ภาพใหญ่ขึ้นด้านหลังตัวเลือกเมทริกซ์ในอัลกอริทึม Strassen

ในขั้นตอนวิธีการ Strassen, การคำนวณผลิตภัณฑ์สองเมทริกซ์และ , เมทริกซ์และจะแบ่งออกเป็นการฝึกอบรมป้องกันและขั้นตอนวิธีการดำเนินการซ้ำคอมพิวเตอร์บล็อกผลิตภัณฑ์แมทริกซ์แมทริกซ์เมื่อเทียบกับไร้เดียงสา matrix- บล็อก ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์คือถ้าเราต้องการโดยที่ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $2 \times 2$ $7$ $8$ $\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B}$ จากนั้นเรามี

A = [\begin{matrix} A_{1, 1} & A_{1, 2} \\ A_{2, 1} & A_{2, 2} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} B_{1, 1} & B_{1, 2} \\ B_{2, 1} & B_{2, 2} \end{matrix}], ค = [\begin{matrix} ค_{1, 1} & ค_{1, 2} \\ ค_{2, 1} & ค_{2, 2} \end{matrix}]

$\mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\ \mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\ \mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\ \mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2} \end{bmatrix}$

ซึ่งต้องการ

คูณ ใน Strassen เราคำนวณ

ค_{1, 1} = A_{1, 1} B_{1, 1} + A_{1, 2} B_{2, 1} ค_{1, 2} = A_{1, 1} B_{1, 2} + A_{1, 2} B_{2, 2} ค_{2, 1} = A_{2, 1} B_{1, 1} + A_{2, 2} B_{2, 1} ค_{2, 2} = A_{2, 1} B_{1, 2} + A_{2, 2} B_{2, 2}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}$

8

$8$

และรับ

's ใช้

เป็น

M_{1} = (A_{1, 1} + A_{2, 2}) (B_{1, 1} + B_{2, 2}) M_{2} = (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1} M_{3} = A_{1, 1} (B_{1, 2} - B_{2, 2}) M_{4} = A_{2, 2} (B_{2, 1} - B_{1, 1}) M_{5} = (A_{1, 1} + A_{1, 2}) B_{2, 2} M_{6} = (A_{2, 1} - A_{1, 1}) (B_{1, 1} + B_{1, 2}) M_{7} = (A_{1, 2} - A_{2, 2}) (B_{2, 1} + B_{2, 2})

$\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}\\ \mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})\\ \mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})\\ \mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})$

C_{i, j}

$\mathbf{C}_{i,j}$

M_{k}

$\mathbf{M}_{k}$

อย่างไรก็ตามตัวเลือกของเมทริกซ์

ดูเหมือนจะเป็นเรื่องที่ไม่ชอบสำหรับฉัน ทำไมเราถึงเลือกผลิตภัณฑ์เฉพาะของเมทริกซ์ย่อยของ

และ

? นอกจากนี้ฉันคาดว่า

จะเกี่ยวข้องกับ

และ

ในแบบสมมาตรซึ่งดูเหมือนจะไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่นเรามี

ค_{1, 1} = M_{1} + M_{4} - M_{5} + M_{7} ค_{1, 2} = M_{3} + M_{5} ค_{2, 1} = M_{2} + M_{4} ค_{2, 2} = M_{1} - M_{2} + M_{3} + M_{6}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A

$\mathbf{A}$

B

$\mathbf{B}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A_{i, j}

$\mathbf{A}_{i,j}$

B_{i, j}

$\mathbf{B}_{i,j}$

ผมจะคาดหวังคู่พูด

นอกจากนี้ยังจะได้รับการคำนวณ แต่ก็เป็นไม่ได้เพราะมันสามารถหาได้จากที่อื่น ๆ

M_{2} := (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1}

$\mathbf{M}_2: = (\mathbf{A}_{2,1}+\mathbf{A}_{2,2})\mathbf{B}_{1,1}$

A_{1, 1} (B_{1, 2} + B_{2, 2})

$\mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{B}_{2,2})$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนโยนความสว่างนี้

— ชุมชน
แหล่งที่มา

$2 \times 2$ $2 \times 2$

$2 \times 2$

Schönhageเคยบอกฉันว่า Strassen เคยบอกเขาว่าเขาพบอัลกอริทึมของเขาด้วยวิธีนี้โดยพยายามพิสูจน์ขอบเขตล่าง

— Markus Bläser
แหล่งที่มา

$A_0,A_1,A_2,A_3$ $B_0,B_1,B_2,B_3$ $2\times 2$ $A_iB_j \in \{0,A_0,A_1,A_2,A_3,B_0,B_1,B_2,B_3\}$ $A_0 = B_0$ $A$ $B$ $A_0=B_0,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ $M$

ฉันไม่รู้ว่า Strassen คิดวิธีนี้ในการดูหรือไม่ เมื่อพิจารณาถึงอัตลักษณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็วมันไม่ชัดเจนว่ามีอะไรเกิดขึ้นลึกกว่าสูตรบางสูตร เราเคยผ่านสิ่งนั้นมาก่อน - ลากรองจ์ใช้เอกลักษณ์สี่ตาราง (ซึ่งรู้จักกันมาก่อน) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสี่สแควร์ ตอนแรกมันจะต้องเป็นตัวตนเชิงพีชคณิตขี้สงสัย แต่ตอนนี้เรารู้ว่ามันระบุคุณสมบัติพหุคูณของบรรทัดฐาน quaternion เนื่องจากสถานะของความรู้ในปัจจุบันเป็นเรื่องยากที่จะบอกได้ว่าการตีความข้างต้นนั้นมีประสิทธิผลหรือไม่

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

2 \times 2

$2\times 2$