การเพิ่มความเร็วพหุนามด้วยอัลกอริทึมโดยใช้การเขียนโปรแกรม semidefinite

นี่คือการติดตามของคำถามที่ถามเมื่อเร็ว ๆ นี้โดย A. Pal: แก้โปรแกรม semidefinite ในเวลาพหุนาม

ฉันยังสับสนกับเวลาทำงานจริงของอัลกอริทึมที่คำนวณวิธีแก้ปัญหาของโปรแกรม semidefinite (SDP) ขณะที่โรบินชี้ให้เห็นในความคิดเห็นของเขากับคำถามข้างต้น SDPs ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยทั่วไป

ปรากฎว่าถ้าเรากำหนด SDP ของเราอย่างระมัดระวังและเรากำหนดเงื่อนไขว่าขอบเขตที่เป็นไปได้เบื้องต้นนั้นดีเพียงใดเราสามารถใช้วิธีรี ellipsoid เพื่อให้พหุนามผูกพันกับเวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา SDP (ดูหัวข้อ 3.2 ใน L. Lovász, โปรแกรม Semidefinite และการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial ) ขอบเขตที่ระบุมี " เวลาพหุนาม " ทั่วไปและที่นี่ฉันสนใจในขอบเขตที่หยาบน้อยกว่า

แรงจูงใจมาจากการเปรียบเทียบสองอัลกอริทึมที่ใช้สำหรับปัญหาการแยกควอนตัม (ปัญหาจริงไม่เกี่ยวข้องที่นี่ดังนั้นอย่าหยุดอ่านผู้อ่านคลาสสิก!) อัลกอริทึมนั้นขึ้นอยู่กับลำดับชั้นของการทดสอบที่สามารถแปลงเป็น SDP และการทดสอบแต่ละครั้งในลำดับชั้นจะอยู่บนพื้นที่ขนาดใหญ่นั่นคือขนาดของ SDP ที่สอดคล้องกันนั้นใหญ่กว่า อัลกอริทึมสองอย่างที่ฉันต้องการเปรียบเทียบแตกต่างกันในการแลกเปลี่ยนต่อไปนี้: ในอันแรกเพื่อค้นหาโซลูชันที่คุณต้องไต่ระดับขั้นตอนเพิ่มเติมของลำดับชั้นและในขั้นตอนที่สองขั้นตอนของลำดับชั้นสูงกว่า แต่คุณต้องปีนน้อยลง ของพวกเขา. เป็นที่ชัดเจนว่าในการวิเคราะห์การแลกเปลี่ยนนี้เวลาทำงานที่แม่นยำของอัลกอริทึมที่ใช้ในการแก้ปัญหา SDP เป็นสิ่งสำคัญ การวิเคราะห์อัลกอริธึมเหล่านี้ทำโดยNavascuésและคณะ ในarxiv: 0906.2731ที่พวกเขาเขียน:

... ความซับซ้อนของเวลาของ SDP ที่มีตัวแปรและขนาดเมทริกซ์คือ (โดยมีค่าใช้จ่ายเพิ่มเติมเล็กน้อยมาจากการวนซ้ำของอัลกอริทึม) $m$ $n$ $O(m^2 n^2)$

ในบทความอื่นที่เสนอวิธีการแก้ปัญหานี้เป็นครั้งแรกผู้เขียนให้ขอบเขตเดียวกัน แต่พวกเขาใช้คำว่า " จำนวนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ " ระมัดระวังมากกว่าแทนที่จะเป็น " ความซับซ้อนของเวลา "

คำถามของฉันคือสองเท่า:

อัลกอริทึม / ขอบเขตใดที่Navascuésและคณะ อ้างถึง?
ฉันสามารถแทนที่นิพจน์ "เวลาพหุนาม" ในLovászด้วยบางสิ่งบางอย่างหยาบน้อยกว่า (รักษาสมมติฐานเดียวกัน)?

quantum-information semidefinite-programming analysis-of-algorithms

— Alessandro Cosentino
แหล่งที่มา

ความเข้าใจของฉันอยู่ที่วิธีการรีให้คำตอบที่เป็นข้อผิดพลาดภายในสารเติมแต่ง

ในเวลาพหุนามใน

)

สำหรับปัญหามากที่สุดหนึ่งอาจสงสัยว่า

อาจพอเพียง

ϵ

$\epsilon$

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

ϵ = Ω (1 / 2^{n})

$\epsilon = \Omega(1/2^n)$

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: นั่นเป็นสิทธิวิธีการทรงรีผลงานในเวลาพหุนามในขนาดของการฝึกอบรมการป้อนข้อมูลขนาดของข้อ จำกัด และ

)

ปัญหาคือว่าสำหรับแอปพลิเคชันที่ฉันพูดถึงในคำถามการบอกว่า "พหุนาม" นั้นไม่เพียงพอฉันต้องการขอบเขตที่แม่นยำยิ่งขึ้น

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

— Alessandro Cosentino

ฉันไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดของวิธี ellipsoid โดยเฉพาะสำหรับโปรแกรม semi-definite แต่สำหรับโปรแกรมlinearการวิเคราะห์วิธี ellipsoid นั้นค่อนข้างบอบบาง

ก่อนอื่นเราต้อง จำกัด จำนวนการวนซ้ำของอัลกอริธึมทรงรีในอุดมคติ ให้จะ ellispoid ที่ใช้ในการย้ำ TH ของขั้นตอนวิธีรีและให้จะเซนทรอยด์ของตน ในขั้นตอนวิธีการที่เหมาะพยากรณ์แยก / สมาชิกจะช่วยให้คุณ halfspace ที่มีจุดสูงสุดแต่ไม่ centroid ฉันถัดไปรีเป็นที่เล็กที่สุดที่มีรี $E_i$ $i$ $c_i$ $h_i$ $x^*$ $c_i$ $E_{i+1}$ ฉันสำหรับแต่ละคนเรามี $E_i\cap h_i$ $i$ โดยที่คือมิติ ดังนั้นจึงได้รับการเริ่มต้นที่เหมาะสมรีจำนวนของการทำซ้ำเป็นพหุนามในและ)การคำนวณจากและต้องการการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ดังนั้นจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จึงเป็นพหุนามในและ $vol(E_{i+1}) < (1-\frac{1}{n})\cdot vol(E_i)$ $n$ $n$ $\log(1/\varepsilon)$ $E_{i+1}$ $E_i$ $h_i$ $O(n^2)$ $n$ ) $\log(1/\varepsilon)$
อย่างไรก็ตามการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างนั้นเป็นรากที่สอง! มันตามที่ค่าสัมประสิทธิ์ของอุดมคติรีเป็นตัวเลขที่ไม่ลงตัวของการศึกษาระดับปริญญาและเพื่อให้มีความหวังของจริงไม่มีการคำนวณว่าในเวลาที่เหมาะสมใด ๆ ดังนั้นแทนหนึ่งคำนวณประมาณนอกในแต่ละการทำซ้ำโดยใช้เลขคณิตความแม่นยำแน่นอน Grötschel, Lovasz และ Schrijver พิสูจน์ให้เห็นว่าถ้าใครใช้ (พูด) บิตของความแม่นยำใน ซ้ำ, th เรายังคงมี $E_i$ $2^i$ $E_{i+1}$ $\tilde{E}_i \supset E_i$ $10i$ $i$ ดังนั้นจำนวนการวนซ้ำที่เพิ่มขึ้นโดยปัจจัยคงที่มากที่สุด แต่ตอนนี้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระหว่างการทำซ้ำ(รวมถึงการดำเนินการโดย oracle แยก) ต้อง $vol(\tilde E_{i+1}) < O(1-\frac{1}{n})\cdot vol(\tilde E_i)$ $i$ เวลา $O(i~\text{polylog}~i)$

โดยรวมเวลาในการทำงานทั้งหมดของเมธอด ellipsoid นั้นเป็นค่าประมาณกำลังสองของจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือพหุนามในและดังนั้นเวลาทำงาน $n$ $\log(1/\varepsilon)$

— Jeffε
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. หากฉันรับทราบอย่างถูกต้องนี่คือสิ่งที่ฉันมี (คร่าวๆ):

(n. ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์)

(เวลาสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แต่ละครั้ง) ผมก็ยังไม่ได้มีความผูกพันอยู่กับจำนวนของการทำซ้ำยกเว้นว่าเป็นพหุนามใน

และ

)

บางทีฉันอาจไม่ชัดเจนในคำถามของฉัน แต่ฉันสนใจในขอบเขตที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับจำนวนการวนซ้ำ (เช่น:

, ... )

\sum_{i = 1}^{n. of iterations} O (n^{2})

$\sum_{i = 1}^{\text{n. of iterations}} O(n^2)$

\times O (i polylog i)

$\times O(i \operatorname{polylog}i)$

n

$n$

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

n

$n$ ,

n^{2}

$n^2$

— Alessandro Cosentino

อีกอย่างหนึ่ง: จำนวนข้อ จำกัด ไม่ควรปรากฏที่อื่นในการวิเคราะห์ด้วยหรือไม่ นอกจากนี้เฉพาะโปรแกรมเชิงเส้นหรือไม่

— Alessandro Cosentino

นอกจากนี้คุณยังต้องคำนึงถึงระยะเวลาการทำงานของ oracle แยกด้วย นั่นคือสิ่งที่จำนวนข้อ จำกัด ปรากฏขึ้น สำหรับ LPs ที่ชัดเจน Oracle การแยกจะพยายาม จำกัด หนึ่งครั้ง สำหรับ LP ที่แสดงโดยนัยมันซับซ้อนกว่า

— Jeffε