CS เชิงทฤษฎีสนใจเรื่องการพิสูจน์สัญชาตญาณเมื่อใด

จากสิ่งที่ฉันเข้าใจ (ซึ่งน้อยมากดังนั้นโปรดแก้ไขฉันในที่ที่ฉันทำผิด!) ทฤษฎีภาษาการเขียนโปรแกรมมักเกี่ยวข้องกับบทพิสูจน์ "สัญชาตญาณ" ในการตีความของฉันเองวิธีการกำหนดให้เราจริงจังกับผลที่ตามมาของการคำนวณทางตรรกะและการพิสูจน์ได้ ไม่สามารถพิสูจน์ได้เว้นแต่ว่ามีอัลกอริทึมที่สร้างผลที่ตามมาจากสมมติฐาน เราอาจปฏิเสธในฐานะที่เป็นหลักการของกลางที่ถูกแยกออกเช่นเพราะมันแสดงวัตถุบางอย่างซึ่งเป็นหรือซึ่งไม่เป็นโครงสร้าง¬ $X$$\lnot X$

ปรัชญาข้างต้นอาจทำให้เราชอบการพิสูจน์ที่ถูกต้องตามสัญชาตญาณมากกว่าสิ่งที่ไม่ใช่ อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยเห็นข้อกังวลใด ๆ เกี่ยวกับการใช้ตรรกะเชิงสัญชาตญาณในเอกสารในส่วนอื่น ๆ ของ CS เชิงทฤษฎี เรามีความสุขที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ของเราโดยใช้ตรรกะคลาสสิก ตัวอย่างเช่นเราอาจจินตนาการโดยใช้หลักการของตัวกลางที่แยกเพื่อพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมนั้นถูกต้อง กล่าวอีกนัยหนึ่งเราใส่ใจและยึดถือจักรวาลที่มีข้อ จำกัด ด้านการคำนวณอย่างจริงจังในผลลัพธ์ของเรา แต่ไม่จำเป็นในการพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้ของเรา

1. นักวิจัยในทฤษฎี CS มีความกังวลเกี่ยวกับการเขียนหลักฐานที่ถูกต้องตามสัญชาตญาณหรือไม่? ฉันสามารถจินตนาการได้ง่าย ๆ ว่าสาขาย่อยของวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่พยายามเข้าใจเมื่อผลลัพธ์ TCS โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมนั้นอยู่ในตรรกะของสัญชาตญาณ แต่ฉันยังไม่เจอเลย

2. มีข้อโต้แย้งทางปรัชญาใดบ้างที่ควร? ดูเหมือนว่าเราสามารถอ้างได้ว่าผลลัพธ์ของวิทยาการคอมพิวเตอร์ควรได้รับการพิสูจน์โดยสัญชาตญาณเมื่อเป็นไปได้และเราควรจะรู้ว่าต้องใช้ผลลัพธ์ใดเช่น PEM มีใครพยายามโต้แย้งเช่นนี้หรือไม่? หรืออาจจะมีฉันทามติว่าคำถามนี้ไม่สำคัญมาก?

3.ในฐานะที่เป็นคำถามด้านฉันอยากรู้อยากเห็นตัวอย่างของกรณีที่สิ่งนี้จริง: มีผล TCS สำคัญที่รู้จักกันในตรรกะคลาสสิก แต่ไม่ได้อยู่ในตรรกะปรีชาญาณ? หรือสงสัยว่าจะไม่ถือในตรรกะปรีชา

ขอโทษสำหรับความนุ่มนวลของคำถาม! มันอาจต้องใช้ rewording หรือ reinterpretation หลังจากได้ยินจากผู้เชี่ยวชาญ

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วในความคิดเห็นตรรกะของสัญชาตญาณไม่ใช่ประเด็นหลัก จุดสำคัญมากขึ้นจะมีหลักฐานที่สร้างสรรค์ ฉันคิดว่าทฤษฎีประเภทของ Martin-Löfนั้นมีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎีภาษาการเขียนโปรแกรมมากกว่าตรรกะเชิงสัญชาตญาณและมีผู้เชี่ยวชาญที่แย้งว่างานของ Martin-Löfเป็นเหตุผลหลักในการฟื้นฟูความสนใจทั่วไปในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์

การตีความความสามารถในการคำนวณของความคิดสร้างสรรค์เป็นหนึ่งมุมมองที่เป็นไปได้ แต่ไม่ใช่เพียงมุมมองเดียว เราควรระวังที่นี่เมื่อเราต้องการเปรียบเทียบการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์กับการพิสูจน์แบบดั้งเดิม แม้ว่าทั้งคู่อาจใช้สัญลักษณ์เดียวกัน แต่ความหมายของสัญลักษณ์เหล่านั้นแตกต่างกัน

