลคจากนั้นเช่นนั้นที่ตามข้อ 1 และ 2 เป็นกรณีที่ $n$ $c$ $d( x, c )$ $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ )ในคำอื่น ๆคือในทุกส่วนย่อยของความพึงพอใจของทั้งสองเงื่อนไขที่ 1 และ 2 เป็นผู้หนึ่งที่ช่วยลดผลรวมของระยะทางของจุดของมันจากไฮเปอร์เพลค $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

คำถาม

ได้รับก็เป็นไปได้ในการคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ? $c$ $O$

อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดในการคำนวณมันคืออะไร?

$\$

ตัวอย่างด้วย $n = 3$

Example with n = 3

, } $S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

อัพเดท 05/12/2012

แรงจูงใจ

แรงจูงใจคือการใช้มันควรจะเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบข้อ จำกัด ที่ดีที่สุดตามที่มันควรจะไฮเปอร์เพลที่กำหนดโดยคะแนนในO $O$ $c^*$ $n$ $O$

ข้อ จำกัด ที่ดีที่สุดเป็นหนึ่งที่นำไปสู่การที่ดีที่สุด polytope * $c^*$ $P^*$

polytope ที่ดีที่สุดเป็นหนึ่งที่มีจุดที่มีอยู่ทั้งหมดและมีเพียงจุดจำนวนเต็มของเริ่มต้น polytope (เป็นจุดสุดยอดจำนวนเต็มเป็นจุดสุดยอดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด) $P^*$ $P$

Optimal Formulation

กระบวนการสามารถซ้ำสำหรับแต่ละข้อ จำกัดของ 0-1 เช่นทุกครั้งที่ทำหน้าที่แทนสอดคล้องกับข้อ จำกัด ของมันที่ดีที่สุด *ในตอนท้ายนี้จะนำไปสู่การที่ดีที่สุด polytope ของฉันจากนั้นเนื่องจากจุดยอดของล้วน แต่มีเพียงจุดยอดจำนวนเต็มของจุดเริ่มต้น polytope ของอัลกอริธึมใด ๆ สำหรับจึงสามารถนำมาใช้ในการคำนวณหาจำนวนเต็มที่เหมาะสมที่สุด ฉันรู้ว่าความสามารถในการคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพจะหมายถึง $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ อย่างไรก็ตามคำถามเพิ่มเติมต่อไปนี้ยังคงมีอยู่: $P = NP$

คำถามเพิ่มเติม

มีงานก่อนหน้าตามสายเหล่านี้หรือไม่? ทุกคนได้รับการตรวจสอบแล้วงานของการคำนวณที่กำหนด polytope มันสอดคล้องกันที่ดีที่สุด polytope ? อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดคืออะไร $P$ $P^*$

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องยากที่จะทำโดยลดจากผลรวมย่อย รับจำนวนเต็มไบนารี

, เพื่อทดสอบว่ามีเซตย่อยที่รวมกับ

, เราสามารถทดสอบว่ามีจุดบนไฮเปอร์เพลน

หรือไม่ คุณมีความสนใจในการประมาณหรือไม่?

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— โคลินแม

@ColinMcQuillan: คำถามนี้มีความหมายสำหรับการแก้ปัญหาที่แน่นอน แต่ฉันก็สนใจในการประมาณเช่นกัน ทำไมคุณไม่เปลี่ยนความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ?

— Giorgio Camerani

@ColinMcQuillan: นอกจากนี้ไฮเปอร์เพลนของคุณจะถูกกำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกันในขณะที่ของฉันถูกกำหนดโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน คุณแน่ใจหรือไม่ว่าสิ่งนี้ไม่สร้างความแตกต่างในด้านความแข็ง? ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบดังนั้นฉันแค่ถาม

— Giorgio Camerani

O

$O$

S_{c}

$S_c$

ดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องยากที่จะทำโดยลดจากผลรวมย่อย สมมติว่าเรามีขั้นตอนการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ $O$ . รับจำนวนเต็มบวก $v_1,\dots,v_n$ เข้ารหัสเป็นเลขฐานสองเราต้องการทดสอบว่ามีข้อสรุปย่อยหรือไม่ $s$ . ประมวลผลล่วงหน้าโดยการปล่อยจำนวนเต็มใด ๆ ที่ใหญ่กว่า $s$ .

เรียกขั้นตอนเพื่อรับชุดเล็ก $O$ จุดที่น่าพอใจ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ ให้เป็นไปตามเงื่อนไขขั้นต่ำของคุณ $|S_c|\geq n$ ). This set will certainly contain a point on the hyperplane $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$ if there is one.

— Colin McQuillan
แหล่งที่มา

Maybe I'm overlooking something macroscopic here, but I have 2 questions: 1) When you say "Given binary integers" what do you mean by binary?

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$ belong to

R

$\mathbb{R}$ . Maybe you mean encoded in binary? Or maybe you wanted to say positive? 2) Why throwing out all the integers larger than

s

$s$ ? They may contribute to the solution. For example:

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$ if you throw away

v_{2}

$v_2$ you lose the only solution

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$ .

— Giorgio Camerani

I think what Colin means is that if the constraint coefficients

a_{i}

$a_i$ are rational numbers, in their usual binary representation, then your problem appears to NP-hard. (Mixing real numbers and NP-hardness is always tricky.)

— Jeffε

@GiorgioCamerani: I did need to say positive - I've updated my answer.

— Colin McQuillan

It seems to me you are trying to get to the convex hull of the IP - in essence this is what cut algorithms try to achieve. Although thereotically appealing these methods fare poorly in practice.

There is all theory on the generation of valid inequalities. A good starting point would be shrijver's book theory of integer programming.

— AJ Student
แหล่งที่มา