หาส่วนที่เหลือของพหุนามคงที่ที่มีขนาดใหญ่เมื่อหารด้วยพหุนามที่ไม่รู้จักขนาดเล็ก

สมมติว่าเราทำงานในสนาม จำกัด เราได้รับค่าคงที่พหุนามขนาดใหญ่ p (x) (จาก, พูด, องศา 1,000) บนฟิลด์นี้ พหุนามนี้รู้จักกันมาก่อนและเราได้รับอนุญาตให้ทำการคำนวณโดยใช้ทรัพยากรจำนวนมากใน "ช่วงเริ่มต้น" ผลลัพธ์เหล่านี้อาจถูกจัดเก็บในตารางการค้นหาขนาดเล็กพอสมควร

ในตอนท้ายของ "ระยะเริ่มต้น" เราจะได้รับพหุนาม Q (x) ที่ไม่รู้จักจำนวนเล็กน้อย (จาก, พูด, ระดับ 5 หรือน้อยกว่า)

มีวิธีที่รวดเร็วในการคำนวณ p (x) mod q (x) หรือไม่เนื่องจากเราได้รับอนุญาตให้ทำการคำนวณที่ซับซ้อนบางอย่างใน "ระยะเริ่มต้น"? วิธีหนึ่งที่ชัดเจนคือการคำนวณ p (x) mod q (x) สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ q (x) มีวิธีที่ดีกว่าในการทำเช่นนี้?

อัลกอริทึมต่อไปนี้ทำงานได้ดีถ้าเขตข้อมูลต้นแบบมีลำดับที่น้อยมาก $s$.

สมมติว่าเรารู้ $q$ ลดลงไม่ได้ระดับคงที่ $d$. จากนั้นดัดแปลง$q$, พวกเรารู้ $x^{s^d} = x$ถือ เพราะฉะนั้นมันก็พอเพียงที่จะ pre-คำนวณx$p(x) \mod x^{s^d} - x$

โดยทั่วไปอาจสลายตัวลงในผลิตภัณฑ์ของพหุนามลดลงq_r ในกรณีนี้มีการโต้แย้งที่คล้ายกันกับการคำนวณ modulo แต่ละแยกต่างหากจากนั้นทำการประกอบผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจริงๆที่จะคำนวณสำหรับแต่ละd$q(x)$$q = q_1 \dots q_r$$p$$q_1, \dots, q_r$$p(x) \mod x^{s^{d'}} - x$$d' \leq d$

ฉันคิดว่ามีวิธีที่รวดเร็วในการทำเช่นนี้ ให้ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามยังไม่ทราบจะดังนั้นที่เป็นจำนวนเล็ก ๆ ตอนนี้ให้เราเริ่มคำนวณโดยที่โดยที่ใหญ่และเป็นที่รู้จัก นี้เราทำโดยการลดระดับการใช้ equalities เป็น{} ในที่สุดสิ่งที่เราได้คือระดับพหุนามซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามของ (ตั้งแต่$q$$b_i$$q=\sum_{i=0}^d b_ix^i$$d$$p \pmod q$$p=\sum_{i=0}^D a_ix^i$$D$$a_i$$a_Dx^D= \frac {-a_D}{b_d} \sum_{i=1}^{d-1} b_{d-i}x^{D-i}$$<d-1$$b_i$$a_i$เป็นที่รู้จัก). มีหลายชื่อเหล่านี้เราสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วเมื่อเราได้รับคิว$q$

ดูความคิดเห็นที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับโพสต์ด้านล่างนี้ :)

preprocessing; อินพุต: $p(x)$

1. ปัจจัยเป็น(x_i-r_i)$p(x)$$p(x)=\prod_{i=0}^{1000} (x_i-r_i)$

2. เก็บสิ่งนี้เป็นตารางของรูตที่แตกต่างและหลายหลากเกี่ยวข้อง$T$$r_j$$m_j$

ระยะออนไลน์ อินพุต: $q(x)$

1. ปัจจัยเป็น(x_i-r'_i)$q(x)$$q(x)=\prod_{i=0}^5 (x_i-r'_i)$

2. เก็บสิ่งนี้เป็นรายการของรูตที่แตกต่างและหลายหลากเกี่ยวข้อง$L$$r'_j$$m'_j$

3. ในขณะที่ไม่ว่างเอาถัดราก / หลายหลากจากและเงื่อนไขใด ๆ เช่นในT$L$$L$$T$

4. อ่านจากตารางและเอาต์พุตที่แก้ไข$p(x)\bmod{q(x)}$$T$

ความคิดเห็นอื่น ๆ:

• เห็นได้ชัดว่าคุณต้องการจัดเรียงตารางและเข้าถึงด้วยการค้นหาแบบไบนารี (หรือต้นไม้)$T$
• (ให้เป็นระดับของ ) ถ้าคุณต้องการให้เอาท์พุทเป็นค่าสัมประสิทธิ์การสามารถทำ FFT จำนวนมากที่ท้ายได้เวลา$d$$p(x)$$p(x)\bmod{q(x)}$$\tilde{O}(d)$
• คุณอาจคำนวณล่วงหน้าได้หลายวิธีหลายวิธีที่คุณรวมคำศัพท์ไว้ในล่วงหน้า (สไตล์การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก) เพื่อให้การคูณ (หรือทั้งหมด) ส่วนใหญ่เป็นเพียงการค้นหา ค่าใช้จ่ายในการครอบครองนั้นคือจำนวนการค้นหาหรือโดยประมาณ ถ้านี่เป็นเพียงแค่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรูปธรรม$T$$O(\log d)$$d=1000$