เป็นเรื่องที่ดีเสมอที่จะต้องจำไว้ว่าหลักฐานอันคลาสสิกสามารถแปลเป็นการพิสูจน์สัญชาตญาณ กล่าวอีกนัยหนึ่งตรรกะคลาสสิกเป็นระบบย่อยของตรรกะปรีชา ดังนั้นคุณสามารถตระหนักถึง (พูดโดยใช้ฟังก์ชั่นที่คำนวณได้) พิสูจน์คลาสสิกในความรู้สึก ในทางกลับกันเราสามารถคิดว่าคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์เป็นระบบคณิตศาสตร์บางอย่างในสภาพแวดล้อมแบบดั้งเดิม

$A \lor B$$A \lor B$$\lor$

$\forall x \ \exists y \ \varphi(x,y)$$x$$y$$\varphi(x,y)$$y$$y$$x$$A$$x$$\varphi(x,A(x))$$A$

ตอนนี้ทำไมเราไม่ใช้ตรรกะ intuitionist ในการปฏิบัติ? มีสาเหตุหลายประการ ยกตัวอย่างเช่นส่วนใหญ่ของเราจะไม่ได้รับการฝึกอบรมที่มีการตั้งค่าไว้ว่า นอกจากนี้ยังหาหลักฐานคลาสสิกของคำสั่งอาจจะง่ายกว่าการหาหลักฐานที่สร้างสรรค์ของมัน หรือเราอาจจะดูแลเกี่ยวกับรายละเอียดในระดับต่ำที่ถูกซ่อนอยู่และไม่สามารถเข้าถึงได้ในการตั้งค่าที่สร้างสรรค์ (เห็นตรรกะเชิงเส้น ) หรือเราอาจจะเพียงแค่จะไม่สนใจในการได้รับสิ่งที่พิเศษที่มาพร้อมกับหลักฐานที่สร้างสรรค์ และแม้ว่าจะมีเครื่องมือในการโปรแกรมสารสกัดจากบทพิสูจน์เครื่องมือเหล่านี้โดยทั่วไปจะต้องพิสูจน์รายละเอียดมากและยังไม่ได้รับเพียงพอที่ใช้งานง่ายสำหรับทฤษฎีทั่วไป ในระยะสั้นความเจ็บปวดมากเกินไปเพื่อประโยชน์น้อย

$\Pi^0_2$$PA$$PA$$PA$

ฉันจำได้ว่าDouglas S. Bridgesในการแนะนำหนังสือทฤษฎีการคำนวณของเขาแย้งว่าเราควรพิสูจน์ผลลัพธ์ของเราอย่างสร้างสรรค์ เขาให้ตัวอย่างซึ่ง IIRC เป็นหลักดังนี้:

สมมติว่าคุณทำงานให้กับ บริษัท ซอฟต์แวร์รายใหญ่และผู้จัดการของคุณขอให้คุณโปรแกรมแก้ไขปัญหา เป็นที่ยอมรับหรือไม่ที่จะกลับมาพร้อมกับสองโปรแกรมและแจ้งให้ผู้จัดการของคุณหนึ่งในสองคนนี้แก้ได้อย่างถูกต้อง แต่ฉันไม่รู้ว่าอันไหน

ในตอนท้ายเราควรระลึกไว้เสมอว่าถึงแม้ว่าเราจะใช้สัญลักษณ์เดียวกันสำหรับ logics แบบคลาสสิกและ intuitionistic สัญลักษณ์เหล่านี้มีความหมายต่างกันและสิ่งที่ใช้จะขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราต้องการแสดง

สำหรับคำถามสุดท้ายของคุณฉันคิดว่าทฤษฎีบท Robertson – Seymourจะเป็นตัวอย่างของทฤษฎีบทที่เรารู้ว่ามันเป็นความจริงแบบคลาสสิก แต่เราไม่มีข้อพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ ดูสิ่งนี้ด้วย

• มีการพิสูจน์อัลกอริธึมที่ไม่สร้างสรรค์หรือไม่?

เป็นความคิดที่คุ้มค่าเกี่ยวกับเหตุผลที่ intuistionistic ตรรกะเป็นตรรกะธรรมชาติสำหรับการคำนวณเนื่องจากบ่อยครั้งที่คนหลงทางในรายละเอียดทางเทคนิคและล้มเหลวที่จะเข้าใจสาระสำคัญของปัญหา

ตรรกะคลาสสิกคือตรรกะของข้อมูลที่สมบูรณ์แบบ: ข้อความทั้งหมดในระบบจะถือว่าเป็นที่รู้จักหรือรู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างไม่น่าสงสัย

ในทางตรงกันข้ามตรรกะของ Intuistionistic มีช่องว่างสำหรับข้อความที่มีค่าความจริงที่ไม่รู้จักและไม่รู้จัก นี้เป็นสิ่งจำเป็นในการคำนวณตั้งแต่ขอบคุณ undecidability ของการเลิกจ้างในกรณีทั่วไปก็จะไม่เสมอบางสิ่งที่มีค่าความจริงของงบบางส่วนจะหรือแม้กระทั่งหรือไม่ว่าค่าความจริงเคยได้รับมอบหมายให้งบบางอย่าง .

