สถานะบนขอบเขตล่างของวงจรสำหรับวงจรเชิงลึกที่ จำกัด ขอบเขตด้วยโพลีล็อก

ความซับซ้อนของวงจรเชิงลึกที่ถูก จำกัด ขอบเขตเป็นหนึ่งในพื้นที่หลักของการวิจัยภายใต้ทฤษฎีความซับซ้อนของวงจร หัวข้อนี้มีต้นกำเนิดในผลลัพธ์เช่น "ฟังก์ชัน parity ไม่ได้อยู่ใน " และ " ฟังก์ชันmodไม่ได้คำนวณโดย " โดยที่เป็นคลาส ภาษา decidable โดยไม่สม่ำเสมอลึกอย่างต่อเนื่องขนาดพหุนามมากมายแฟนใน AND, OR, NOT และโมดูโลประตูที่ 1 อย่างไรก็ตามการได้ผลลัพธ์ขอบเขตที่ต่ำกว่าอย่างเป็นรูปธรรมในวงจรเชิงลึกของโพลีโลกาติกไมโครดูเหมือนจะไม่สามารถเข้าถึงได้โดยใช้วิธีการแบบดั้งเดิมเช่นการ จำกัด อินพุตและการประมาณพหุนามประมาณหลายในฟิลด์ จำกัด$AC^{0}$A C 0 [ q ] A C 0 [ q ] q gcd ( p , q ) = $p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$

ฉันรู้ว่ากระดาษ STOC'96 ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิตและซึ่งแสดงให้เห็นว่าการคำนวณแบบขนานที่มีประสิทธิภาพโดยใช้การดำเนินการโดยไม่ต้องใช้บิตที่ชาญฉลาดไม่สามารถคำนวณปัญหาการไหลของต้นทุนต่ำสุดได้

ซึ่งหมายความว่าในการตั้งค่าที่ จำกัด บางอย่างเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าของ$NC$สำหรับปัญหาบางอย่างของ$P$ complete

ก่อนอื่นมีวิธีการหรือเทคนิคอื่น ๆ ที่อาจเป็นแนวทางที่เป็นไปได้ในการพิสูจน์ขอบเขตความลึกของโพลี

ข้อที่สองมีประโยชน์อย่างไรต่อไปนี้สำหรับชุมชนทฤษฎี?

ขนาดของวงจรคำนวณฟังก์ชั่นบูลีนอย่างน้อยlซึ่งlเป็นจำนวนทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความแข็งของ ฟังก์ชันเป้าหมายf . ค่าของlอาจจะเป็นเช่นปริมาณ combinatorial เช่นความแตกต่างปริมาณเชิงพีชคณิตเชิงเส้นเช่นอันดับของเมทริกซ์บางประเภทบนสนามหรือจำนวนใหม่ทั้งหมดที่ไม่เคยใช้ในทฤษฎีความซับซ้อนf : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } l l f $NC$$f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$l$$l$$f$$l$

ในเทคนิคสำหรับการพิสูจน์ขอบเขตโพลีล็อก - ความลึกต่ำกว่าแนวทางปัจจุบันทั้งหมดทำงานภายใต้การตั้งค่าที่จำกัด เช่นเดียวกับในงานที่นำไปสู่ ​​GCTที่คุณพูดถึงขอบเขตล่างจะใช้กับรุ่น PRAM ที่ จำกัด โดยไม่มีการดำเนินการบิต

ภายใต้ข้อ จำกัด อื่นซึ่งเป็นข้อ จำกัด โมโนโทนสำหรับฟังก์ชั่นบูลีน monotone มีวิธีการวิเคราะห์ฟูริเยร์ (หรือ enumerative-combinatorial) เพื่อพิสูจน์ขอบเขตต่ำลึกวงจรโมโนโทนในการทำงานร่วมกันของฉันกับ Aaron Potechin ( ECCCและSTOC ) สิ่งนี้ปรับปรุงจากผลลัพธ์ก่อนหน้าโดย Ran Raz และ Pierre McKenzie ซึ่งขยายกรอบการสื่อสารของ Mauricio Karchmer และ Avi Wigderson เกี่ยวกับความลึกของวงจร

อีกหนึ่งสายงานวิจัยเพื่อขยายเกม Karchmer – Wigderson ถูกเสนอให้เป็น เกมการสื่อสารที่ถูกอ้างถึงโดย Scott Aaronson และ Avi Wigderson ซึ่งแนะนำให้ใช้วิธีการแยก NC จาก P โดย Gillat Kol และ Ran Raz ( ECCCและITCS )

นอกเหนือจากการศึกษาข้อ จำกัด ทางไวยากรณ์ของการพูดซ้ำซากมีวิธีการศึกษาข้อ จำกัด ทางความหมายที่เกี่ยวข้องกับเกมก้อนกรวด (เรียกว่าโปรแกรมกิ่งแตกประหยัด) โดยสตีเฟ่นคุกปิแอร์ McKenzie ดัสติน Wehr มาร์ค Braverman และราหุล Santhanam มีขอบเขตล่างที่แข็งแกร่งภายใต้ข้อ จำกัด การประหยัดโดย Dustin Wehr ซึ่งตรงกับขอบเขตบนที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหา P-Complete ผลลัพธ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนของพื้นที่ที่กำหนดขึ้นซึ่งลดขอบเขตเวลาขนานหรือความลึกของวงจรตามผลการจำลองที่รู้จัก (เช่นตั้งแต่ )$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

เกี่ยวกับคำถามเกี่ยวกับขนาดและความลึกของวงจรแนวทางต่อไปนี้อาจเกี่ยวข้องกัน ริชาร์ดลิปตันและไรอันวิลเลียมส์แสดงให้เห็นว่าเมื่อขีด จำกัด ล่างที่แข็งแกร่งเพียงพอต่อความลึก (เช่น ) ขนาดที่เล็กกว่าขอบเขตที่อ่อนแอ (เช่นn 1 + Ω ( 1 ) ) สามารถแยก NC จาก P ได้ ติดตามจากอาร์กิวเมนต์การแลกเปลี่ยนเชิงลึกขนาดตามการจำลองการเคารพบล็อก ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความลึกของการซื้อขายสำหรับขนาดนั้นเกิดจาก Allender และKouckýตามแนวคิดของการลดความมันด้วยตนเอง แต่ได้ศึกษาชั้นเรียนที่ซับซ้อนน้อยกว่าเช่น NC 1และ NL$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

โปรดทราบว่าในบรรดาวิธีการที่กล่าวมาข้างต้นบางคนพิจารณาทั้งขนาดและความลึกของวงจรในขณะที่วิธีการอื่นพิจารณาเฉพาะความลึกของวงจร โดยเฉพาะวิธีกึ่ง - อัลโบร - เรขาคณิตของMulmuleyวิธีการแข่งขันโปรโตคอล - สุภาษิตศึกษาโดยKol – Razและแนวทางการแลกเปลี่ยนเชิงลึกขนาดของAllender – KouckýและLipton – Williamsล้วนเกี่ยวข้องกับทั้งขนาดและความลึก ของวงจร ผลลัพธ์ที่ได้ใน Chan – Potechin , Raz – McKenzie , Cook – McKenzie – Wehr – Braverman – SanthanamและWehrให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าของวงจรเชิงลึกภายใต้การตั้งค่าที่ จำกัด โดยไม่คำนึงถึงขนาด นอกจากนี้เกมการสื่อสารที่อ้างถึงของAaronson – Wigdersonเกี่ยวข้องกับความลึกของวงจรเท่านั้น

มันยังคงสอดคล้องกับความรู้ของเราว่าปัญหา P-Complete บางอย่างไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรที่มีความลึกเล็กน้อย (เช่น$\log^{O(1)}n$ ) โดยไม่คำนึงถึงขนาด หากขนาดไม่สำคัญสำหรับวงจรความลึกขนาดเล็ก (ของพัดลมติดเพดานแบบมีขอบ) ดังนั้นอาจทำให้รู้สึกถึงการโฟกัสที่ความลึกของวงจรได้มากกว่าการมุ่งเน้นที่ขนาดของวงจรความลึกขนาดเล็ก

ทำตามคำแนะนำของ Kaveh ฉันใส่ความคิดเห็นของฉันเป็นคำตอบ (ขยาย)

เกี่ยวกับ$Q1$มีคำเตือนอยู่ในลำดับ: แม้แต่ความลึกลอการิทึมหากยังไม่เข้าใจ ดังนั้นในโลกที่ไม่ใช่เสียงเดียวปัญหาที่แท้จริงนั้นมีความทะเยอทะยานน้อยกว่ามาก:

ปัญหาเชิงลึกของการเอาชนะปัญหา:พิสูจน์ขอบเขตล่างสุด (!) สำหรับวงจร $NC^1$

ปัญหายังคงเปิดอยู่ (ตอนนี้มากกว่า 30 ปี) แม้กระทั่งสำหรับวงจรเชิงเส้น เหล่านี้เป็น fanin- 2วงจรกว่าพื้นฐาน{ ⊕ , 1 }และพวกเขาคำนวณเชิงเส้นแปลงF ( x ) = xมากกว่าG F ( 2 ) แสดงการนับได้ง่ายว่าเมทริกซ์Aเกือบทั้งหมดต้องการ ประตูΩ ( n 2 / log n )ในทุกระดับความลึก $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

