ความซับซ้อนของเวลาที่กำหนดขึ้นซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตล่างสำหรับปัญหาธรรมชาติใน NP

คำตอบสำหรับปัญหาใหญ่ที่ยังไม่แก้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีนี้หรือไม่? รัฐคำถามที่จะเปิดถ้าเป็นปัญหาเฉพาะใน NP ต้อง$\Omega(n^2)$เวลา

การดูความคิดเห็นภายใต้คำตอบทำให้ฉันประหลาดใจ:

นอกเหนือจากช่องว่างภายในและเทคนิคที่คล้ายกันแล้วความซับซ้อนของเวลาที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตล่างของเครื่อง RAM ที่กำหนดไว้แล้ว (หรือเครื่องทัวริงกำหนดค่าหลายเทป) สำหรับปัญหาที่น่าสนใจใน NP (ซึ่งระบุไว้ในวิธีธรรมชาติ)?

มีปัญหาธรรมชาติใด ๆ ใน NP ที่ทราบว่าไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนดขึ้นสำหรับกำลังสองในโมเดลเครื่องที่สมเหตุสมผลหรือไม่?

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่ฉันกำลังมองหาคือตัวอย่างที่ออกกฎการอ้างสิทธิ์ต่อไปนี้:

ใด ๆธรรมชาติเอ็นพีปัญหาจะสามารถแก้ไขได้ใน$O(n^2)$เวลา

เรารู้ปัญหา NP ใด ๆ ที่คล้ายกับปัญหาในกระดาษ 1972 ของ Karpหรือ Garey และ Johnson 1979 ที่ต้องใช้เวลาที่กำหนด$\Omega(n^2)$หรือไม่? หรือเป็นไปได้หรือที่ดีที่สุดในความรู้ของเราว่าปัญหาธรรมชาติที่น่าสนใจทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนด$O(n^2)$ ?

แก้ไข

ชี้แจงในการลบความสับสนใด ๆ ที่เกิดจากการไม่ตรงกันระหว่างขอบเขตล่างและไม่ผูกพันบน : ฉันกำลังมองหาปัญหาที่เรารู้ว่าเราไม่สามารถแก้ปัญหาใน ) หากมีปัญหาตรงตามข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่า นั้นจำเป็นต้องใช้เวลาΩ ( n 2 )หรือω ( n 2 ) (สำหรับอินพุตที่มีขนาดใหญ่พอทั้งหมด) ดีกว่า แต่บ่อยครั้งจะทำอย่างไม่สิ้นสุด$o(n^2)$$\Omega(n^2)$$\omega(n^2)$

อะดาอิวาตะและ Kasai ในกระดาษ 1,984 JACMแสดงจากการลดลงว่าแมวและเกม -Mice มีn Ω ( k )เวลาขอบเขตล่าง ปัญหาคือใน P สำหรับแต่ละk ปัญหาเล่นบนกราฟกำกับ การเคลื่อนไหวประกอบด้วยแมวแล้วหนึ่งในขั้นตอนสลับหนูk หนูจะชนะหากพวกมันสามารถขึ้นฝั่งบนโหนดชีสที่กำหนดไว้ก่อนที่แมวจะตกลงไป คำถามคือว่าแมวมีการบังคับให้ชนะหรือไม่ มันเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ดังนั้นขอบเขตที่ต่ำกว่านั้นขึ้นอยู่กับการทำแนวทแยงมุมที่ให้ลำดับชั้นของเวลา$k$$n^{\Omega(k)}$$k$$k$

Grandjean แสดงให้เห็นว่าขอบเขต Pippenger, Paul, Szemeredi และ Trotter ที่ต่ำกว่านั้นนำไปใช้กับการเข้ารหัส SAT แม้ว่าผลลัพธ์ของ Santhanam อาจรวมเข้าด้วยกัน

นอกเหนือจากการแลกเปลี่ยนเวลาในขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ SAT ที่กล่าวถึงในความคิดเห็นอื่น ๆ แล้วยังมีการทำงานของโปรแกรมการแบ่งสาขาที่ต่ำกว่าซึ่งหมายถึงการแลกเปลี่ยนเวลาในพื้นที่สำหรับเครื่องจักรทัวริง สำหรับปัญหาเช่น FFT การเรียงลำดับหรือการคำนวณฟังก์ชันแฮชสากลมีการแลกเปลี่ยนกำลังสองที่ต่ำกว่าของ Borodin-Cook, Abrahamson, Mansour-Nisan-Tiwari แต่สำหรับฟังก์ชั่นที่มีเอาต์พุตจำนวนมาก สำหรับปัญหาในการตัดสินใจใน P มีการแลกเปลี่ยนเวลาที่ต่ำกว่าขอบเขตที่ใช้สำหรับขอบเขตเวลาที่เป็นแต่สิ่งเหล่านี้อ่อนแอกว่าที่เป็นที่รู้จักสำหรับ SAT$O(n \log n)$

ผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ฉันรู้คือเนื่องจากPaul, Pippenger, Szemeredi และ Trotter (1983)และแยกตัวกำหนดออกจากเวลาเชิงเส้นแบบไม่ จำกัด

จากนั้นมีผลลัพธ์ล่าสุดโดยFortnow, Lipton, Van Melkebeek และ Viglas (2004)ที่ถูกกล่าวถึงแล้ว ความเป็นเอกลักษณ์ของผลลัพธ์นี้คือมันเป็นผลการแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาการเว้นวรรคและเวลา

อย่างไรก็ตามฉันก็ตระหนักถึงผลลัพธ์ที่ได้เนื่องจากSanthanam (2001)ที่พิสูจน์ขอบเขตล่างของ ) ผลลัพธ์นี้มีความแข็งแกร่งกว่าเล็กน้อยสำหรับเวลาที่ จำกัด กว่าด้านบน แต่ไม่ได้รับประกันการใช้พื้นที่$\omega (n \sqrt{ \log ^{*} n} )$

จากที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นรวมถึงความรู้เกี่ยวกับสนามฉันฉันจะบอกว่าการพิสูจน์ว่ามีปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของพีที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนดO ( n 2 )จะเป็นขั้นตอนที่ค่อนข้างใหญ่ เท่าที่ฉันรู้ผลลัพธ์ดังกล่าวถือว่าไม่น่าสนใจอย่างมากและมีแนวโน้มที่จะต้องใช้เทคนิคใหม่ที่ต่ำกว่าขอบเขต$\mathbb{NP}$$O(n^{2})$

หมายเหตุ: ถ้อยคำของปัญหาในวรรคสุดท้ายของฉันแตกต่างจากคำถามของคุณ ฉันอาจจะเป็นจู้จี้จุกจิก (และอาจจะไม่ได้ช่วยอะไรมาก) และบอกคุณว่ามีปัญหามากมายในและในN Pที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนดO ( n 2 )ตามเวลาที่กำหนด ทฤษฎีบทลำดับชั้น$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$$O(n^{2})$

แก้ไข: เมื่อคิดเพิ่มเติมต่อไปนี้เป็นวิธีที่คุณสามารถค้นหาปัญหาในที่เหมาะกับความต้องการของคุณ:$\mathbb{NP}$

1. ปัญหาธรรมชาติใด ๆ ที่มีขอบเขตล่างของโดยที่f ( n ) = Ω ( n 2$DTIME ( f(n) )$ ) โดยทฤษฎีบทลำดับชั้น DTIME ก็ต้อง ω ( n 2 )เวลา ฉันเชื่อว่ามีสิ่งเหล่านี้อยู่เล็กน้อย$f(n) = \Omega ( n^{2} \log n)$$\omega( n^{2} )$
2. ปัญหาธรรมชาติใด ๆ ที่มีขอบเขตล่างของโดยที่f ( n ) = ω ( n 2 )โดยใช้ลำดับชั้น NTIME ฉันไม่ได้ตระหนักถึงปัญหาธรรมชาติดังกล่าว$NTIME ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} )$
3. ปัญหาใด ๆ กับธรรมชาติที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าของที่F ( n ) = ω ( n 2 / log n ) นี่เป็นธรรมโดยการแยกเวลา - อวกาศ ฉันเชื่ออย่างนั้น$SPACE ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} / \log n)$

ขอบเขตที่ต่ำกว่าด้านบนควรมีความซับซ้อนของปัญหา

อีกครั้งหากคุณจำกัดความสนใจของคุณต่อปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของฉันไม่ทราบถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าดังกล่าว$\mathbb{NP}$

อาจเป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติมาจากความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่ จำกัด เวลา :

สำหรับการแก้ไขใด ๆ $k$และฟังก์ชั่นคงที่ $f(n) \leq n$ คุณสามารถถาม: "กำหนดสตริงไบนารี $x$เครื่องทัวริงไม่ $M$ มีอยู่เช่นนั้น $|M| < f(|x|)$ และ $M$ ผลิต $x$ น้อยกว่า $|x|^k$ ขั้นตอน?"

นี่เป็นเพียงการถามคำถามเดิมของ P = NP อีกครั้งในวิธีที่ต่างกันถ้าคุณพิสูจน์ได้ว่ามันไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลากำลังสองหรือหาขอบเขตล่างที่แน่นอนคุณจะต้องพิสูจน์ P! = NP