$\neg\neg P \implies P$

ในความคิดของฉันเหตุผล "ความหมาย" เหล่านี้เป็นแรงบันดาลใจที่สำคัญกว่าสำหรับการใช้ตรรกะ intuistionistic สำหรับการคำนวณมากกว่าเหตุผลทางเทคนิคอื่น ๆ

ฟังก์ชันแฮชการเข้ารหัสในโลกแห่งความจริงเช่น MD5 และ SHA นั้นไม่มีกุญแจ มันทำให้ยากที่จะใช้เทคนิคจากการเข้ารหัสเชิงทฤษฎีกับเหตุผลเกี่ยวกับความปลอดภัยของพวกเขา เหตุผลง่ายๆที่ว่าทำไม: สำหรับฟังก์ชั่นแฮชแบบ keyless ใด ๆ จะมีโปรแกรม / คู่ต่อสู้ขนาดเล็กมากซึ่งมีการชนกันภายใต้ฟังก์ชันแฮชนั้น คือโปรแกรมที่มีการชนกันของข้อมูลซึ่งต้องมีอยู่! - ฮาร์ดโค้ด

กระดาษของ Phil Rogaway ทำให้ความไม่รู้ของมนุษย์เป็นทางการ: การแฮ็ชที่ป้องกันการชนกันโดยไม่มีกุญแจเกี่ยวข้องกับปัญหานี้ ในนั้นเขาแสดงให้เห็นว่าบางทฤษฎีบทมาตรฐานมากสำหรับฟังก์ชั่นแฮชคีย์ (เช่น Merkle-Damgårdการก่อสร้าง & กระบวนทัศน์แฮชจากนั้นลงชื่อ) สามารถดัดแปลงและพิสูจน์ซ้ำได้โดยใช้คำสั่งทฤษฎีบท

นี่คือบทที่ดีเกี่ยวกับ Intuitionistic Logic จากหนังสือออนไลน์ที่ครอบคลุมเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ 300pp. [1] วินาที 9.5, p210, สรุปบน p220:

ตรรกะปรีชาญาณเกิดขึ้นจากขบวนการคอนสตรัคติวิสต์ในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งปฏิเสธการพิสูจน์การมีอยู่ที่ไม่สร้างสรรค์ เมื่อเร็ว ๆ นี้การเชื่อมต่อระหว่างคณิตศาสตร์กับการเขียนโปรแกรมได้ออกมาจากการสังเกตว่า intuitionistic ข้อเสนอและประเภท (ในแง่ของการเขียนโปรแกรม) เทียบเท่า การพัฒนาอัลกอริทึมในระบบที่เป็นทางการนี้ซึ่งมีพื้นฐานมาจากการหักตามธรรมชาติประกอบด้วยการเขียนข้อกำหนดในสัญกรณ์แบบลอจิคัลจากนั้นเมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้เป็นประเภทพิสูจน์ว่ามันไม่ว่างเปล่า เพราะเหตุผลพื้นฐานคือการพิสูจน์การพิสูจน์ถ้ามันสามารถทำได้

อีกมุมมองที่ใกล้เคียงมาจากการเขียน TCSist Andrej Bauer ใน "คณิตศาสตร์และการคำนวณ; คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์" [2] ที่เสนอโดยทั่วไปว่า "คณิตศาสตร์ intuitionistic เป็นสิ่งที่ดีสำหรับฟิสิกส์" การนำเสนอเป็นส่วนใหญ่ในแง่ของฟิสิกส์ แต่สำหรับผู้ที่พิจารณาCS ควบคู่กับฟิสิกส์อย่างแน่นหนาอุดมการณ์โดยทั่วไปจะนำไปสู่ ​​TCS

การตีความเชิงคำนวณ นี่คือการตีความของตรรกะปรีชาญาณที่นำเสนอทั่วไปในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เราดูชุดทั้งหมดตามที่แสดงโดยโครงสร้างข้อมูลที่เหมาะสมซึ่งเป็นมุมมองที่สมเหตุสมผลสำหรับนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ จากนั้นมีการแถลงว่าเป็นจริงหากมีโปรแกรม (หลักฐานการคำนวณ) ที่เป็นพยานถึงความจริงของมัน

[1] ตรรกะสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์รีฟส์และคลาร์ก

[2] คณิตศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์บาวเออร์