เกี่ยวกับ$Q2$ : ใช่เรามี มาตรการเกี่ยวกับพีชคณิต / combinatoric ขอบเขตที่ต่ำกว่าซึ่งจะเอาชนะวงจรเชิงลึก น่าเสียดายที่เราไม่สามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ใหญ่พอสำหรับมาตรการเหล่านี้ได้ กล่าวว่าสำหรับการเชิงเส้น -circuits, มาตรการดังกล่าวเป็นความแข็งแกร่งR ( R )ของเมทริกซ์ นี้เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดของรายการของว่าหนึ่งในความต้องการที่จะเปลี่ยนเพื่อลดยศไปR มันง่ายที่จะแสดงว่าR A ( r ) ≤ ( r $NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$ถือสำหรับทุกบูล n × nเมทริกซ์และองอาจ (1977) ได้แสดงให้เห็นว่าผูกพันนี้จะแน่นเกือบทั้งหมดเมทริกซ์ ในการเอาชนะวงจรความลึกของบันทึกมันก็เพียงพอที่จะแสดงลำดับของบูลีน n × nเมทริกซ์ Aเช่นนั้น$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$$n\times n$$A$

สำหรับค่าคงที่ ε , δ > 0 $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$$\epsilon,\delta>0$

ที่ดีที่สุดของเรารู้เพื่อให้ห่างไกลมีการฝึกอบรมกับR ( R ) ≥ ( n 2 / R ) เข้าสู่ระบบ( n / R ) สำหรับซิลเวสเมทริกซ์ (เช่นการฝึกอบรมผลิตภัณฑ์ภายใน) ที่ต่ำกว่าผูกพันของΩ ( n 2 / R )เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดง $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$$\Omega(n^2/r)$

เรามีมาตรการ combinatorial สำหรับทั่วไป (ไม่ใช่เชิงเส้น) วงจรเช่นกันสำหรับ bipartite n × n กราฟGให้t ( G )เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดtซึ่งGสามารถเขียนเป็นจุดตัดของt bipartite กราฟแต่ละการเป็นสหภาพของที่มากที่สุดเสื้อกราฟสองส่วนบริบูรณ์ ในการเอาชนะวงจรความลึกของบันทึกทั่วไปมันก็เพียงพอแล้วที่จะหาลำดับของกราฟด้วย$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

สำหรับค่าคงที่ ϵ > $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

(ดูเช่นที่นี่เกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น) อีกครั้งเกือบทุกคนมีกราฟ 2 อย่างไรก็ตามสิ่งที่ดีที่สุดยังคงเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าt ( G ) ≥ log 3$t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$สำหรับการฝึกอบรมซิลเวสเนื่องจากLokam

ในที่สุดขอผมพูดถึงว่าเรายังมีมาตรการ combinatorial (ง่าย) ที่ จำกัด ขอบเขต (เชิงเส้น) ที่อ่อนแอ (เชิงเส้น) ซึ่งจะให้ผลแบบเอกซ์โปเนนเชียล (!) ขอบเขตล่างสำหรับวงจรที่ไม่ใช่โมโนโทน สำหรับ bipartite กราฟGให้c ( G )เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดของ fanin - 2 union ( ∪ ) และการแยก ( ∩ ) ที่จำเป็นในการสร้างGเมื่อเริ่มต้นจากดาว; ดาวคือชุดของขอบที่เชื่อมต่อกับจุดยอดหนึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่อีกด้านหนึ่ง กราฟเกือบทั้งหมดมีc ( G ) = Ω ( $n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$$\cap$$G$ ) ในทางกลับกันขอบเขตล่างของ$c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

สำหรับค่าคงที่ ϵ > $c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$$\epsilon>0$

$\Omega(2^{N/2})$$f_G$$N$$G$$n\times m$$m=o(n)$$c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$$c(G)\geq (2-\epsilon)n$$-\epsilon$$+\epsilon$$ACC$

$2+\epsilon$$P\neq NP$$c(G)$ขอบเขตล่าง: คลาสความซับซ้อนบางอย่างมีฟังก์ชันที่ต้องการวงจรหรือสูตรขนาดใหญ่ แต่เป้าหมายสูงสุดคือการสร้างฟังก์ชั่นที่ชัดเจนอย่างชัดเจนซึ่งคำจำกัดความไม่มี "อัลกอริทึมกลิ่น" ไม่มีความซับซ้อนที่ซ่อนอยู่