ทำไมการคาดคะเนบันทึกอันดับจึงใช้อันดับเหนือ reals

ในความซับซ้อนของการสื่อสารการคาดคะเนอันดับบันทึกระบุว่า

ค ค (M) = (เข้าสู่ระบบ R k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

โดยที่คือความซับซ้อนของการสื่อสารของและคืออันดับของ (เป็นเมทริกซ์) เหนือ reals $cc(M)$ $M(x,y)$ $rk(M)$ $M$

อย่างไรก็ตามเมื่อคุณใช้วิธีการจัดลำดับเพื่อลดขอบเขตคุณสามารถใช้บนฟิลด์ใดก็ได้ที่สะดวก ทำไมการคาดคะเนบันทึกอันดับจึง จำกัด ที่ rk มากกว่า reals? การคาดเดาได้รับการแก้ไขสำหรับเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะไม่เป็นศูนย์หรือไม่? ถ้าไม่เป็นที่น่าสนใจหรือมีบางสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับมากกว่าหรือไม่? $cc(M)$ $rk$ $rk$ $rk$ $\mathbb{R}$

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

BTW ฉันเชื่อว่าคุณควร จำกัด

ให้เป็นเลขฐานสองมิฉะนั้นคุณสามารถทำตัวอย่างที่น่ารำคาญได้

M

$M$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov คุณหมายถึงอะไรโดย counterexamples เล็กน้อยถ้า

ไม่ได้เป็น

(ผมเชื่อว่าคุณหมายถึงมากกว่า reals)?

M

$M$

0 / 1

$0/1$

— T ....

ตัวอย่างเช่นปัญหา "เดาหมายเลขของฉัน" คืออลิซมีตัวเลขใน

และ Bob ต้องส่งออก มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นความซับซ้อนของการสื่อสาร

แต่อันดับของเมทริกซ์คือ1

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov คุณช่วยกำหนดเดาหมายเลขของฉันได้อย่างแม่นยำหรือไม่? ฉันไม่สามารถมองเห็นเมทริกซ์คุณลักษณะ อลิซมี

และ Bob มี

แล้วฟังก์ชัน

ที่

อันดับ

ถูกกำหนดไว้คืออะไร

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

— T ....

ฟังก์ชั่นคือ

โดยที่

และ

เป็นเวกเตอร์บิต

ถ้าความหมายของความซับซ้อนของการสื่อสารที่ต้องการให้ค่าของ

ถูกกำหนดโดยสิ้นเชิงหลักฐานการโปรโตคอล (นี่คือความหมายใน Kushilevitz-นิสัน) แล้วอย่างชัดเจนซับซ้อนเป็นn

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov

การคาดคะเนล้มเหลวมากกว่า 2ดูที่และ nความซับซ้อนของการสื่อสารคือแต่อันดับของเหนือคือโดยความเป็นเส้นตรงของผลิตภัณฑ์ภายใน $\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา